Учебное пособие 800632

Световые лучи, проходящие через точки вертикальной прямой АВ параллельно S, образуют горизонтально-проецирующую лучевую плоскость R. Эта плоскость пересекает плоскости H, V и параллелепипед по линии АтNMKBт, которая и является тенью отрезка АВ. Тень от точки В – Вт совпадает с точкой В. Отрезки ВтК, MN параллельны заданной вторичной проекции светового луча S. Точка Ат определяется в пересечении луча света, проведённого через точку А со следом Rv лучевой плоскости R.

Для построения тени от отрезка CD он также заключается в лучевую плоскость. Которая задана в данном случае отрезком CD и лучом, проведённым через точку С параллельно S. Тенью отрезка является линия пересечения лучевой плоскости с параллелепипедом и плоскостями Н и V. При её построении сначала строится точка Ст. Затем – точка пересечения прямой, проходящей через Ст и параллельной CD с осью х – точке U/. Далее проводится прямая DU/ и находится точка J. Затем прямая JG, параллельная CD и, наконец, прямая GU.

В ортогональных проекциях (рис. 9) проекции падающей тени на плоскость Н от отрезка АВ является прямая Втn, которая совпадает с направлением светового луча на плоскости Н, а на плоскости V проекция тени повторяет контур нормального сечения поверхности, на которую строим тень. То же самое происходит, когда прямая перпендикулярна плоскости V.

Рис. 9. Примеры построения теней отрезков в ортогональных проекциях

6. Тени плоских фигур

Вид тени от плоской фигуры зависит от её формы и положения в пространстве, а также от формы поверхности, на которую падает тень.

11

На рис. 10 построена тень от плоскости общего положения, заданной треугольником, на плоскости проекций. Построение тени треугольника следует вести в той же последовательности, как и построение тени прямой. Сначала строят тени от треугольника на плоскости Н, включая и часть мнимой тени, а затем строят тень на плоскости V. Тень от треугольника преломляется на оси х.

Рис. 10. Тень треугольника на плоскости проекций

Известно, что тень, падающая от плоской фигуры на параллельную ей плоскость, тождественна самой фигуре. Это даёт возможность сократить построение. Достаточно построить тень от одной точки фигуры, а затем изобразить равную (конгруэнтную) ей фигуру – контур падающей тени (рис. 11).

Тень от фронтальной окружности на горизонтальной плоскости изображается в виде эллипса (рис. 12), который является результатом пересечения плоскости Н обёртывающей лучевой цилиндрической поверхностью (проходящей через окружность). Строится тень окружности с помощью построения тени описанного квадрата, в которую вписывают потом эллипс по восьми точкам.

Если тени двух геометрических образов пересекаются, то это значит, что тень от одного из них падает на другой. В этом случае падающая тень от одной из фигур может быть построена с помощью использования способа обратных лучей. Обратный луч – это луч, параллельный световым лучам и идущий от падающей тени к источнику света.

На рис. 13,а,б способом обратных лучей построена тень от одной плоской фигуры на другую. Сначала были построены падающие тени от плоских фигур на плоскость Н и отмечены точки пересечения теней (Fт, Ет).

12

проецирующих лучевых плоскостях P и Q, принадлежат контуру собственной тени боковой поверхности призмы. Задняя и правая боковая части призмы находятся в собственной тени. Лучевые плоскости, проходящие через линии верхнего основания призмы, создают замкнутый контур её собственной тени. Пересечение четырех лучевых плоскостей с плоскостями H и V образует контур падающей тени. На рис. 14,б построены тени призмы в ортогональных проекциях. Ширина падающей тени на фасаде от призмы равна сумме сторон плана.

Рис. 14. Тень призмы

Собственная тень боковой поверхности цилиндра определяется двумя лучевыми плоскостями R1H и R2H, следы которых касательны к горизонтальной проекции его основания (рис. 15.) Лучевые поверхности, проходящие через линии верхнего и нижнего оснований, создают замкнутый контур собственной тени AВДСLMK. Пересечение этих лучевых плоскостей и поверхностей с плоскостями H и V образуют границу падающей тени ВтАтКтМтLтСтДт. Падающая тень от нижнего основания цилиндра представляет собой окружность того же радиуса. Тень от верхнего основания строится по пяти точкам A, K, M, L, C. Как строятся тени в ортогональных проекциях, ясно из рис. 15,б.

При построении тени пирамиды сначала строят падающую тень, с помощью которой определяют контур собственной тени (рис. 16).

