Учебное пособие 800546

Вариант 3. Определяем напряжения в точке М3.

Рассмотрим площадку № 1. Точка М3 является угловой для нагруженного

прямоугольника A1B1C1D1.

Вертикальные напряжения σz в точке М3 определятся по формуле (1.18):

прямоугольник на два таким образом, чтобы точка М3 являлась для них угловой (рис. 1.12). Получатся четыре прямоугольника: верхний (1) B2EM3F со сторона-

ми b1" = L + 0,5b2 − 0,5b1 = 3,5 м, l1" = 0,5a2 + 0,5a1 = 3,65 м, нижний (2)

b3" = L − 0,5b2 − 0,5b1 = 0,7 м и l3" = 0,5a2 + 0,5a1 = 3,65 м и нижний (4) GM3KD2 – b3"= L − 0,5b2 − 0,5b1 = 0,7 м и l4" = 0,5a2 − 0,5a1 = 0,85 м.

Рис. 1.12. Схема разбивки на прямоугольники при определении напряжений в точке М3 методом угловых точек

20

Положение точки М3 соответствует схеме 2 на рис. 1.8, и напряжения в ней от нагрузки р2 определятся по формуле (1.21):

где коэффициенты α1…α4 зависят от соотношения сторон получившихся прямоугольников и относительных глубин. Коэффициент α1 определим при коэффи-

Результаты расчетов приведены в табл. 1.7.

Таблица 1.7

Результаты расчета напряжений в точке М3

Эпюра распределения напряжений σz по вертикали в точке М3 представлена на рис. 1.13, в.

Исходные данные для самостоятельной работы студентов приведены в табл. 1.8. Номер варианта соответствует последней цифре номера зачетной книжки.

21

Рис. 1.13. Эпюра распределения напряжений σz по вертикали в точках М1 (а), М2 (б) и М3 (в)

1.3.Определение напряжений от действия равномерно

распределенной полосовой нагрузки.

Задачи Фламана (A. Flamant), Митчелла (J. N. Mitchell)

Рассматриваемые ниже задачи относятся к условиям плоской деформации. Расчётная схема описывает напряжённое состояние сооружений ленточных фундаментов, сохраняющих на некотором протяжении свои поперечные размеры и систему действующих сил. Для расчёта выделяется отрезок единичного размера (1 м) в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа. Расчётная область помещается на плоскости.

22

Задача Фламана является вспомогательной, требуемой для последующего решения задачи о полосовой нагрузке на полупространстве.

На оси О, лежащей на горизонтальной поверхности линейно деформируемого полупространства, приложена линейная нагрузка Р с размерностью Н/м. Определим напряжения от действия этой нагрузки в произвольной точке М, положение которой определяется координатами R и в полярной системе координат и координатами x и z – в прямоугольной системе с центром в точке О (рис. 1.14, а). Будем считать, что в точке М действует напряжение R, направленное по радиусу к точке О.

Принято, что напряжение R прямо пропорционально косинусу угла и обратно пропорционально радиусу:

R R

где B – коэффициент, определяемый из условия равновесия.

Рис. 1.14. Схема действия линейной нагрузки на поверхности линейно деформируемого полупространства:

а – положение точки М; б – к определению напряжения R

Для определения неизвестного коэффициента B составим сумму проекций на ось z всех сил, действующих на полуцилиндрическую поверхность радиусом R, и приравняем ее нулю:

23

z называются изобарами. Они образуют так называемую луковицу напряжений (рис. 1.17, а). Линии одинаковых горизонтальных напряжений х называются распорами и имеют вид, показанный на рис. 1.17, б. Линии одинаковых касательных напряжений хz называются сдвигами и представлены на рис. 1.17, в.

Рис. 1.17. Линии равных напряжений в линейно деформируемом массиве в случае плоской задачи: а – изобары z; б – распоры x; в – сдвиги τxz

Задача № 4. Имеется равномерная нагрузка интенсивностью р, распределенная по полосе шириной b. Определить напряжения z, х и хz и построить эпюры этих напряжений при х = 0, х = 0,5b, х = b, х = 1,5b для точек, лежащих на глубине z = 0, z = 1 м, z = 2 м, z = 3 м, z = 4 м. Схема к расчету представлена на рис. 1.18. Для расчета принять р = 300 кПа, b = 2 м.

