Учебники 80134
.pdfг) Искомую вероятность находим по формуле
P(X 1, Y 2) P(2 X 4, 0 Y 2)
F(4, 2) F(2, 2) F(4, 0) F(2, 0)0,7131 0,4761 0 0 0,237.
Этот же результат можно получить непосредственным подсчетом вероятностей
P(X 1, Y 2) p31 p41 p32 p42
0,0652 0,0087 0,1370 0,0261 0,237.
д) Составляющие X и Y зависимы, так как, например,
p22 P X 1, Y 1 0,2087
P X 1 P Y 1 0,4565 0,4696 0,2144 .
е) Вычислим условные вероятности случайной величины X при условии Y 1 по формуле (11.4)
|
P X 0/Y 1 |
P X 0, Y 1 |
|
0,0978 |
|
0,2083, |
|||||||||||||
P Y 1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,4696 |
|
|
|
|
||||||||
|
P X 1/Y 1 |
|
|
P X 1, Y 1 |
|
|
|
|
0,2087 |
|
|
0,4444, |
|||||||
|
|
|
|
0,4696 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P Y 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
P X 2/Y 1 |
|
P X 2, Y 1 |
|
|
|
0,137 |
|
|
0,2917, |
|||||||||
|
|
|
|
0,4696 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P Y 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
P X 3/Y 1 |
P X 3, Y 1 |
|
|
|
|
0,0261 |
0,0556. |
|||||||||||
|
|
0,4696 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P Y 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
Записываем искомый условный закон распределения X |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
X |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|||||
|
P(X xi /Y 1) |
0,2083 |
0,4444 |
|
|
0,2917 |
0,0556 |
|
Контроль: P(X xi /Y 1) 1.
i
Вычислим условные вероятности случайной величины Y при условии X 2 по формуле (11.5)
|
P Y 0/ X 2 |
P Y 0, X 2 |
|
0,0652 |
|
0,2221, |
|||||||||||||||||
P X 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0,2935 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
P Y 1/ X 2 |
|
|
P Y 1, X 2 |
|
|
|
|
0,137 |
|
|
|
0,4668, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P X 2 |
0,2935 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
P Y 2/ X 2 |
|
P Y 2, X 2 |
|
|
0,0783 |
0,2668, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P X 2 |
0,2935 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
P Y 3/ X 2 |
P Y 3, X 2 |
|
|
0,013 |
|
0,0443. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P X 2 |
0,2935 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Записываем искомый условный закон распределения Y |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Y |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||||
|
P(Y yj / X 2) |
0,2221 |
0,4668 |
|
|
0,2668 |
0,0443 |
|
Контроль: P(Y yj / X 2) 1.
j
Пример 2. Плотность распределения вероятностей дву-
мерного случайного вектора X, Y имеет вид |
|
||||||
|
|
x |
y |
|
|
||
csin |
|
|
|
|
при 0 x a, |
0 y b |
|
|
|
||||||
pXY (x, y) |
|
2a |
2b |
|
|
||
|
в остальных случаях |
|
|||||
0 |
|
||||||
Требуется: |
|
|
|
|
|
|
|
а) найти значение постоянной с; |
|
||||||
б) найти вероятность попадания случайной точки X, Y |
|||||||
в треугольник с |
вершинами |
A(a 4, 3b 4), |
B(a 2, b 4) и |
||||
C(3a 4, b 2) ; |
|
|
|
|
|
|
|
39 |
40 |
|
в) найти функцию распределения системы X, |
Y ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) найти функции распределения составляющих X и Y ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
д) найти плотности распределения вероятностей состав- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ляющих X и Y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
е) установить, зависимы или независимы составляющие |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X и Y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) найти условные плотности распределения вероятно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
стей составляющих X и Y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Решение. а) постоянную с находим из условия норми- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ровки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
dx pXY (x, y)dy dx csin |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
2a |
|
|
2b |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a |
|
|
|
2b |
x |
|
y |
|
|
b |
|
|
|
|
2bc a |
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
c dx |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
cos |
|
|
dx |
|||||||||||||
|
|
2a |
2b |
|
|
|
2a |
2a |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2bc 2a |
cos |
x |
sin |
x |
|
|
4abc |
1 1 1 c |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8ab |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Определим уравнения сторон треугольника:
AB: |
|
x a/4 |
|
|
|
y 3b/4 |
|
|
AB: |
x a/4 |
|
y 3b/4 |
|
|||||||||||||||||||||||
a/2 a/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a/4 |
|
|
b/2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b/4 3b/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
или |
AB: y |
|
2b |
|
x |
|
5b |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
AC : |
|
x a/4 |
|
|
y 3b/4 |
|
|
AC : |
|
x a/4 |
|
y 3b/4 |
||||||||||||||||||||||||
3a/4 a/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b/4 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
b/2 3b/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a/2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
или |
AC : y |
|
b |
|
x |
7b |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
BC: |
x a/2 |
|
|
y b/4 |
|
|
BC : |
x a/2 |
|
y b/4 |
|
|||||||||||||||||||||||||
3a/4 a/2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b/2 b/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a/4 |
|
|
|
|
|
b/4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
или |
BC: |
y |
b |
x |
b |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим вероятность попадания случайной точки X, Y в
треугольник ABC , учитывая, что треугольник полностью ле-
жит в области |
|
(x, |
y) |
|
0 x a, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 y b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
x |
7b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
P (X, Y) ABC |
|
|
|
2 a/2 |
|
|
|
|
2a |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
