Лекции ХТП / Тема-2
.pdf101 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
- ортогональности: скалярное произведение двух любых столбцов матрицы равно нулю
|
|
n |
|
|
|
|
T |
zu |
zij ziu |
0 |
( j, u 0, 1,..., m |
u |
j); |
z j |
||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
- нормировки: скалярное произведение двух одинаковых столбцов матрицы
равно n ( |
n 2 |
m |
в ПФЭ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
T |
z j |
2 |
n |
( j 0, 1, ..., m). |
|
|
|
z j |
zij |
|||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
Благодаря перечисленным оптимальным свойствам матрицы планирования информационная матрица в ПФЭ при m=2 равна
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
102 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
~ |
|
|
~ |
|
T |
~ |
|
|
|
|
T |
|
n |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
Z |
|
|
0 |
n |
0 |
|
, |
3 3 |
|
|
3 4 |
|
|
4 3 |
|
|
3 4 |
|
4 3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
n |
|
т.е. она является диагональной с одинаковыми элементами на главной диагонали, равными n = 22 = 4.
Соответственно, корреляционная матрица C |
также будет диагональной и с |
одинаковыми элементами главной диагонали: |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
n 1 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
~ |
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
C |
|
|
|
Z Z |
|
0 |
n |
|
0 |
|
||||||||||
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
n 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
103 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Результатом подстановки последних соотношений в матричную формулу для определения кодированных коэффициентов регрессии будет простая формула:
~ |
n |
|
|
эксп |
n , |
j 0, 1, ..., m |
|
a j |
zij yi |
||
|
i 1 |
|
|
При учёте взаимодействия двух факторов регрессии принимает вид:
z |
1 |
|
и
z |
2 |
|
кодированное уравнение
ˆ |
~ |
z |
|
~ |
|
~ |
z |
|
~ |
z z |
|
||
y a |
0 |
0 |
a z |
a |
2 |
2 |
a |
2 |
|||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
12 |
1 |
|||||
и в матрицу планирования |
z |
включается ещё один дополнительный последний |
|||||||||||
|
столбец, каждый элемент которого равен произведению элементов столбцов, соответствующих взаимодействующим факторам:
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
104 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
|
|
z |
|
z |
|
z |
|
z |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
||||||
|
|
10 |
11 |
12 |
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
z |
|
z |
|
z |
|
z |
|
z |
|
1 |
1 |
1 |
||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
21 |
|
22 |
|
|
|
|
||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 4 |
|
z |
|
z |
|
z |
|
z |
|
z |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
30 |
31 |
32 |
31 |
32 |
|
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
z |
|
z |
|
z |
|
z |
|
z |
|
1 |
1 |
1 |
||||
|
|
40 |
41 |
42 |
41 |
42 |
|
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом матрица планирования сохраняет все три оптимальных свойства – симметричности, ортогональности и нормировки, а кодированный коэффициент уравнения регрессии при члене, характеризующем взаимодействие факторов, определяется по формуле:
~ |
n |
|
|
|
эксп |
n, |
j, u 1, ..., m |
u j |
|
a ju |
zij ziu yi |
|||
|
i 1 |
|
|
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
105 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
В теории ПФЭ доказывается, что при увеличении числа факторов (m>2) матрица
планирования |
z |
строится с использованием рассмотренной методики, в том |
|
числе и с учётом взаимодействия факторов (не только двойного, но и тройного, четверного и т.д.).
В этом случае число столбцов матрицы p зависит от числа учёта взаимодействий
факторов |
(n 2m ) |
и матрица планирования сохраняет перечисленные |
оптимальные свойства.
Поэтому для определения кодированных коэффициентов регрессии используются приведённые выше формулы.
Для расчёта натуральных значений коэффициентов в кодированное уравнение
регрессии вместо кодированных факторов |
z |
j |
j 1,...m |
следует подставить |
|||
|
|
||||||
выражения для последних через натуральные значения факторов |
x |
j |
j 1,...m |
||||
|
|
в соответствии с приведённой выше схемой кодирования.
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
106 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Определение значимости кодированных коэффициентов регрессии
Незначимость кодированных коэффициентов регрессии определяется с использованием квантиля t – распределения Стьюдента tтаблfe при помощи неравенства:
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
j |
t |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
табл |
|
S~ |
|
f |
|
|||
|
e |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где β – доверительная вероятность (в инженерных расчётах равная 0,95);
fe – число степеней свободы дисперсии воспроизводимости (при одной серии параллельных опытов равная k -1).
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
107 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Выборочное значение квадратного корня дисперсии кодированного коэффициента регрессии определяется по формуле:
где по k
|
|
S~ |
|
~ |
|
S |
|
, |
|
|
C |
jj |
e |
||||
|
|
a |
j |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
e |
- квадратный корень из дисперсии воспроизводимости, определяемой |
||||||
|
параллельным опытам в центре плана эксперимента:
|
|
|
k |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
yc |
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 j |
|
|
|
||
|
|
|
эксп |
эксп |
|
|
|
|
S |
2 |
|
j 1 |
|
|
SS |
e |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
e |
|
k |
1 |
|
f |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
SS |
e |
|
fe
-сумма квадратов дисперсии воспроизводимости;
-число степеней свободы дисперсии воспроизводимости.
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
108 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Как было показано выше, диагональные элементы корреляционной матрицы в ПФЭ при кодировании факторов одинаковы и равны 1/n, вследствие чего
S~ |
|
|
S |
e |
|
|
|||
|
|
|
|
|
a |
j |
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
В результате условие незначимости кодированных коэффициентов регрессии принимает вид:
~ |
|
|
|
|
|
||
a |
j |
n t |
|
|
|
||
|
|
табл |
|
S |
|
f |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
~
Так как корреляционная матрица C в этом случае является диагональной, то кодированные коэффициенты регрессии статистически независимы и при одновременной незначимости нескольких кодированных коэффициентов регрессии они (в отличие от процедуры обработки пассивного эксперимента) могут быть сразу, все вместе, исключены из кодированного уравнения регрессии.
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
109 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Проверка адекватности уравнения регрессии
Проводится так же, как и при проведении пассивного эксперимента, с использованием табличного значения критерия Фишера, выбранного при доверительной вероятности β (чаще всего равной 0,95) и числе степеней
свободы остаточной дисперсии ( fR ) и дисперсии воспроизводимости |
( f |
e |
|
)
.
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
110 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Условие адекватности проверяется с использованием неравенства:
F |
расч |
|
S |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
S |
2 |
F |
|
|
|
|
R |
табл |
|
|
||
|
|
|
|||
2 |
β f |
, |
f |
|
|
|
R |
|
e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
где остаточная дисперсия, характеризующая точность уравнения, определяется
по формуле: |
|
|
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ I |
|
эксп |
|
|
SS |
|
|
|
|
|
|
S |
2 |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
R |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
R |
|
|
n p |
|
|
f |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При этом |
f |
R |
n p |
, где n – число экспериментов при различных значениях |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
факторов; |
|
p |
- число значимых коэффициентов регрессии. |
К недостаткам ПФЭ относится резкое увеличение числа опытов при возрастании количества факторов больше, чем 5 ( при m = 5 n = 25 = 32 ).
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |