Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800461

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

3.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Рассмотрим вспомогательные случайные величины Xi ,

равные числу появле-

ний события A в i -м испытании, i

1 2

n . Ясно, что X i

принимает значение

0 с вероятностью q и 1 с вероятностью p . Отсюда

M ( Xi ) 0 q 1 p p M ( Xi

) 0

q 1 p p

и по формуле (7.5)

D( Xi ) M ( Xi2 ) [M ( Xi )]2

p p2

p(1 p) p·q .

Так как испытания Бернулли по определению независимы, то все X i

оди-

наково

распределены, независимы

имеют

числовые

характеристики

M (Xi )

p D(Xi )

p q , i 1 2 n .

Случайная величина X p n

X 2

X n , поэтому в силу теоремы 7.1:

M (X p n ) M ( X1 ) M (X 2 )

M (X n ) n p

а согласно теореме 7.2:

D(X p n ) D(X1 ) D(X 2 )

D(X n ) n p q

8.2. Распределение Пуассона (закон редких явлений)

Говорят, что случайная величина Y

распределена по закону Пуассона с

параметром , если она принимает целые значения от 0 до

c вероятностями

p (k)

0 1 2 …

(8.1)

Числовые характеристики такой случайной величины M (Y ) и D(Y )

равны , что будет вытекать из следующей предельной теоремы.

Теорема 8.1. Последовательность случайных величин Zn

X p

n ,

распре-

деленных по биномиальному закону с параметрами pn

и n , которые связаны

друг с другом соотношением pn

при n

стремится к пуассоновской

случайной величине Y .

Доказательство. Так как Zn

принимает значения 0, 1,..., n и n

, то

предельная случайная величина принимает все целые значения от 0 до

. По-

этому остается показать, что p

P(Z

pk qn k ,

где qn

1 pn 1

n , стремится к p (k)

0 1 2

при n

Действительно, согласно второму замечательному пределу (1

n)n

, следовательно,

k) Ck

qn k

n(n 1) (n k 1)

( p n)k

n)n k

p P(Z

n(n 1) (n k 1)

[

n)n ][

n) k ]

ибо вторая квадратная скобка стремится к 1. Что и требовалось доказать. Как следствие получаем

M (Y )	lim M (Zn )
	n
D(Y ) lim D(Zn )	lim pn qn
n	n

lim pn	n	,
n
n	lim(1	n)

Если p мало (порядка 0,01), а n велико (порядка 100 и более), то биномиальную случайную величину X p n уже можно считать почти совпадающей с

пуассоновской случайной величиной Y						для		p n . Откуда следует прибли-
женная формула
			Ck pk qn k			k
P(X	p n	k)		P(Y	k)		e	(8.2)

			n			k

Последнее			замечание		позволяет			легко вычислять значения
P(X p n k) k		1 2	для больших n и малых p , при которых обычная форму-

ла Бернулли становится неприемлемой. Формулу (8.2) еще называют формулой Пуассона.

Кроме того, факт близости пуассоновской случайной величины количеству появлений события A в больших сериях испытаний Бернулли при крайне малой вероятности появления A оправдывает название закона Пуассона как закона редких явлений.

Доказано, что количество космических частиц, прошедших через прибор (ловушку) за данный промежуток времени T , есть случайная величина, распределенная по закону Пуассона. То же верно и для числа опечаток на заданном количестве страниц книги большого объема или для числа звонков, поступивших на телефонную станцию за фиксированный интервал времени суток.

8.3. Равномерное распределение

Говорят, что случайная величина Ua b равномерно распределена на отрезке [a b] , если ее функция плотности fa b (s) равна 1 (b a) для всех s из отрезка [a b] и равна 0 вне этого отрезка.

