Закатов Вища геодезія 1

4. Решение сферического треугольника А ХР ХВ Х производят по двум сторонам (90° — и х) и а и по углу между ними А х 2. Применяя формулу Непера для наших обозначений, получаем:

Для вьічисления приведенной широтьі и2 второй точки и обратного ази­ мута можно применять формулн из решения сферического прямоугольного треугольника В ХР ХС, аналогичнне формулам (29.15) и (29.16):

sin щ — cos т sin (М 4- о) і

cos и2cos А %.і = cos т cos (М -j- о) J

5. Внчисление разности долготн І по вьічисленному значенню сферической долготьі со по формуле (29.39).

6. Переход от приведенной широти и2к геодезической В 2по формуле (29.41) О б р а т н а я г е о д е з и ч е с к а я з а д а ч а

1. Внчисление приведенннх широт и х и и2 по геодезическим В х и В 2 согласно (29.41).

2. Внчисление разности сферических долгот ю по разности геодезических долгот І. Так как величини т , М, а нам неизвестнн, то применяетея способ последовательньїх приближений следующим образом.

Напишем аналогии Непера из треугольника А ХР ХВ Х:

130

131

Положив со = І, найдем в первом приближении прямой и обратньїй ази­

приведенн теоретические основи метода без освещения и изложения некоторнх деталей, не имеющих принципиального характера, которне могут иметь известное значение при практических внчислениях. Так, например, не показанн возможнне структури и схеми таблиц для вьічисления козффициентов а, (З, у ,а и Рі? не указанн пути достижения бнстрейшей сходимости вичислений при применении способа последовательннх приближений для нахождения неизвестннх; не приводятся, наконец, примерн точних вичислений на решение прямой и обратной геодезических задач. 9ти подробности читатель найдег в специальннх курсах по сфероидической геодезии [55, стр. 89—112] и [2, стр. 131—135].

Как указивалось внше, решение обратной геодезической задачи на боль­ шие расстояния имеет наибольшее применение в прикладних целях; при втом требования к точности вичислений зачастую невнсокие.

В 1960 г. било опубликовано «Руководство по вичислению азимута и длинн геодезической линии на поверхности зллипсоида Красовского». В втом «Руководстве» приведенн формули и таблицн козффициентов а, р, у, а 1? рх. Козффициентн внчислени и приведенн как функция sin2 то.

132

Рекомендуемьіе формульї и порядок вичислений несколько иньїе, чем указаньї вьіше.

В «Руководстве» приведеньї формульї Бесселя для решения обратной геодезической задачи в двух видах, в зависимости от расстояний между заданньїми пунктами: от 400 до 7000 км и от 3000 до 17 000 км.

Приведем формульї, рекомендуемьіе для решения обратной геодезической

внчисления зтой величини при помощ и со0, отличающ ейся от со на величину dl. Действительно, из треугольника

cos a —sin ихsin w2-j- cos uxcos u2cos to.

133

Для более приближенньїх вичислений — с ошибкой В S до SO—100 JM и в азимутах до 2 " — приведенньїе формули можно применить в более простом виде:

І — L 2 — L x

tg u — ]/ 1 - е 2tg Вл[или по формулам (29.41)] cos о0= si п щ sin щ -f- cos Щcos щ cos І

sm mQ sin l cos uxcos u2

c t g M = —n,noCtg'41- 2

sin u x

S = —- [o'o —P sin a0 cos (2M + a) + All sin m0]

при відчисленнях по формулам (29.48) следует принимать следующие числовне значення величин (для зллипсоида Красовского):

j / l - e 2 = 0,996648,

а, = 0,003351

—= 30,87081 — 0,05185 sin5 т,

Р~ 346,б*'cos*т.

дует предварительно знак sin со0 изменить на обратньїй.

Дуга М лежит в первой четверта круга, если ctg М — число положительное, и во второй четверта, если ctg М — число отрицательное.

Значення а, (5, у, а г и (5Х вьібирают из табл. 12 по аргументу sin2 т.

134

Таблица 12

135

Вьічисления ведут с числом десятичньїх знаков, указанньїх в примерах.

а *= 0,03240 39507 + 54 413 х 0,4798 х Ю"10 = 0,03240 65 614,

Р - 277,237 - 34,567 х 0.4798 = 260,652.

Значення козффициентов у, а 1 и

у = 0 ,0 4 7 - 11X 0,48 X 10-3 = 0,042;

аг = 0,00335 0079 + 281 х 0,4798 X 10~9 = 0,00335 0214;

Рх = 0,464 - 58 X 0,48 X 10“3 = 0,436.