5b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a 2b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a/4 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3a/4 |
|
|
b |
x |
7b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2a |
8 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a/2 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
b |
x |
7b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 a/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
8ab |
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
5b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3a/4 |
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
b |
x |
7b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx cos |
|
|
|
|
|
x |
|
cos |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3a/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx cos |
x |
|
|
|
cos |
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
5 |
|
|
a/2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4a |
|
|
|
4a |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a/4 |
|
41 |
42 |
|
|
4a |
|
x |
|
7 |
|
a |
|
|
x |
|
|
3a/4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4a 16 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a/2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
9 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
9 |
|
|
3 |
|
||||||||||||||
|
|
4sin |
|
|
2sin |
|
|
|
6 3sin |
|
|
|
4sin |
|
|
|
sin |
|
|
|
|||||||||||||||
|
16 |
|
8 |
|
8 |
|
8 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos |
|
|
0,44 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
По определению |
FXY (x, y) |
pXY (s, t)dsdt . |
При |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этом необходимо рассматривать различные области.
x y
1) |
Если x 0 |
то FXY (x, y) |
|
0dsdt 0. |
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
2) |
Если y 0, то FXY (x, y) |
|
0dsdt 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) Если 0 x a |
|
и 0 y b, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
2 |
sin |
s |
|
|
t |
dsdt |
|||||||||||||||||||||||
F |
|
(x, |
|
y) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
XY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8ab |
|
2a |
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2b x |
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
t |
|
y |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dscos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
8ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
ds |
|
||||||||||||||||||||||
|
4a |
|
2a |
|
|
|
2a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
y |
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
s x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2a 2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
4) Если 0 x a |
и y b, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
F (x, y) |
x b |
|
2 |
sin |
s |
|
|
t |
dsdt |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
8ab |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
XY |
|
|
|
|
2a |
|
2b |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2b x |
dscos |
|
s |
t |
|
b |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8ab |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2a |
2b |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
s |
|
||
|
|
|
cos |
|
|
||
4a |
2a |
||||||
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
1 s
2 cos 2a
5)Если x a
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
x |
|
|
s |
|
|
s |
||||||||||
|
|
|
|
cos |
|
|
ds |
|
|
|
|
sin |
|
|
cos |
|
ds |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
4a |
2a |
2a |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s x |
1 |
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
sin |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
sin |
|
|
1 |
|
|||||||||||||
|
|
2a |
|
2a |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2a 0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2sin |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и 0 y b, то
|
|
|
F |
(x, |
|
y) |
a y |
|
2 |
|
sin |
|
s |
|
t |
|
dsdt |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
XY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8ab |
|
|
2a |
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
t |
|
y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dscos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
8ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a 2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
s |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
s a |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
1 sin |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
2a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) Если x a и y b, то
43 |
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
2 |
|
|
|
sin |
s |
|
|
|
|
|
|
t |
dsdt |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
F |
|
|
(x, |
|
y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
XY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
t |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dscos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
0 |
|
s |
|
|
|
|
s |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
cos |
|
ds |
|||||||||||||||||||||||||||||
4a |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2a |
|
4a |
|
|
2a |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s a |
|
|
|
|
1 |
|
1 1 1. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Таким образом, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0, |
x 0 или |
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x a и 0 y b |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
FXY (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x a и y b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
2a |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x a и 0 y b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
2b |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a и y b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