Математическое ожидание равномерно распределенной случайной вели-

чины находится по формуле (7.2), а именно

a b

M (U

)

(s)ds s (b a)ds

(b2

a2 )

a b

2(b

Аналогично

M (U 2

)

s2 (b a)ds

(b3

a3 )

a b

3(b

откуда дисперсия равномерно распределенной случайной величины равна

D(Ua b ) M (Ua2 b ) [M (Ua b )]2

ab a2

2ab a2

(a b)2

Важность равномерного распределения состоит в том, что существуют генераторы случайных чисел G(n) , равномерно распределенных на отрезке [0,1], с помощью которых легко строятся случайные величины X , распределенные по любому закону, заданному функцией распределения F (s) . А именно,

случайная	величина,	принимающая	в	n -м	опыте	значение
X (n) F 1 (G(n)) n 1 2		, где F 1 – обратная к		F функция, будет СВ, чья
функция распределения в точности совпадет с F (s) .

8.4. Нормальное распределение (распределение Гаусса)

8.4.1. Функция распределения и числовые характеристики нормально распределенной случайной величины.

Правило "трех сигма"

Говорят, что случайная величина Sm			распределена по нормальному за-
кону, если ее функция плотности равна
	1		(s m)2
fm, (s)	1	e	2 2 ,			(8.3)

	2
	2
где m – параметры нормального распределения,				m	,	0 .

Из формулы (8.3) ясно, что функция плотности нормального распределения отлична от 0 на всей оси и ее график симметричен относительно верти-

кальной прямой x m. Отсюда следует, что среднее значение M (Sm		) равно
m .
Можно показать ([9], [10]), что дисперсия D(Sm )	2 , а (Sm	)	.

Иначе говоря, параметрами m и нормально распределенной СВ являются ее

математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение. Функция распределения Fm (s) равна

s e

(t m)2

F (s)

(t) dt

2 2

Отсюда, после замены переменной u

(t m)

du в определен-

ном интеграле, нижний предел останется

, а верхний предел станет равным

(s m) . В результате

1 Fm (s) 2

(s m)		u2
	e	2 du	(8.4)

Наиболее простой вид функция плотности нормального распределения

fm и функция распределения Fm

имеют при m

0 и

(t)

e 2

(s)

s e 2 du

0 1

Случайная величина, распределенная по нормальному закону с парамет-

рами m 0

1, называется стандартной нормальной случайной величиной,

и ее функцию распределения принято обозначать буквой

(греческая буква

"фи") :

(s)

0 1

Написанный интеграл не выражается через элементарные функции, по-

этому составлены таблицы значений функции

(см. [9], [10]), которые неред-

ко называют таблицами функции распределения Гаусса-Лапласа, в честь знаменитых ученых 19 века, показавших в своих исследованиях необходимость работы с этой новой неэлементарной функцией. Функция (s) находит многочисленные применения в самых разных областях науки и практики. Вместо функции (s) в книгах нередко приводятся таблицы других близких к ней

функций, через которые функция	(s) может быть легко найдена. Упомянем,
например, функцию
	1	s	u2
			u2
0 (s)			e 2 du


	2	0
	2

для которой (s)		0 (s) 0,5 ,	если s 0 , и (s) 0,5	0 ( s) ,	если s	0 .
Функция	0 (s) нечетна, и ее значения также приведены в специальной табли-
це для x	[0 5] (см. табл. П.1 из приложения); для х>5 считают				0 (s)	0,5;
для х<0 пользуются нечетностью			0 (s) . График функции	0 (s) представлен на
рис. 3.

Согласно (8.4) функция распределения для произвольной нормально рас-

пределенной СВ с параметрами m и				легко выражается через (t) :
		Fm (t)		((t	m)	)
Выведем теперь важную формулу вычисления вероятности попадания
нормальной СВ Sm	в промежуток [a b] . Будем опираться на формулу (6.2),
согласно которой	P(a X b)		FX (b)		FX (a) . Тогда в		случае	нормально
распределенной СВ:
P(a	Sm	b)	((b	m)	)	((a m)	)	(8.5)

Рис. 3. График функции 0 (x)

Зачастую интерес представляет вероятность попадания нормальной СВ в интервал, симметричный относительно математического ожидания, а именно:

