Учебное пособие 800533

11.С помощью МКЭ найти решение краевой задачи из упр. 4 или 5 разд. 8 «Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом Ритца», дискретизируя уравнения методом Галеркина. Показать сходимость.

Указание. Весовые функции {Wi} взять теми же, что и аппроксимирующие функции {Ni}, т.е. с малым носителем. При этом максимальный порядок производных от {Ni} под интегралом следует понизить методом интегрирования по частям.

12.Решить задачу из упражнения 4, б раздела 8, используя конечные элементы с иерархическими базисными функциями.

Указание. Рассмотрим последовательность конечноэлементных аппроксимаций

e 1e N1e e2 N2e ,

e 1e N1e e2 N2e e3N3e ,

e 1e N1e e2 N2e e3N3e e4 N4e и т.д.,

где

N1e ( 1)2, N2e (1 )2

– обычные функции формы лагранжевого элемента 1-го порядка,

– при p 3 так называемые иерархические базисные функции. Приведенные аппроксимации справедливы для стандартного конечного элемента: –1 1. Нетрудно видеть, что первые два параметры 1e и e2 здесь совпадают со значениями функ-

ции e в точках =–1 и =1 соответственно, а всем остальным параметрам придать подобный смысл не так просто. Да в этом и нет особой необходимости, так как слагаемые e3N3e , e4 N4e , …

250

играют роль поправок к линейной аппроксимации. Тем не менее, можно записать

т.е. равны производной (p–1)-го порядка от e в середине конечного элемента. Проверьте, что приведенные функции формы обеспечивают непрерывность решения на границах элементов.

Каждая следующая функция Nep имеет степень много-

члена на единицу больше, чем предыдущая. Предположим, получено решение задачи (1) для обычных линейных конечных элементов. Добавляя к аппроксимации на каждом конечном элементе слагаемое e3N3e , получим новое решение (2),

более точное чем (1), поскольку оно основано уже на квадратичной аппроксимации. Точно так же, используя еще одно дополнительное слагаемое e4 N4e , найдем решение (3) – приближение кубическим полиномом. И так далее. Подумайте, в чем преимущество такого подхода?

И в заключение отметим, что переход от произвольного элемента x [x1, x2] к стандартному [–1, 1] можно осуществить по формуле

x x2 x1 x1 x2 . 2 2

При этом требуется всего лишь совершить замену переменной в интегралах, вычисляемых по области конечного элемента.

13. Указанная в предыдущем упражнении система иерархических функций отнюдь не единственно возможная. Приведем еще одну систему, определяемую интегрированием от полиномов Лежандра:

N3e 2 1, N4e 2( 3 ),

251

Производные этих функций обладают ортогональностью

– свойством, весьма полезным при вычислениях. Решите одну из задач упражнения 4 раздела 8, используя последовательно указанные иерархические функции. Выведите явно матрицу S системы уравнений. Сделайте вывод.

14. Для нелинейного дифференциального уравнения

с краевыми условиями (0) = 0, (1) = 1 провести дискрети-

зацию и получить численное решение на основе МКЭ

15. Края x=0 и x=1 плиты с коэффициентом теплопроводности k=1 поддерживаются при температуре 10 и 80 C. Найти стационарное распределение температуры , если тепло генерируется внутри плиты со скоростью a 2 (a=0,01 0,03) на единицу длины.

252

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Турчак, Л.И. Основы численных методов [Текст] / Л.И. Турчак. – M.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304 с.

2.Вержбицкий, В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения) [Текст]: учеб. пособие для вузов / В.М. Вержбицкий. – М.: Высшая школа, 2000. – 266 с.

3.Вержбицкий, В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения) [Текст] / В.М. Вержбицкий. – М.: Высшая школа, 2001. – 382 с.

4.Формалев, В.Ф. Численные методы [Текст] / В.Ф. Формалев, Д.Л. Ревизников. – M.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 400 с.

5.Сборник задач по методам вычислений: учебное пособие для вузов [Текст] / Под ред. П.И. Монастырного. – M.: ФИЗМАТЛИТ, 1994. – 320 с.

6.Форсайт, Дж. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений [Текст]: пер. с англ. В.П. Ильина и Ю.И. Кузнецова / Дж. Форсайт, К. Молер. – М.: Мир, 1969. – 163 с.

7.Лаевский, Ю.М. Метод конечных элементов (основы теории, задачи) [Текст]: учеб. пособие / Ю.М. Лаевский. – Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1999. – 166 с.

8.Зенкевич, О. Метод конечных элементов и аппроксимация [Текст]: пер. с англ. / О. Зенкевич, К. Морган. – М.: Мир, 1986. – 318 c.

9.Сабоннадьер, Ж.-К. Метод конечных элементов и САПР [Текст]: пер. с франц. / Ж.-К. Сабоннадьер, Ж.-Л. Кулон.

–М.: Мир, 1989. – 190 c.

10.Zienkiewicz, O.C. The finite element method. V.1: The basis [Text] / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. – Oxford: Butterworth Heinemann, 2000. – 689 p.

11.Hutton, D.V. Fundamentals of finite element analysis [Text]/D.V. Hutton. – The McGraw-Hill Companies, 2004. – 494 p.

12.Флетчер, К. Численные методы на основе метода Галеркина [Текст]: пер. с англ. / К. Флетчер. – М.: Мир, 1988. – 352 с.

253

13.Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление [Текст]: учебник. Изд. 5-е. / Л.Э. Эльсгольц. – М.: Едиториал УРСС, 2002. – 320 с.

14.Кострюков, С.А. Основы вариационного исчисления [Текст]: учеб. пособие / С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин. – Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011. – 158 с.

15.Боглаев, Ю.П. Вычислительная математика и программирование [Текст]: учеб. пособие для студентов втузов / Ю.П. Боглаев. – М.: Высшая школа, 1990. – 544 с.

16.Калиткин, Н.Н. Численные методы [Текст] / Н.Н. Ка-

литкин. – М.: Наука, 1978. – 512 с.

17.Бахвалов, Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения) [Текст] / Н.С. Бахвалов. – М.: Наука, 1975. – 632 с.

18.Соболь, И.М. Численные методы Монте-Карло

[Текст] / И.М. Соболь. – М.: Наука, 1973. – 312 с.

19.Поршнев, С.В. Вычислительная математика. Курс лекций [Текст] / С.В. Поршнев. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004.

–320 с.

20.Дьяконов, В.П. Maple 7: учебный курс [Текст] / В.П. Дьяконов. – СПб: Питер, 2002. – 672 с.

21.Кетков, Ю.Л. MATLAB 7: программирование, численные методы [Текст] / Ю.Л. Кетков, А.Ю. Кетков, М.М. Шульц. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 752 с.

22.Алексеев, Е.Р. Решение задач вычислительной мате-

матики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 (Самоучи-

тель) [Текст] / Е.Р. Алексеев, О.В. Чеснокова. – М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с.

23.Мэтьюз, Дж. Г. Численные методы. Использование MATLAB [Текст] / Дж. Г. Мэтьюз, К.Д. Финк. – М.: Издательский дом "Вильямс", 2001. – 720 с.

254

ОГЛАВЛЕНИЕ

255

256

Учебное издание

Кострюков Сергей Александрович Пешков Вадим Вячеславович Шунин Генадий Евгеньевич Шунина Валентина Алексеевна

ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ

В авторской редакции

Компьютерный набор В.В. Пешкова

Подписано к изданию 21.11.2017. Объем данных 4,2 Мб.

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

257