Рис. 1.18. Расчетная схема к задаче № 4

26

х = 0,5b = 1 м, х = b = 2 м и х = 1,5b = 3 м для точек, лежащих на глубине z = 0, z = 1 м, z = 2 м, z = 3 м и z = 4 м.

Напряжения z: 1) х = 0, х/b = 0;

z = 0, z/b = 0; Kz = 1, z = Kz p = 1·300 = 300 кПа;

z = 1м, z/b = 1/2 = 0,5; Kz = 0,82, z = 0,82·300 = 248 кПа; z = 2м, z/b = 2/2 = 1; Kz = 0,55, z = 0,55·300 = 165 кПа;

z = 3м, z/b = 3/2 = 1,5; Kz = 0,4, z = 0,4·300 = 120 кПа; z = 4м, z/b = 4/2 = 2; Kz = 0,31, z = 0,31·300 = 93 кПа.

Напряжения х: 1) х = 0, х/b = 0;

z = 0, z/b = 0; Kх = 1, х = Kх p = 1·300 = 300 кПа;

z = 1м, z/b = 1/2 = 0,5; Kх = 0,18, х = 0,18·300 = 54 кПа; z = 2м, z/b = 2/2 = 1; Kх = 0,04, х = 0,09·300 = 27 кПа;

z = 3м, z/b = 3/2 = 1,5; Kх = 0,01, х = 0,01·300 = 3 кПа; z = 4м, z/b = 4/2 = 2; Kх = 0, х = 0.

Напряжения хz: 1) х = 0, х/b = 0;

z = 0, z/b = 0; Kхz = 0, хz = Kхz p = 0·300 = 0; z = 1м, z/b = 1/2 = 0,5; Kхz = 0, хz = 0;

z = 2м, z/b = 2/2 = 1; Kхz = 0, хz = 0;

z = 3м, z/b = 3/2 = 1,5; Kхz = 0, хz = 0; z = 4м, z/b = 4/2 = 2; Kхz = 0, хz = 0.

Остальные расчеты представим в табличной форме (табл. 1.9).

Окончание табл. 1.9

Рис. 1.19. Эпюры напряжений z (а), х (б) и хz (в)

Исходные данные для самостоятельной работы студентов приведены в табл. 1.10. Номер варианта соответствует последней цифре номера зачетной книжки.

Таблица 1.10

Исходные данные к задаче № 4

28

1.4.Расчет осадок фундаментов методом послойного суммирования

Метод послойного суммирования деформаций, сущность которого заключается в том, что осадка основания под действием нагрузки от сооружения определяется как сумма осадок отдельных элементарных слоев грунта, рекомендован нормативными документами [10] для расчета осадок фундаментов мелкого заложения. Теоретической основой метода является решение задачи о сжатии бесконечного слоя конечной толщины, лежащего на несжимаемом основании (одномерная задача уплотнения). Массив грунта основания при расчете методом послойного суммирования рассматривается как совокупность отдельных элементарных слоев, и считается, что осадка основания фундамента будет равна сумме осадок поверхностей каждого из них. Толщина элементарного слоя принимается не более 0,4 b, где b – ширина фундамента. При такой толщине слой находится в условиях одномерной задачи уплотнения без возможности бокового расширения, и для него можно без большой погрешности принимать в расчетах средние значения действующих напряжений и средние значения коэффициентов. Деформации основания учитываются только в пределах сжимаемой толщи, глубина которой определяется по рекомендациям нормативных документов [10].

Расчетная схема метода послойного суммирования представлена на рис. 1.20.

Рис. 1.20. Расчетная схема к определению осадки методом послойного суммирования:

DL – уровень планировки; NL – уровень природного рельефа; FL – уровень подошвы фундамента; WL – уровень подземных вод; Hc – глубина сжимаемой толщи

Расчет осадок методом послойного суммирования производится в предположении, что осадки основания от действия собственного веса грунта

29