Тень на плоскости Н от вершины пирамиды находят как горизонтальный след светового луча, проходящего через неё. Касательные, проведённые из полученной точки 4т к основанию пирамиды, очерчивают

15

Собственная тень конуса определяется с помощью построения тени вершины на плоскость его основания (рис. 17,а). Через вершину конуса проводят луч и находят точку его пересечения с плоскостью основания. Через полученную точку (тень вершины) проводят две касательные, которые определяют образующие – границы собственной тени на конусе. На рис. 17,б,в,г показано как строятся собственные и падающие тени конических поверхностей (прямого и “обратного конусов”).

Рис.17. Тени прямого и обратного конусов

8. Тени от точки и прямой на поверхность

На рис. 18 а, б показано, как может быть построена тень от точки А на поверхность конуса с помощью использования лучевой плоскости R. Линией пересечения этой плоскости с конической поверхностью является гипербола. Тень от точки А находится на пересечении светового луча, через нее переходящего, с гиперболой. Построение гиперболы осуществляется с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей – посредников Т1, Т2, Т3, кото-

17

рые пересекают конус по окружностям. Горизонтальная проекция гиперболы совпадает с горизонтальным следом лучевой плоскости R. Ее фронтальная проекция на рис. 18,б находится с помощью вертикальных линий связи, проведенных из горизонтальных проекций точек гиперболы 1,2,3,4,5,6,7 до пересечения с фронтальными следами плоскостей-посредников. Для построения изображения гиперболы на аксонометрическом чертеже (рис. 18,а) необходимо построить горизонтальные проекции линий сечения конуса плоскостями Т1, Т2, Т3, Т4 (окружностей), а затем их аксонометрические изображения. Как строятся изображения точек гиперболы на рис. 18,а, ясно из чертежа. Также следует отметить, что, построенная гипербола, является тенью от вертикальной прямой АВ на поверхности конуса, а на плоскости Н тень совпадает со следом лучевой плоскости.

Рис. 18. Тени от точки и прямой на поверхность конуса

18

Для построения падающей тени от прямой общего положения на поверхность конуса могут быть применены вспомогательные горизонтальные плоскости-посредники. Так, сначала была построена падающая тень от прямой АВ на плоскость Н (рис 18 в, г). Затем строились окружности-сечения поверхности плоскостями Т1, Т2,Т3, и находились точки пересечения прямой с этими плоскостями. Через найденные точки проводились прямые параллельные ранее построенной тени от отрезка АВ на плоскость Н, которые являются тенями от него на плоскостях Т1,Т2,Т3,Т4. В пересечении этих теней с окружностями находились точки 1,2,3,4,5 контура падающей тени от прямой АВ на поверхность конуса. Так можно построить любое число точек падающей тени. Эти точки соединяются плавной кривой. Световой луч, проведенный из точки А прямой, определяет конечную точку Аt падающей тени от отрезка АВ на поверхность конуса.

Как следует из рис. 18, при построении падающих теней от прямых на поверхность можно не строить падающую тень от поверхности на плоскость Н. Если же она построена, то удобно применить способ обратных лучей (рис. 19, а, б). В ходе решения задачи используются точки пересечения теней от произвольных образующих конуса с тенью от прямой на плоскости Н. Через них проводятся обратные лучи до пересечения с образующими конуса. Полученные точки, а также точка пересечения падающей тени от прямой с основанием конуса соединяются кривой линией, которая представляет собой контур искомой падающей тени.

Рис. 19. Использование способа обратных лучей при построении тени от прямой на конус

19

9. Тень от одного геометрического тела на поверхность другого

На рис. 20 рассмотрены примеры построения собственных и падающих теней на геометрических телах с плоскими гранями.

На рис. 20, а, б контур собственной тени на первом геометрическом теле создают два вертикальных ребра, проходящие через вершины 1,3, а также ребра 1-4, 3-4. На втором геометрическом теле контур собственной тени образуют вертикальные ребра, проходящие через вершины 5,7, и линии верхнего основания 5-8, 7-8. Падающие тени от вершин верхних оснований тел находились как горизонтальные следы проходящих через них световых лучей. Затем строилась тень от вершины 1 первого объекта на плоскость второго. Для этого луч, проходящий через эту вершину, был заключен в лучевую плоскость R, которая пересекла поверхность второго геометрического тела по вертикальной прямой, проходящей через точку А. Искомая точка 1t находилась в пересечении этой прямой со световым лучом. Для построения падающей тени от ребра 1-4 была найдена точка встречи его с плоскостью второго геометрического тела – точка К, которая соединялась с точкой 1t. В пересечении прямой К-1t с ребром 5-6 находилась точка перелома тени В. Тенью отрезка 1-4 на плоскость 5-6-7 является линия ему параллельная и проходящая через точку В. На рис. 20, а тень от вершины 4 падает на верхнее основание 5-6-7 второго параллелепипеда.

Рис. 20. Построение теней на геометрических телах с плоскими гранями

20