Усі книги і методички

Нетрудно заметить, что система (5.96) имеет бесконечное множество решений. Действительно, какую бы точку М на рис. 28 ни избрали, для нее найдется своя система смещений ni а значит, и своя система погрешностей υi.

Но каждому значению погрешности соответствует определенная вероятность. Таким образом, любое решение указанных уравнений будет связано с какой-либо вероятностью совместного появления системы погрешностей υi. Естественно, возникает стремление отыскать такое решение уравнений (5.96), для которого указанная вероятность будет наибольшей, а, значит, полученное место наиболее близким к истинному при данных линиях положения.

В системе (5.96) имеется п уравнений, а неизвестных величин здесь (n + 2): искомые Х и Y, а также п поправок υi. Подобные задачи решаются методом наименьших квадратов, который основан на условии минимума суммы квадратов вероятнейших уклонений:

Используем этот принцип для решения уравнений (5.96). С этой целью подставим значения погрешностей и,- из уравнений (5.96) в условие (5.97)

F ( Х, Y) = (а1 Х + b1 Y – l1)2 + + (а1 Х + b1 Y – l1)2 +

+...………………......+

+ (а1 Х + b1 Y – l1)2 = min.

Значения Х и Y, удовлетворяющие min функции F ( Х, Y), получим, если ее частные производные приравняем нулю и решим полученные уравнения относительно неизвестных. Такие уравнения (с обозначением сумм по Гауссу) для нашей задачи представляются следующей системой

В системе (5.98) число неизвестных равно числу уравнений и, следовательно, она дает единственное решение для отыскания неизвестных Х и Y. В силу сказанного эти уравнения называются нормальными.

Решение системы нормальных уравнений, удовлетворяющее принципу наименьших квадратов, дает не только единственное значение поправок координат Х, Y, но и вероятнейшее их значение при данных результатах измерений.

Обозначим

[аа] = A1; [ab] = B1 = A2; [al] = L1; [bb] = В2; [bl] = L2.

Тогда решение системы нормальных уравнений (5.98), аналогично (5.24), можно записать следующим образом

2. Неравноточные линии положения При выводе системы нормальных уравнений (5.98) мы условились, что все линии положения

равноточны и, значит, обладают одинаковым весом pi. Однако даже в случае равноточного измерения навигационных параметров средние квадратические погрешности εi линий положения окажутся различными (см. формулу 5.86), а поэтому различен и их вес. Если бы нам удалось произвести такие преобразования уравнений (5.96), в результате которых все они обретут одинаковый вес, то решение задачи сводилось бы к случаю равноточных измерений. Составим отношение весов каких-либо двух линий положения, например первой, и второй

p1 22 p2 12

Найдем, чему равно среднее квадратическое смещение μ1 линии положения, имеющей вес, равный единице. Для этого случая по аналогии напишем

иметь один и тот же вес, равный единице, а вся система (5.96) будет тождественна равноточной системе:

Для этой системы уравнений принцип наименьших квадратов записывается в виде

[pυ2]=min (5.101)

Используя принцип наименьших квадратов, получим нормальные уравнения, аналогичные системе

(5.98):

Решив с учетом этих обозначений систему нормальных уравнений (5.102), получим:

При равноточных линиях положения средняя квадратическая погрешность одного измерения

Средняя квадратическая погрешность места, координаты которого получены из решения по способу наименьших квадратов, вычисляется по формуле

где [pipjsin2Θij] — сумма произведений весов точек попарного пересечения линий положений для всех i≠j.

Для равноточных измерений (pi=рj=1) путем преобразования: (5.105) получим формулу для оценки средней квадратической погрешности определения места в следующем виде

Обобщим способ наименьших квадратов на случай, когда искомыми являются поправки υi к нескольким измеренным величинам. В этом случае уравнения поправок можно представить следующим образом

Подобные системы линейных уравнений целесообразно представить в матричной форме

которая в буквенных обозначениях записывается весьма компактно

AX - L = V, (5.107)

где А — матрица коэффициентов для уравнений линий положений;

X — матрица-столбец поправок к приближенным значениям искомых величин; L —матрица-столбец свободных членов (li = U0 — Ui);

V— матрица-столбец поправок υi к результатам непосредственных измерений Ui.

