Методы математической физки Меркулов

p

r = jMM0j = (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2;

p

r1 = jMM1j = (x x1)2 + (y y1)2 + (z z1)2;

а также = jOM0j (рис 4.1).

Значит, она является непрерывной и гармонической в шаре. Покажем, что

Если точка M лежит на границе R, то jOMj = w = R и справедливы равенства:

4.6) следует, что других функций, удовлетворяющих тем же условиям, не существует.

130

Тогда искомая функция Грина имеет вид

Пример 4.11. Найти гармоническую в шаре радиуса R функцию, принимающую на границе шара R значения u0.

Пусть u = u(M) – искомая функция. Область = KR(O) – шар радиуса R с центром в точке O. Функция u является решением задачи

2. Пусть M0(x0; y0; z0) не является центром шара. Для нее применим формулу (4:15):

Поскольку w = jOMj, то нетрудно заметить, что @~@n = @w@ . Тогда, используя формулы (4:16), получим

131

R

Этот интеграл называется интегралом Пуассона для шара. Учитывая, что для точек, расположенных на сфере R, выполняется

равенство r2 = R2 + 2 2R cos , преобразуем полученный интеграл к виду

Перейдем теперь к сферическим координатам с началом в точке O:

132

Этот интеграл, как и интеграл (4:18), называется интегралом Пуассона для шара.

Приведем пример использования полученной формулы.

Пример 4.12. Верхняя половина поверхности шара радиуса R поддерживается при температуре T0, а нижняя – при температуре, равной нулю. Найти стационарное распределение температуры вдоль радиуса шара

= 0.

Согласно условиям задачи функция u не зависит от угловой координаты '.

Эта задача была решена в примере 4.4. Решение было получено в виде ряда Фурье (4.9). Найдем теперь функцию u другим способом.

Пусть M0( 0; 0; '0) – произвольная точка шара. Найдем температуру шара в этой точке, используя интеграл Пуассона (4:19):

Вычислить температуру во всех точках шара с помощью этого интеграла сложно.

Рассмотрим точки M0( ; 0; '), расположенные вдоль радиуса = 0 (рис. 4.2). Пусть M – произвольная точка поверхности шара. Тогда =

133

= 6M0OM = , следовательно,

p

Эту формулу можно использовать для всех точек радиуса, исключая центр шара ( = 0). Температуру в центре шара найдем по формуле (4:17)

4.10. Метод сеток для уравнения Пуассона

Покажем, как строится разностная схема для уравнения Пуассона в прямоугольнике с краевыми условиями Дирихле на границе . Пусть требуется найти функцию u(x; y), удовлетворяющую уравнению Пуассона

= 0; :::; n, j = 0; :::; m, разбив отрезок [0; a] на n равных частей точками

134

xi = ihx, i = 0; :::; n, а отрезок [0; b] – на m равных частей точками yj = jhy, j = 0; :::; m (hx = na, hy = mb – шаги сетки по осям 0x и 0y соответственно) (рис. 4.3).

Все функции, заданные в краевой задаче, будем рассматривать только в узлах сетки. Обозначим uji = u(xi; yj).

Для внутренних узлов сетки запишем уравнение Пуассона, заменив производные в узлах разностными отношениями (1.46):

В граничных узлах функция u(x; y) будет удовлетворять условиям

Отбросим в уравнениях погрешности аппроксимации производных. В результате получим уравнения относительно сеточной функции u~:

135

ближенные значения функции u(x; y) в узлах сетки. Так как значения u~ в граничных узлах известны, необходимо решить только уравнения (4.22). Умножая на h2xh2y, преобразуем их к виду

h2u~j 1 + h2u~j 2(h2 + h2)~uj + h2u~j +

x i y i 1 x y i y i+1

+h2xu~ji+1 = h2xh2yf(xi; yj);

i = 1; :::; n 1; j = 1; :::; m 1:

Получилась система, состоящая из (n 1)(m 1) уравнений с (n 1)(m 1) неизвестными u~ji . Каждое уравнение в системе связывает 5 неизвестных. Для решения систему удобно записать в матричном виде. Вид матрицы коэффициентов зависит от способа нумерации неизвестных.

