Учебное пособие 800654

где в правой части i xi,h − погрешность (невязка) аппроксимации диф-

ференциального оператора конечно-разностным.

Считая, что функция (x) имеет непрерывные производные до четвертого порядка включительно, запишем её разложение в ряд Тейлора в точках xi 1 xi h, xi 1 xi h по степеням h:

Подставляя разложения (5), (6) в (4) и учитывая, что точная функцияx в узлах сетки x xi удовлетворяет уравнению (2), а именно

получаем формулу для невязки аппроксимации (4)

Тогда, в локальной − чебышевской норме имеем:

Таким образом, погрешность аппроксимации дифференциального оператора для конечно-разностной схемы (3) имеет в чебышевской норме второй порядок

60

O(h2 )

в классе функций (x), имеющих непрерывные производные до четвертого порядка включительно.

2. Погрешность аппроксимации граничных условий

Вычислим погрешность (невязку) граничных условий в (3). Введем в узлах сетки погрешность

Таким образом, погрешность аппроксимации граничного условия (11), приводит к погрешности в первом узле

1 O(h3).

61

3. Устойчивость конечно-разностной схемы по отношению к возмущению, вызванному погрешностью аппроксимации граничных условий. Метод «замороженных» коэффициентов

Задача для исследования устойчивости возмущений i ~i i получается путем вычитания из уравнения (3) уравнения (4). При этом, считая i малой величиной, учтём, что

sin i sin i i sin i cos i i.

В результате получаем задачу для возмущений

Всвязи с уравнением (12) отметим следующее:

1)уравнение нелинейное за счет присутствия в коэффициенте перед i

члена, содержащего cos i ;

2) специфика решаемой задачи приводит к малому параметру kh2 1, стоящему перед cos i .

Для исследования устойчивости решений нелинейного уравнения (12) применим способ «замороженных» коэффициентов [3], заменяя cos i в этом уравнении на некоторый параметр , который может изменяться в пределах1 1. При этом можно надеяться, что поскольку для всех узлов схемы в коэффициенте перед i в (12) для нелинейности будет выполняться условие

kh2 cos i 1, 2

то способ «замороженных» коэффициентов, линеаризующий исходно нелинейное уравнение (12), даст приемлемый результат при исследовании устойчивости.

Таким образом, линеаризованная задача (12) для исследования устойчивости конечно-разностной схемы принимает вид:

Как обычно [4], при исследовании устойчивости схемы по отношению к возмущению граничных условий, будем рассматривать однородное уравнение

62

(13), положив формально невязку аппроксимации дифференциального оператора i 0. Тогда задача (13) принимает вид:

Будем искать решение уравнения (14) в виде

Подставляя (15) в уравнение (14), получаем квадратное уравнение для :

2kh2

2 1 1 0,2

ность (возмущение) граничного условия не возрастает с ростом i:

1 0. В этой области имеются два комплексно сопряженных корня (16)

при этом

1,2 1.

В этой области «замороженного» параметра граничное возмущение также не возрастает по норме:

63

то есть

3) Рассмотрим теперь область положительных значений «замороженного» параметра 0 1. В этой области корни имеют вид

Учитывая, что в рассматриваемой задаче kh2 1, получаем для корней

Из этих двух корней наиболее «опасным» для роста возмущений является1 , который запишем в виде

1 1 k h O(h2).

Подставляя этот корень в формулу (15), получаем, учитывая, что

k h 1,

i 1 i 1 1 k h i 1 ek hi 1 ek xi 1.

То есть для нормы имеем

В этой области значений «замороженного» параметра схема слабо устойчива [3], т.е. для любого конечного xi необходимо подобрать шаг h так, чтобы правая часть (19) была малой.

Таким образом, для любых конечных xi имеем:

i c O h3 при 0 1.

Следовательно, как видно из (17), (18), (19) при любых значения «замороженного» параметра 1 1 и для любых конечных xi разностная схема устойчива по отношению к возмущению граничных условий (14), вызванному их конечно-разностной аппроксимацией. Эта устойчивость характеризуется нормой

На этом основании можно предположить, что и исходная – нелинейная конечно-разностная схема будет устойчива для любых конечных xi по отношению к этому возмущению граничных условий.

64

4. Устойчивость конечно-разностной схемы по отношению к возмущению, вызванному погрешностью аппроксимации дифференциального оператора

Для исследования устойчивости конечно-разностной схемы по отношению к возмущениям, вызванным погрешностью (невязкой) аппроксимации дифференциального оператора, рассмотрим, как обычно [4], задачу (14) с однородными (нулевыми) граничными условиями

Для упрощения и сокращения количества выкладок временно предположим (окончательный результат не зависит от этого предположения), что существует аналитическое продолжение сеточных функций i и i , определенных в дискретных узлах сетки xi i h, i 0, 1, 2, , на непрерывную ось Ох. При этом будем требовать от аналитического продолжения x не-

прерывность и дифференцируемость до второй производной включительно, а для аналитического продолжения x лишь непрерывность самой функции.

Тогда при h 0 конечно-разностная задача (20) превращается в дифференциальную:

d2G x x k G x x x x . dx2

В зависимости от величины замороженного параметра функция G x x имеет вид:

65

1) 0 1

где i0 1 − мнимая единица.

Записывая теперь формулу (22) в дискретных узлах сетки, получаем следующее представление для погрешности i :

i

i Gij j h,

j 1

Из равенств (23), (24), (25) после выполнения суммирования следуют оценки по норме:

1) 0 1

66

2) 0

тойчива (для любых конечных xi ) по отношению к возмущению, связанному с невязкой аппроксимации дифференциального оператора. В рассматриваемом здесь методе замороженного параметра эта устойчивость характеризуется нормой:

i c O h2 .

5. Сходимость

Сходимость при h 0 разностного решения к точному (для любых конечных xi ) следует из того, что [3, 4]: 1) погрешность аппроксимации диффе-

ренциального оператора имеет порядок O(h2 ), погрешность аппроксимации граничных условий − O(h3); 2) конечно-разностная схема устойчива для любых конечных xi по отношению к невязке аппроксимации дифференциального оператора и к невязке граничных условий. Таким образом, как видно из предыдущего, разностное решение в методе замороженного параметра сходится к точному решению со вторым порядком точности для любых конечных xi .

6. Оценка погрешности

Априорная мажорантная оценка погрешности (в методе замороженного параметра) следует из формул (26), (28), (30). Она имеет вид при любом конечном xi :