Сучетом этих обозначений принцип наименьших квадратов (5.101) запишется следующим выражением

Здесь VT= [υ1, υ2, ..., υn] — транспонированная матрица поправок, Р—матрица весов линий положения:

Для условия минимума необходимо, чтобы ATPV=0. Умножим (5.107) слева на АТР

АТРАХ - ATPL = ATPV = 0. (5.110)

Здесь ATPA = N представляет матрицу коэффициентов нормальных уравнений, ATPL — матрицу свободных членов, ATPV — матрицу вероятнейших поправок. Таким образом, матричная формула (5.110) тождественна системе нормальных уравнений (5.102). Тогда

NX = ATPL.

Составим матрицу N-l, обратную матрице N, и умножим слева последнее выражение

N-1NX = N-1 ATPL,

но

N-1N = Е,

где Е — единичная матрица. Тогда

будет представлять матричное выражение для вычисления вероятнейших поправок к приближенным значениям координат.

Подставим полученные значения X в исходное уравнение (5.107) и определим вероятнейшие поправки v к измеренным параметрам

3. Зависимые линии положения Изучая приемы определения вероятнейших координат, мы полагали, что все п навигационных

параметров стохастически независимы. В действительности подобное предположение может оказаться неправильным. Наличие общих случайных факторов в процессе измерений приводит к тому, что навигационные параметры, а значит, и соответствующие линии положения, оказываются коррелированными. Следовательно, прямое применение принципа наименьших квадратов к таким линиям положения будет неправомерным. Используется два приема устранения этого препятствия.

Первый из них заключается в том, что источником корреляции полагают общие поправки, вводимые в

результаты измерений. Эти поправки включают в уравнения линий положения как измеренные и определяемые. Таким образом, исходные, а значит и нормальные уравнения будут включать лишь независимые элементы. Решив такие уравнения по методу наименьших квадратов, получим вероятнейшее значение координат и вероятнейшее значение поправок.

Второй прием заключается в том, что нормальные уравнения составляются с учетом их зависимости. Подобно тому, как это было сделано в случае неравноточных измерений, введем весовые коэффициенты линий положения, но теперь будем определять их величину в зависимости от степени взаимной корреляции.

Эта операция осуществляется обращением матрицы [К] (5.75) к матрице весов [Р]

Обращение состоит в расчете элементов матрицы [Р] по формуле

где Аij — алгебраическое дополнение элемента ij, вычисляемое как определитель матрицы, полученной вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в матрице [К],

│К│— определитель матрицы [К].

С учетом нового смысла матрицы весов [Р], принцип наименьших квадратов (отыскание минимума квадратов вероятнейших уклонений) запишется в такой же форме, как и ранее (5.108):

VTPV = min.

Покажем эту запись в развернутой форме для случая трех линий положения, с тем чтобы убедиться в ее отличии от (5.108)

Таким образом, по сравнению с (5.109), здесь учитываются также связи элементов, стоящих вне главной диагонали матрицы [Р].

Способ наименьших квадратов, распространенный на обработку стохастически зависимых параметров, получил название обобщенного способа наименьших квадратов. Решение нормальных уравнений в случае зависимых линий положения записывается выражением, подобным (5.111) и (5.112)

Однако следует иметь в виду их принципиальное отличие: здесь матрица весов [Р] недиагональна.

Как и в случае независимых параметров, определению обычно подлежат две поправки к приближенным координатам: (ΔХ, Y) или (Δφ, Δλ). Следовательно, коэффициенты и свободные члены нормальных уравнений по форме будут соответствовать обозначениям (5.103), а расчетные формулы для Х, Y — выражениям (5.104).

Оценку точности координат, полученных в результате обработки по обобщенному методу наименьших квадратов, покажем на примере двух нормальных уравнений. Для функции, являющейся линейным многочленом, корреляционная матрица искомых параметров определяется из следующей зависимости

Тогда можно записать

Следовательно,

Используя значения КXX, KYY и KXY, получим расчетные формулы эллипса погрешностей

Решение нормальных уравнений и оценка точности полученных координат при зависимых навигационных параметрах — весьма трудоемкий вычислительный процесс. Алгоритм подобных задач успешно реализуется только в автоматизированных комплексах с помощью быстродействующих ЭВМ.

Задачу отыскания вероятнейших поправок (ΔХ, Y; Δφ, Δλ) при наличии лишь клавишных ЭВМ можно

погрешностей измерений. Это значит, что каждая пара будет иметь различный вес рij как точка пересечения линий положения с различными весами рi, рj. Представим каждое значение Хij, Yij как результат непосредственных измерений. Тогда согласно методу наименьших квадратов вероятнейшим значением поправок будут их общие арифметические середины:

Вес точек пересечения соответствующих линий положения можно получить, пользуясь этими

Для независимых линий положения коэффициент корреляции г=0, и формулы (5.117) существенно упрощаются. Оценка уравненных координат осуществляется по очевидным формулам

Глава 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕСТА ПРЯМОЙ ЗАСЕЧКОЙ ПО ДВУМ НАПРАВЛЕНИЯМ

§ 28. СУЩНОСТЬ И ХАРАКТЕРИСТИКА СПОСОБА

1. Сущность способа Сущность способа состоит в одновременном измерении двух направлений на объект, находящийся в

море, с береговых пунктов, координаты: которых известны. Основным средством для измерения направлений служат теодолиты.

Изолинией направления является кратчайшая линия, соединяющая визируемый объект с точкой наблюдения. На плоскости это прямая, на сфере — дуга большого круга, а на сфероиде — геодезическая

линия.

Обычно в способе прямой засечки определяемое место находят как точку пересечения двух направлений. Для повышения надежности

и точности нередко практикуется измерение третьего направления, позволяющего отыскать вероятнейшие координаты определяемой точки приемами, рассмотренными в гл. 5.

Береговые пункты с теодолитами, установленными для определения места прямой засечкой, получили название теодолитных постов. Точки установки теодолитных постов определяются заблаговременно как пункты рабочего обоснования, а в случае крупномасштабных работ — как пункты 4 класса.

Для получения направлений на теодолитных постах А и В измеряют либо примычные углы α, β между базой АВ и линией, соединяющей центр пункта с определяемой точкой Р, либо непосредственно дирекционные направления ТАР, ТВР (рис. 29)

Рис.29

Поэтому в первом случае теодолиты ориентируются по соседнему посту так, чтобы при наведении вертикальной нити на центр соседнего пункта отсчет на лимбе был равен 0°00'00". Во втором случае, при наведении вертикальной нити на центр соседнего пункта, отсчет на лимбе должен равняться дирекционному направлению базы Т(АВ,ВА).

Всвязи с тем, что наблюдаемые объекты подвижны (катер, шлюпка, корабль), измерения должны производиться строго одновременно и только при одном положении вертикального круга. Одновременность измерений обеспечивается подачей команд «Товсь!» и «Ноль!» с плавсредств, выполняющих промер. По команде «Товсь!» вертикальная нить теодолита наводится на установленную точку и удерживается на ней с помощью микрометренного винта. По команде «Ноль!» наведение немедленно прекращается, снимается отсчет угла по обоим верньерам и производится его запись в специальный журнал.

Если прокладка определений производится в процессе промера непосредственно на судах или катерах, то для управления теодолитными постами и для передачи результатов измерений на плавсредства организуется двусторонняя радиосвязь. Если прокладку на планшетах производят по окончании рабочего дня в базе, то для управления теодолитными постами можно ограничиться визуальными средствами связи (флажный семафор, прожектор и т. п.).

