Konspekt_po_algebre

ãäå x2 = (

xˆ)

(

xˆ) = (( xˆ) )

xˆ = (ˆx

)

xˆ = xˆ e12

. . .

e1 · ek

xˆ = xˆ (

) xˆ

E

·

E

.

E

· E

E

· E

ek e1

· · ·

ek2

E

.2 ...

e1

e1 · ek

(

) матрица рама. (Тактолькак

строка из векторов, то

ek e1 · · ·

ek2

≡

E

E

E

T

Еслитолбецсистемаизвекторов.)

ординатного олбца(e1, ..., ek )

линейно независима, то

о для нулевого значен я ко

нытельно.Вчопределена

xˆ

x

xˆ (E)ˆx

стности

. Поэтомувекторпо критериюравен0. ЗначитСильвестраквадратичнаявсеугловыесистема,оринорыT полоположитель-

Обратное. Пус| ü(E)| > 0. Что влечет

| (E)| 6= 0.

с ществует набор òàêèõ| (÷èñE)| 6=ë 0,

пусть E линейно зависимая

следовательно,

нулюУмножим. последнее

xˆ 6= 0

0 = Exˆ

равенство слева, чтона

, то есть линейная комбинация равна

ET.

Íî

ET0 = ETExˆ 0 = (E)ˆx.

равенство:

÷òî

−1

(E). Умножим слева на обратную матрицу последнее

| (E)| 6= 0,

−1

влечет

предположение( (E))ëèíå0 =íîéIxˆзависимости= xˆ = xˆ = 0.

Получелинейнопротиворечие. Его источник

ерийсистемарама линейнойвекторовзависимости.Значит,линей езависимостнезависимой.сима.

чтобы

E

E

Äляоказантогокри

ûрожденала.

необходимо и до-

статочно,Если•11.2чтобыв.2конечномерном.Общийматрицавидевклидовоскалярногорама былампроизведенияневEпространствеб

En n-мерное

про транство,

существует n-м рный базис

Аналогичн. Тîãäà

( x n

n

)( xˆ) x =

Exˆ

, ãäå

вектоалярное,

столбец.

E = (e1

...en)

E

x

xˆ

( y E )( yˆ) y = Eyˆ. Исследуем ск

произведение.

n

n

n

T

X

X

X

номЗдесьвидепоследняя сумма является билинейной ормой. Ее можно представить в матрич-

x · y = (Exˆ) · (Eyˆ) =

1 eixi!

·

1

ej yj !

= i,j=1 ei · ej xiyj .

2

e1.en

y.1

e1.e ...

·

ene1 · · ·

en2

yn

E

b

b

(11.6)

остран тва с некоторым базис м

Таким

скалярное произведение векторов

= x (

)y.

образом,x y = (x1...xn)

E представимо

x · y

конечномерного евклидова

виде билинейной ормы (11заданного.6),де

ïðинтегралом;актическиординатндлявычислениянечномерноестолбцы,л жн гоматрицаскалярногорамапрîтизведения,. Этот результатнапример,применяется

xˆ yˆ

(E)

E

n

аточновычислитьпрстнствоматрункций,цурама.пример,Это

E

2

= L(sin x, cos x)

.

Следует взятьEнекоткîрый базиснайденными

разлокооржить12.06динатными.2012оба векторастолбцамипобазису.

и скалярныхвычислить

значениепроизведенийбилинейн.Затойпотомормыдост 62

n(n + 1)/2

она диагональна. Это случается когда все векторы б зиса ортогональны друг другу:

1906

ei · eÝòîj = когда базиснаяi 6= j. Ещесистемапрощеортонормирована:вычисления, если матрица рама единичная.

Тогда

ei · ej = 0 i 6= j ei2 = 1, i = 1, n.

n

тонормированнойныйДляИз.В•не11любой.ртогонального2.4..ШмидтлинейноАлгоритм, чтоссохранениемдаетоткрылнезависимойбазисаШмидтаметоихможноTд,линейныхортогонализациисистемыкотпîрыйлучитьвекторовоболочексводиорòогональныйсистемсистему.векторовк ортогональнойилиортонормилированор-

(E) = I

x · y = xˆ xˆ = P1

xiyi.

чтобы система составляла базис) алг ритм рекурентно находит для линейной(не обязательно,оболочки

E = (a1, . . . , an)

L(E)Âàîðианттогональбезнормировкиый или ортонормирîванный базис B = (b1, . . . , bn).

b1 := α1

b2 := a2 − α21b1, α21 такой, чтобы b2 было ортогонально b1.

0 = b1 · a2 −

α21b12 =

α21 =

b1a2

.

b2

1

b3 = a3 − α31b1 − α32b2, b3 должно быть ортогонально b1 è b2.

0 = b1a3 − α31b12 =

α31 =

b1a3

,

b2

1

0 = b2a3 − α32b22 =

α32 =

b2a3

,

b2

............ ...........