г) Согласно свойству функции распределения |
FX (x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
FXY (x, |
). В данном примере 0 y b, поэтому, исходя из |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
результатов предыдущего пункта для y b, получим |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) при x 0 |
FX (x) 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2) при 0 x a |
F |
|
(x) |
1 |
1 |
|
2sin |
|
|
|
x |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2a |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3) при x a |
FX (x) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, функция распределения компоненты X
0, |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
FX (x) |
|
|
1 2sin |
|
|
|
|
|
, |
0 x a |
||
2 |
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|||||
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
||
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, FY (y) FXY ( , y). В данном примере 0 x a , поэтому, исходя из результатов предыдущего пункта для x a, получим
1) при y 0 FY (y) 0;
2) при 0 y b |
F (y) |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2sin |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2b |
|
|||||||||||||
3) при y b |
FY (y) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Таким образом, функция распределения компоненты Y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0, |
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
FY (y) |
|
|
1 |
|
2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0 y b |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
д) Плотность распределения вероятностей составляющей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X при 0 x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
pX (x) |
pXY (x, |
y)dy |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|||||||||||||||||||||||||
8ab |
2a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
2b |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
cos |
|
|
|
|
|
2sin |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
8ab |
|
|
|
2a |
|
|
2b |
|
|
0 |
|
|
4a |
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При x 0 и x a
b
pX (x) pXY (x, y)dy 0dy 0.
0
Другим способом получаем такой же результат
45 |
46 |
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
0 x a |
||
pX (x) FX |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
, |
|
4a |
|
|
||||||||
(x) |
|
4 2a |
|
|
||||||
|
|
|
x 0, |
a |
|
|
|
|
||
|
0, |
|
|
|
|
Аналогично, плотность распределения вероятностей составляющей Y при 0 y b
pY (y)
2 2a
8ab
При y 0 и y b
pXY (x, y)dx |
|
|
2 |
|||||
8ab |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
x |
|
y |
|
a |
||||
|
|
|||||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2a |
|
2b |
|
0 |
||||
|
|
a |
|
|
x |
|
y |
|
|
||||||
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2a |
|
|
2b |
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||
|
2sin |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
4b |
2b |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
a
pX (x) pXY (x, y)dy 0dx 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Другим способом получаем такой же результат |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 y b |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
pY (y) FY (y) |
4b |
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0, y 0, b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
е) В области 0 x a |
|
и 0 y b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
pXY (x, y) |
|
|
2 |
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
2b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
y |
|
|
|
||||||||||||||||
p |
|
(x) p (y) |
|
2 |
|
|
2 |
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Y |
4a |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4b |
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
поэтому составляющие X и Y зависимы.
ж) Условная плотность распределения вероятностей составляющей X при заданном значении Y y в области
(x, y) 0 x a, 0 y b
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|||||||||
|
|
|
pXY (x, y) |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
2a |
|
|
|
|
||||||||||
p |
X |
(x/ y) |
|
|
|
|
|
|
|
2b |
. |
||||||||||
|
4a |
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
p (y) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Y |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично, условная плотность распределения вероятностей составляющей Y при заданном значении X x в области
|
(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x a, 0 y b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
||||||||
|
|
|
pXY (x, y) |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
p (y/ x) |
|
|
2 |
|
2a |
|
|
2b |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Y |
p |
X |
(x) |
4b |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
11.3.Контрольные вопросы и задания
1.Как определяется двумерная случайная величина, как
ееможно представить геометрически?
2.Какая двумерная случайная величина называется дискретной?
3.Что такое закон распределения дискретной двумерной случайной величины, как он задается, какому условию должна удовлетворять сумма вероятностей?.
4.Какая двумерная случайная величина называется непрерывной?
5.Что такое плотность распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины, какими свойствами она обладает?
6.Как определяется функция распределения вероятностей двумерной случайной величины, какими свойствами она обладает?
7.Как можно определить функцию распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины из закона распределения?
47 |
48 |
8.Как можно определить функцию распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины из ее плотности распределения вероятностей?
9.Как определяются условные законы и плотности распределения составляющих двумерной случайной величины?
10.Какие случайные величины называются независимыми? Запишите условия независимости для дискретных и непрерывных случайных величин.