Способ прямой засечки обладает рядом безусловных достоинств, основными из которых следует считать сравнительно высокую точность определения места, простые и надежные измерительные средства.

Недостатки способа состоят в большой зависимости от метеоусловий, необходимости организации связи с теодолитными постами и в сравнительно большом количестве личного состава, занятого определением места. Зона действия способа ограничена геометрической дальностью видимости и редко выходит за пределы 10км от береговых пунктов.

Эти особенности прямой засечки позволяют использовать ее только при детальной съемке и гидрографическом тралении.

2.Оценка точности определения места

Впрямой засечке определяемая точка находится на пересечении двух направлений — лучей АР и ВР (рис. 29). Эти направления измеряются различными теодолитами и различными наблюдателями. Поправки для каждого теодолитного поста определяются по результатам самостоятельных исследований. В силу этих обстоятельств результаты измерения направлений можно полагать независимыми.

Для отыскания средней квадратической погрешности определения места применим формулу (5.89)

где средние квадратические смещения линий положения

В нашем случае m1=mα и m2 = mβ представляют собой средние квадратические погрешности измерения направлений α и β соответственно. Градиенты направлений обратно пропорциональны расстояниям до опорных пунктов

Угол Θ пересечения лучей АР и ВР легко определяется из AРВ

Θ = 180˚— (α + β).

Подставив значение указанных величин в уравнение (6.1), получим

Если М выражать в метрах, S1 и S2 в километрах, а среднюю квадратическую погрешность т измерения направления принять равной 1' (что обычно имеет место на практике), то получим формулу, которая приводится во многих руководствах

Формулу (6.4) используют для предварительной оценки, снимая расстояния S1 и S2 с планшетов или

карт.

При точных работах необходимо учитывать средние квадратические погрешности координат опорных пунктов тА и тB, что осуществляется использованием преобразованного уравнения (6.4)

где b — расстояние между опорными пунктами.

Для ориентировочных расчетов часто используют формулу (6.3), положив в ней S1 = S2 — S

3. Выбор места установки теодолитных постов Обратимся к формуле (6.3) и исследуем характер изменения средней квадратической погрешности. Из

рис. 29 следует, что

Sb sin ;

1sin

S b sinsin2

Поэтому

Формула (6.7) более удобна для непосредственных расчетов погрешности М текущих значений координат точек съемки, так как использует лишь известные величины: b, α, β. Анализируя (6.7), будем решать задачу выбора наивыгоднейшей комбинации опорных пунктов.

Пусть Θ = 180°— (α + β) остается постоянным, а углы α, и β изменяются. Тогда, очевидно, средняя квадратическая погрешность М будет наименьшей при условии минимального значения подкоренного выражения

Z = sin2α + sin2β.

Так как

β = 180°— (α + Θ)

то

Z = sin2α + sin2(α + Θ).

Найдем значение α, при котором Z = min

f' (Z) = 2 sinα cosα + 2 sin(α + Θ) cos(α + Θ)

или

sin2α +sin2(α + Θ) = 0,

а принимая во внимание выражение для Θ, получим

sin2α — sin2β = 0,

откуда

α = β .

Таким образом, при постоянном значении угла пересечения лучей Θ самый точный результат определения места будет получен, когда искомая точка Р одинаково удалена от теодолитных постов (S1=S2=S). Тогда

Как видно из этой формулы, величина средней квадратической погрешности зависит от двух переменных S и Θ. Отыщем способ выражения S через какой-либо постоянный аргумент и угол Θ.

Рис.30

В соответствии с рис. 30 можно написать:

Подставим полученное значение S в формулу (6.8)

значит,

Очевидно, средняя квадратическая погрешность М будет минимальной при таком значении угла Θ, когда знаменатель выражения (6.9) окажется наибольшим. Применим обычный прием для отыскания экстремума:

= 109,4°.