~ 1 1 2 2 m 1 m 1 t

где ~u = [~u1:::u~n 1u~1:::u~n 1:::u~1 :::u~n 1 ] – матрица-столбец неизвестных. Число неизвестных в системе N = (n 1)(m 1); A – матрица коэффициентов, имеющая 5 отличных от нуля диагоналей. Структура матрицы

136

показана на рис. 4.6. Крестиками отмечены отличные от нуля элементы матрицы. При указанном способе нумерации узлов сетки A – это ленточная матрица. Ширина ленты определяется числом узлов сетки по оси 0x. Кроме того, A – это матрично-трехдиагональная матрица. Размер каждой подматрицы – (n 1) (n 1). Число подматриц по вертикали и горизонтали – (m 1). Естественно, что структура матрицы учитывается при

Рис. 4.6

При решении прикладных задач обычно задают n и m 50–100. Пусть n = 101, m = 101, тогда число уравнений в системе (4.24) N = (n 1)(m 1) = 104. Для решения таких больших систем уравнений следует использовать алгоритмы, учитывающие разряженность матрицы коэффициентов A.

Отметим некоторые методы, применяемые для решения систем уравнений подобного вида: 1) прямые методы – метод Гаусса для ленточных матриц, метод матричной прогонки, продольно-поперечный метод; 2) итерационные методы – метод Зейделя, метод последовательной верхней релаксации. В настоящее время имеются стандартные программы, реализующие все перечисленные методы.

Покажем, что система (4.24) однозначно разрешима. Если f(x; y) = 0, то для построенной разностной схемы справедлив принцип максимума.

Утверждение 4.9. Если f(xi; yi) = 0, i = 1; :::; n 1, j = 1; :::; m

137

1, то решение разностной задачи (4.22), (4.23) достигает наибольшего (наименьшего) значения в граничных узлах сетки.

Доказательство. Предположим, напротив, что наибольшее значение функция u~ принимает во внутреннем узле сетки. Пусть (xp; yq) – внутренний узел, имеющий наибольшую абсциссу среди тех узлов сетки, в которых u~ достигает наибольшего значения. Для этого узла u~qp+1 u~qp < 0. Запишем для него уравнение (4.22), учитывая, что f(xi; yj) = 0:

Значит, определитель матрицы A отличен от нуля и система (4.24) имеет единственное решение.

Построенная разностная схема устойчива по правой части, т. е. для функции u~ в сеточной норме справедливо неравенство

ku~khxhy C kfkhxhy + k'1khy + k'2khy + k 1khx + k 2khx ;

где C не зависит от hx и hy. Доказательство приводится, например, в [8].

Очевидно, что эта разностная схема аппроксимирует краевую задачу с погрешностью O(h2x) + O(h2y).

Из устойчивости и аппроксимации разностной схемы следует ее сходимость. Доказательство выполняется аналогично доказательству сходимости явной разностной схемы.

4.11. Классификация уравнений второго порядка

Запишем в самом общем виде линейное дифференциальное уравнение второго порядка

где aki, bi, c, f – функции n независимых переменных x1, ..., xn, заданных в некоторой области Rn. Считаем, что aki = aik. Зафиксируем некоторую точку M0(x01:::x0n) и рассмотрим матрицу коэффициентов при вторых

138

Обозначим через 1, 2, ..., n собственные числа матрицы A0. Так как A0 симметрична, все собственные числа действительны.

Определение 4.4. Если все собственные числа 1, 2, ..., n имеют одинаковые знаки, то уравнение (4:25) называется уравнением эллиптического типа в точке M0. Если 1, ..., n одинакового знака во всех точках области , то уравнение называется уравнением эллиптического типа в области .

Определение 4.5. Если одно собственное число имеет один знак, а все остальные – другой, то уравнение называется уравнением гиперболического типа в точке M0 (или во всей области).

Определение 4.6. Если одно собственное число, например 1, равно нулю, а все остальные одного знака, то уравнение называется уравнением параболического типа в точке M0 (или в области ).

Наконец, если в одних точках области уравнение принадлежит к одному типу, а в других – к другому, то (4.25) называется уравнением смешанного типа.

Рассмотрим согласно данной классификации уравнения, изученные ранее. Поскольку использовались уравнения с постоянными коэффициентами и матрица A с ее собственными числами не менялись от точки к точке, все уравнения имели определенный тип в области.

Пример 4.13. Рассмотрим уравнение Лапласа

собственные числа матрицы 1 = 2 = 3 = 1. Следовательно, уравнение Лапласа – это уравнение эллиптического типа.

Пример 4.14. Волновое уравнение в двумерном случае имеет вид

139