Учебное пособие 800672

2.2.4. Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если её плотность вероятности f(x) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его,

Отсюда = .

Таким образом, непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения, на отрезке [a, b], если её плотность вероятности

её дисперсия

График функции распределения F(x) равномерно распределённой случайной величины X представлен на рис. 2.5.

Рис. 2.4. Равномерный закон распределения

Рис. 2.5. График функции распределения F(x) равномерно распределённой случайной величины X

Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчётов (например, ошибка округления числа до целого распределена равномерно на отрезке [–0,5; 0,5]), в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений, подчинённых заданному распределению. Так, случайная величина X, распределённая равномерно на отрезке [0; 1], называемая «случайным числом от 0 до 1», служит исходным материалом для получения случайных величин с любым законом распределения [19].

32

2.2.5. Экспоненциальный закон распределения

Непрерывная случайная величина X имеет экспоненциальный (показательный) закон распределения с параметром , если её плотность вероятности f(x) имеет вид:

Кривая распределения f(x) приведена на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Кривая экспоненциального распределения

Функция распределения случайной величины X, распределённой по экспоненциальному закону, есть

График функции распределения F(x) случайной величины X, имеющей экспоненциальное распределение представлен на рис. 2.7.

33

Рис. 2.7. График функции распределения F(x) случайной величины X, имеющей экспоненциальное распределение

Экспоненциальный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надёжности. Так, например, интервал времени Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке событий имеет экспоненциальное распределение с параметром – интенсивностью пото-

ка [17].

2.2.6. Геометрическое распределение

Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, ..., m, ...

(бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями

прогрессию с первым членом p и знаменателем q (отсюда и название «геометрическое распределение»).

Случайная величина X = m, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число m испытаний, проведённых по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления со-

34

бытия в каждом испытании до первого положительного исхода.

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей геометрическое распределение с параметром p, равно

( ) = , , а её дисперсия ( ) = , где q = 1 – p.

2.2.7. Треугольное распределение

Cлучайная величина ξ имеет треугольное распределение (распределение Симпсона) на отрезке [a, b] (a < b), если ее

плотность вероятности вычисляется по формуле

Если ξ1 и ξ2 – независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [a/2, b/2], то случайная величина ξ = ξ1 + ξ2 имеет треугольное распределение (рис.2.8).

35

Рис. 2.8. Функция плотности распределения вероятностей треугольного распределения

Треугольное распределение часто используется при моделировании случайных явлений при отсутствии достаточных данных, позволяющих сформулировать гипотезу об ином распределении. Однако использование треугольного распределения ограничивает исследователя невозможностью независимого варьирования такими параметрами как мода, медиана, математическое ожидание [23].

2.3. Методыстатистическогооцениванияи проверкагипотез

Часто объектом статистического анализа являются результаты наблюдения случайной величины X, вид распределения которой известен. Например, если имеются данные о росте новобранцев в возрасте 20 лет, то опыт обработки такого рода данных дает основание утверждать, что наблюдаемая случайная величина X имеет нормальное распределение N(m, 2). Задача состоит в нахождении приближенных значений-оценок параметров распределения т и 2 по выборке [25].

Аналогично, ставится задача об оценке параметров других распределений.

В общем случае, пусть ,… — выборка наблюдений случайной величины Х известным законом распределения ( , ), где параметр неизвестен. Оценка параметра по выборке объема п вычисляется как значение некоторой функции элементов выборки (такие функции называются стати-

стиками)

можно использовать для оценки одного и того же параметра. Например, в случае если распределение генеральной совокупности симметрично относительно математического ожидания т, для оценки параметра т можно взять выборочное среднее

36

== 1

или выборочную медиану h

=

Оценка параметра при помощи любой статистики дает приближенное значение параметра. Более того, значения статистик для разных выборок объема п из одной генеральной совокупности будут различны. В качестве оценки следует взять такую статистику, значения которой для различных выборок из данной генеральной совокупности были бы «в среднем» близки к истинному значению параметра. Желательно также, чтобы с увеличением объема выборки точность оценки возрастала.

Для выбора статистики, которая определяет значение оценки , имеющее наименьший разброс около истинного

борочным распределением оценки (или просто распределе-

нием оценки).

Лучшая оценка параметра может быть получена путем сравнения выборочных распределений нескольких подходящих статистик. На рис. 2.9 приведены эскизы графиков плотностей распределений для трех статистик , и , используемых для оценки одного параметра . Очевидно, статистика, предпочтительнее статистик и ,, так как плотность - теснее сосредоточена около истинного значения , чем плот-

рочное распределение той или иной статистики получить не37

возможно. В этом случае для выбора наилучшей оценки используют несколько свойств, которые характеризуют качество оценок параметров и которыми должна обладать «хорошая» оценка. Это следующие свойства.

быть установлена с помощью следующей теоремы Теорема 1 (достаточное условие состоятельности). Ес-

оценкой параметра , если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т. е. М[ ] = .

Разность М[ ]- называется смещением, или система-

тической ошибкой. На рис. 1.10 — плотность смещенной

оценки , параметра , смещение равно М[ ]- . Для не-

смещенных оценок систематическая ошибка оценивания равна нулю.

методы нахождения оценок параметров распределений: метод

38

моментов, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов и другие.

Рис. 2.9. Графики плотностей распределения статистик, используемых для оценки одного параметра .

2.3.1. Несмещенные и состоятельные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности

Пусть выборка из генеральной совокупности с конечным математическим ожиданием т и дисперсией2. В качестве оценки математического ожидания возьмем выборочное среднее

Чтобы проверить несмещенность и состоятельность выборочного среднего х как оценки т, рассмотрим статистику

ремы 1, является состоятельной оценкой математического ожидания т генеральной совокупности.

Рассмотрим оценку дисперсии. Покажем, что статистика

будет несмещенной и состоятельной оценкой дисперсии генеральной совокупности.

Предварительно преобразуем сумму квадратов следующим образом:

( − ) = [( − ) −( − )] =

= ( − ) − 2( − ) ( − ) + ( − ) =

= ( − ) −2 ( − ) + ( − ) =