Взяв вторую производную f"(Θ), легко убедиться, что Θ =109,4° соответствует максимальному значению знаменателя. Таким образом, можно утверждать, что место с наименьшей средней квадратической погрешностью находится на перпендикуляре к середине базы b, в той его точке, для которой Θ =109,4°.

Из этого вывода вытекает простой практический прием выбора пунктов для установки теодолитных постов. На листке кальки или прозрачного пластика строим угол, равный 109,4°. Проводим ряд параллельных линий, перпендикулярных биссектрисе этого угла. Наложив изготовленную таким образом палетку на карту, совмещаем вершину угла с серединой района работ. Поворачивая палетку вокруг этой вершины, отыскиваем такие пары точек на берегу, которые приемлемы для установки теодолитных постов. Из множества пар наиболее подходящей будет, очевидно, такая, для которой окажется наименьшей база b, что соответствует параллельной линии, находящейся ближе других к вершине.

§ 29. ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ТОЧЕК ОПРЕДЕЛЕНИИ

1. Метод преобразования полярных координат Поставим задачу отыскания удобных расчетных формул для вычисления координат при определении

места способом прямой засечки.

Пусть на теодолитных постах А (ХА, YA), В (ХB, YB) измерены прибазовые углы α, β на определяемую точку Р (X, Y).

Обратимся к общему приему преобразования полярных координат в прямоугольные. Изберем в качестве полюса пункт А (рис. 29) и обозначим расстояние до точки Р через S1, а дирекционное направление АР через TАР. Тогда в соответствии с уравнениями (5.2) можно написать:

Величины S1 и TАР по условию задачи неизвестны, но легко отыскиваются по очевидным формулам:

Подставим значения S1 и TАР в уравнения (6.10); получим формулы, удобные для вычислений на микрокалькуляторах:

Если база b и направление Т неизвестны, раскроем cos и sin разности (Т — α):

Представим cosТ и sinТ через исходные величины:

Подставляя выражения (6.12) в формулы (6.11a) и произведя очевидные сокращения, получим:

Уравнения (6.13) удобны для решения на электронных вычислительных машинах. При массовых

расчетах и прокладке точек на планшетах вычисляются координаты относительно юго-западного угла рамок:

х = (Х — XS)k; y = (Y — Yw)k.

где k — масштабный коэффициент.

При решении с помощью микрокалькуляторов для повышения точности расчетов в уравнениях (6.13) целесообразно заменить тригонометрические функции таким образом, чтобы в окончательном выражении встречались только тангенсы или котангенсы. Вынесем в числителях за скобки sinα, раскроем sin(α + β) в знаменателе, а затем разделим числитель и знаменатель на произведение sinα sinβ

Наконец, приведя в правой части все члены к одному знаменателю, получим расчетные формулы, удобные для решения с помощью клавишных машин:

2. Метод линий положения Используем нормальные уравнения двух линий положения

где τi — направление градиента;

В способе прямой засечки измеряемой функцией (Ui) являются направления Ti из опорных пунктов на

Если на теодолитных постах измеряются не дирекционные направления Ti а примычные углы α, β, то переход к направлениям осуществляется по очевидным равенствам

T1= T12 - α; T2 = T21 + β.

Подставив значение τi, ni в (6.15), получим

ΔXcos (Т1M + 90°) + Y sin (Т1M + 90°) - SIM(T1 - Т1M) = 0; ΔXcos (Т2М + 90°) + Y sin (Т1M + 90°) - S2M (Т2 - Т2М) = 0.

Приближенные расстояния SiM и дирекционные направления получают решением обратной геодезической задачи по координатам Xi, Yi опорных пунктов и координатам счислимой точки М (ХM, YM) по формулам

Метод линий положения принят в качестве основного при разработке алгоритмов для решения задач на ЭВМ. Здесь рационально использовать функции sin и cos вместо tg. Тогда

Упорядочим уравнения линий положения и напишем для них окончательные выражения