11.4.Задания для самостоятельной работы
1.Разберитесь в решении задач [2], №№ 408, 410, 412, 416, 421, 423.
2.Решите задачи [2], №№ 409, 411, 413, 414, 415, 417, 418, 419, 420, 422, 424, 425, 426, 427, 428, 429.
Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа, типовой расчет, коллоквиум, экзамен.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. М.: Высш. шк., 1998.
2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. М.: Высш. шк., 2006.
3.Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. М.: Наука, 1999.
4.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш. Кремер. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
5.Кибзун А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами / А.И. Кибзун, Е.Р. Горяинова, А.В. Наумов. М.: Физматлит, 2002.
6.Андронов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика / А.М. Андронов, Е.А. Копытов, Л.Я. Гринглаз. СПб.: Питер, 2004.
7.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике / Д.Т. Письменный. М.: Айрис-пресс, 2004.
8.Дубровская А.П. Теория вероятностей и элементы математической статистики / А.П. Дубровская, В.И. Минаков. Воронеж: ВПИ, 1993.
9.Глушко Е.Г. Элементы теории вероятностей и математической статистики / Е.Г. Глушко, А.П. Дубровская. Воронеж: ВГТУ, 2004.
10.Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика / В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский. М.: Высш. шк., 1991.
11.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей / В.П. Чистяков. М.: Наука, 1987.
12.Гурский Е.И. Теория вероятностей с элементами математической статистики / Е.И. Гурский. М.: Наука, 1971.
13.Захаров В.К. Теория вероятностей / В.К. Захаров, Б.А. Севостьянов, В.П. Чистяков. М.: Наука, 1983.
14.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей / Б.В. Гнеденко. М.: Наука, 1988.
15.Прохоров Ю.В. Теория вероятностей / Ю.В. Прохоров, Ю.А. Розанов. М.: Наука, 1973.
16.Боровков А.А. Курс теории вероятностей / А.А. Боровков. М.: Наука, 1976.
17.Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика / В.С. Пугачев. М.: Наука, 1979.
18.Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая статистика / О.С. Ивашев-Мусатов. М.: Наука, 1979.
19.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Под ред. А.А. Свешникова. .: Наука, 1965.
49 |
50 |
20.Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей / А.М. Зубков, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков. М.: Наука, 1989.
21.Данко Л.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / Л.Е. Данко. А.Г. Попов. Т.Я. Кожевникова. М.: Высш. шк., 1980. Ч. 2.
22.Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика / Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н. и др. Под ред. А.В. Ефимова. М.: Наука, 1990.
23.Сборник задач по высшей математике. 2 курс / К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный, Ю.А. Шевченко. М.: Айрис-пресс, 2004.
24.Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчеты) / В.Ф. Чудесенко. М.: Высш. шк., 2007.
25.Дежин В.В. Использование математического моделирования при решении экономических вероятностных задач: методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» студентов направления 080100 «Экономика» профиля «Экономика предприятий и организаций» очной формы обучения. Ч. 1 / В.В. Дежин. Воронеж: ВГТУ, 2013.
26.Дежин В.В. Использование математического моделирования при решении экономических вероятностных задач: методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» студентов направления 080100 «Экономика» профиля «Экономика предприятий и организаций» очной формы обучения. Ч. 2 / В.В. Дежин. Воронеж: ВГТУ, 2013.
27.Дежин В.В. Использование математического моделирования при решении экономических вероятностных задач: методические указания для организации самостоятельной работы по курсу «Теория вероятностей и математическая стати-
стика» студентов направления 080100 «Экономика» профиля «Экономика предприятий и организаций» очной формы обучения. Ч. 3 / В.В. Дежин. Воронеж: ВГТУ, 2013.
СОДЕРЖАНИЕ
Занятие № 10. Числовые характеристики случайных величин………………………………………….........1
Занятие № 11. Законы распределения случайных векторов………………………………...………………………..27
Библиографический список……..…………..………....…49
51 |
52 |
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАДАЧ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы по курсу
«Теория вероятностей и математическая статистика» студентов направления 080100 «Экономика» профиля «Экономика предприятий и организаций» очной формы обучения
Часть 4
Составитель Дежин Виктор Владимирович
В авторской редакции
Подписано в печать 26.06.2013.
Уч.-изд. л. 3,2.
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
53