§ ЗО. Решение главной геодезической задачи при помощи нормальних сечений

Рассмотрим еще один способ решения главной геодезической задачи пря­ мим путем. В зтом способе вспомогательная сфера строится радиусом, равньш

(рис. 59) — соответствующий полярний треугольник на сфере. Его построение

из А на В и йод зтим углом проводим дугу большого круга о. При зтом а должно

бить равно углу, под которнм усматривается из точки па дуга нормального сечения из А в В на зллипсоиде. При помощи построения на шаре указанньїх

злементов определяется положение и третьей вершини сферического треугольника, т. е. точки В ' .

Характерная особенность данного построения — изображение сфероидического треугольника А Р В на шаре при помощи прямого нормального сечения в одной из конечних точек дуги АВ.

* Указаннне коаффициентьі можно использовать также для решения прямой геодези­ ческой задачи по способу Бесселя.

136

Поскольку все олементьі сферического треугольника вьіражаются в угловой мере, елементи треугольника А'Р'В' тождественно будут совпадать с еле­ ментами сферического треугольника аЬр произвольного радиуса, показанного на рис. 58 пунктирними линиями.

Общий ход решения задачи остается прежним: а) переход от известньїх алементов сфероидического треугольника к соответствующим елементам сфе­ рического, б) решение сферического треугольника и нахождение величин, являющихся ИСКОМЬІМИ, и в) переход от найденньїх искомнх величин на сфере к соответствующим им на

сфероиде.

Условимся, что кривая А В на сфероиде представляет собой геодезическую линию. Установим простейшие зависимости между еле­ ментами указанньїх треугольников.

Рис. 59

Во-первьіх, расхождения в длинах геодезической линии и дуги нормаль­ ного сечения — практически пренебрегаемьі (см. § 15).

Сторона полярного треугольника А ' Р ', согласно принятому построению

А'Р' — 90° — В г. Поскольку линии Впь и Впа лежат в плоскости меридиана точки В , то угол Z, вьіражающий разность долгот на еллипсоиде, при переходе на сферу не изменится.

Согласно упомянутому вьіше условию, в качестве одной из заданньїх величин на еллипсоиде бнл указан азимут геодезической линии А 1Л, в то

Время как на сфере отложен азимут прямого нормального сечения ос 12. Поетому Следует осуществить переход ОТ i j 2 кос12.

Остальньїе елементи треугольника: s, 90° — В г и 360° — А 2Л при пере­

воде на сферу получат новьіе значення, поетому для применения отого способа Должнн бить извєстнш зависимости или соотношения между 9 и а, В 2 и Б 2, в также между а 2-1 и А'2Л.

Во-первьіх, укажем формулу для перехода от А х 2 к а 1 2. Из (17 G) имеем

137

Зависимость между s и о получена в § 16. Очевидно, при решении главной геодезической задачи необходимо, в зависимости от требуемой точности, при-

Зависимость между В 2 и В 2 также получена в § 15. Величина є" в соответствии с (15.3) — разность широт В 2 — В 2. Но полученное вьіражение для є далеко не всегда может бьіть использовано при решении геодезической задачи вследствие его приближенности. Дадим точние формули для перехода от В г

-ЇГ cos B2 Vi

после злементарннх преобразований, окончательно получаем точную формулу

Переходя к установленню зависимости между а 21 и А 2Л, отмечаем следующее: а 2Л представляет собой на шаре 360° — а 2 1? т- е* Дополнение до 360° азимута направлення с В г на А х. На аллипсоиде ато будет угод между плоскостью меридиана точки В и плоскостью, проходящей через прямое нор­ мальнеє сечение из точки А на точку В. Очевидно, можно перейти от а 2 х к А 2Л следующим образом: от угла а 2Л к азимуту прямого нормального сечения, из точки В на А путем введення поправки Д и от азимута нормального сечения

438

к азимуту геодезической яинии п у т ем введення поправки б 2.і* Иначе говоря, используя формули (17.2) и (17.3)

2. і = а 2. і —А" +$2. і?

мли

Приведенньши формулами решается вопрос об установлений зависимости между злементами сфероидического и сферического треугольников.

Рассмотрим порядок решения прямой и обратной геодезической задачи по данному способу.

П р я м а я г е о д е з и ч е с к а я з а д а ч а

Исходнне данньїе: В г — широта первой точки, s — длина геодезической линии между первой и второй точками, А г 2 — ее азимут. Порядок решения:

1. Переход от азимута геодезической линии А 1ш2 к азимуту прямого нор­ мального сечения а г 2 по формулам (30.2).

2.Переход от длиньї геодезической линии между точками к длине дуги нормального сечения по формулам (30.3).

3.Решение сферического треугольника А 1Р 1В 1 по формулам:

139