2

a3bi−1

i−1

aibj

a3b1

X

bi = ai −

b12

· b1 · · ·

bi2−1

· bi−1 = ai −

bj2

bj

j=1

b1 := a1, b1 :=

b1′

,

p

(b′

)2

1

b2′

′

b2

:= a2 − (a2 · b1)b1, b2 :=

,

′

2

........................

p(b2)

′

P

bi

′

i−1

bi

= ai −

j=1(aibj ) · bi, bi :=

(b′ )2

i

63

12.06.2012

.........................

p

какие-то векторыб

ужепрострбыли ор

огональбесконечноы, то(континуум)меньше. А вообще.

количество ортонор

мированныхЗ ч н

2.

ебольшой моди ик цией можно применять и для ли-

нейно зависимыхазисовсистеАлгоритм. Тогдаанства некоторых -x шагах могут появляться нулевые

bi.

Их вместе

i

Упражнения.a1)i ледуетОртонормироватьизъять. систему ункций

2)

(1, x), åñëè f · g = Z0

1 f (t)g(t) dt;

(sin x, cos x), åñëè f · g = Z0

π/2 f (t)g(t) dt.

ат3. мстрОртогональныенепространстве,11выводят.6. Линейноеизэтогодляпоподпрострдпространкот рогостранстваоперацииñтвова сложенияэто.Инымиподпрострподмножество,элеловамиментов.Пустьсодержащиесяумножени

навОпределениевекторноопер§11.

торное пр

анство. Множество

V âåê-

L называется его

анство когда

(11.7)

всехОпределениевекторов,

( x L) ( t P )

tx L

V

L

( x, y L) x + y

L

ортогональных11.7. Ортогональноевсемвекторамдополнениепространстваподпространства L это множество

L.

Очевидно,

L := {x| ( y L) x · y = 0} .

(11.8)

дует,ДТравноеоремак чтоисхзт11дномуел.6ь.сL

= L

линейностиоеортогональноедополнен. и дèстрибутивностие являетсядополнениелинейнымкскортогональномуалярногоп дпространствомпроизведениядополнению.сле-

Ортогональподпространствув. Из

t R1

x L

= x L ,

( y L) (tx) · y = t(x · y) = 0

другу,Определениекогдаx, y 11L

( z L)

(x + y) · z = x · z + y · z = 0

= (x + y) L .

.8. Два линейных подпространства называются ортогональными друг

åòñÿ

( x L1) ( y L2) x · y = 0.

Обозначение

: L1 L2

ортогональность вектора

. Аналогично определя-

xОпределениеL.

11.9. Пусть

x подпространству L : ( y L) x ·y = 0. Обозначение:

цией вектора

L подпространс во, x вектор. Орт гональной проек-

pr

x на подпространство Lназывается

акой вектор prLx, ÷òî (L −

обозначениеpr . азность

x

−

pr

Lx

ортогональной составляющей. Ее

Lx)

Lx

: ortLx. Иногда

o Lx. 64

12.06.2012

и онаД о кединственныйа з а л ь эквивалентновект. Посколькур с такимиx\Lxсвойствамиsup cos x.y,

(11.12)

cos

pr

= y L

c

утверждение (11.12)

óòâåрждению·

= cos

x\prLx

è

x

·

y

= cos x y,

x

prLx

c

kxk kprLxk

kxk kyk

Обозначим проекцию через

·

prLx

=

sup

x

·

y

.

(11.13)

x

kxk kprLxk

y2=1 y L kxk kyk

íîå

p. Тогда умножая (11.13) на ||x||и ||p||, имеем эквивалент-

Остается доказатьx

·

p

sup

x

· (

y

k

p

sup

x

·

y.

(11.14)

= y2=1 y L

k) = y2=p2 y L

Лемма 11.1. Пусть

x · y ≤ x · p

при условии y2 = p2 y L.

(ÄèçéLñ).тТогдав и т е лp ·ízî<.

y2 = p2 y L y = p + z,

ãäå z некоторая ненулевая добавка

0.

p2 = y2 = p2 + 2p ·z + z2

0 = 2p ·z + z2,

èáî

z 6= 0 = p ·z < 0.

...

является подпро-

принять во внимание, что

В пространстве E2 утверждение леммы весьма наглядно, если

Возвращаемспроекциятеор му.

p z > 90

0.

cos p z < 0

c p

c

(òàê êàê z · p < 0

в силу леммы). Так м образом,x ·

y = x · (p + z) = x · p + z · p < x · p

xминимайзер· yКак.Т известно,естьпоуглумножество.

единственный условный максимайзер выражения

единственныйрешений линейноймаксимайзерсистемыпокосинусу и такж единственный

a1x = 0

странством. Так же и линей ая оболочка векторов

ak x = 0

подпространства ортогональны друг другу:

, a подпространство. И эти

x

...

=: S

a1, ... k

ное(В последнЗадачапроизв

îò

S := L(a1, ..., ak ).использовано скаляр-

a1

·

x = 0

ak

x = 0

·

åдение)й1системе. Найти в отличие

предпоследней для наглядности

ρ(x, S)

,

ãäå 67

06.2012.

S = L(a1

, ...12,.ak )