если a m	b m , то
	45

P(a Sm		b)	P( Sm			m	)	((b m)		)	((a m)	)
				(		)	(	) 2	0 (		)
При	2	по табл. П.1 находим						0 (2)	0, 4772 , откуда
P( Sm	m	2	)	2	0, 4772		0,9544 .
Аналогично	P( Sm		m	3	)	2	0 (3)	2 0, 4986		0,9972 . То есть		вероятность

встретить в опыте значение нормальной СВ, удаленное от ее математического ожидания больше чем на 3 , равна 1 0,9972 0, 003 , что означает практическую невозможность такого события. В этом и состоит "правило трех сигма", утвер-

ждающее, что практически все значения СВ расположены внутри интервала с центром в точке M (X ) и концами, удаленными от его центра на 3 (X ) . Мы про-

верили это правило для нормально распределенных СВ, но оно справедливо и для "большинства" иных СВ, распределенных по другим законам.

8.4.2. Центральная предельная теорема. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Особая важность закона нормального распределения связана с так называемой центральной предельной теоремой, доказанной выдающимся русским математиком А.М. Ляпуновым, согласно которой сумма большого числа независимых СВ при некоторых дополнительных ограничениях есть СВ, распределенная по закону, близкому к нормальному. Причем, чем больше число слагаемых, тем это совпадение точнее. Более точную формулировку центральной предельной теоремы см., например, в [9,10].

На практике придерживаются даже более сильного принципа центральной предельной теоремы, согласно которому случайная величина X , значения которой есть результат влияния большого числа независимых (или слабо зависимых) факторов, каждый из которых в отдельности не является решающим и

оказывает на X примерно одинаковое случайное воздействие,	распределена
приблизительно по нормальному закону с параметрами m M (X )	и	(X ) .

Последнее означает, что для решения основного вопроса о вероятности попадания СВ X в интервал (a b) можно применять приближенную формулу

P(a X b)	((b m) ) ((a m) )	(8.6)
В частности, центральная предельная теорема справедлива, если		X	есть
сумма большого числа одинаково распределенных независимых СВ с D( X )			.
	46

Слова "большое число" означают десятки, а лучше сотни. Но нередко приемлемая для практического применения формулы (8.6) близость X к нормальному распределению наблюдается уже при одном или двух десятках слагаемых.

Пример 8.1. Пусть X1 X2 Xn – независимые и одинаково распределен-

ные случайные величины с математическим ожиданием M ( Xi )	a ,	дисперсией
D( Xi ) D и среднеквадратическим отклонением (X ) , i	1 2	n Такие

независимые и одинаково распределенные случайные величины возникают, например, при проведения n независимых опытов по измерению одной и той же СВ X .

Рассмотрим случайную величину

. По свойствам ма-

тематического ожидания и дисперсии суммы независимых СВ имеем

1 (M (X1 ) M (X 2 )

M (X )

M (X n )) a

(D( X1 ) D( X

D(X )

2 )

D( X n ))

( X )

При большом n , согласно центральной предельной теореме, СВ X рас-

пределена приблизительно по нормальному закону и, значит,

(8.7)

P( X a

) 2

0 (

( X ))

0 ( n

)

При этом приближенное равенство становится тем точнее, чем больше n .

С ростом n очевидно, что

, а значит,

1. Сле-

2 0 ( n )

довательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что среднее арифметическое X одинаково распределенных случайных величин от-

клонится от числа a больше, чем на			, стремится к 0. Таким образом, нами ус-
тановлена
Теорема 8.2 (закон больший чисел). Среднее арифметическое
		X1	X 2	X n
	X
				n

большого числа независимых и одинаково распределенных случайных величин есть величина почти не случайная, с высокой степенью вероятности близкая к их общему математическому ожиданию a . Причем, чем больше n , тем точнее равенство X a .

Это утверждение, называемое законом больших чисел, впервые было доказано русским математиком П.Л. Чебышевым.

Оценка (8.7) позволяет даже найти число слагаемых n , при котором среднее арифметическое X с большой вероятностью, например 0,95, не сможет отклониться от своего математического ожидания a более чем на . Действи-

тельно, по табл. П. 1 функции			0 находим, что 0 (t)	0,95	2 при t			1,96 . От-

сюда, если n таково, что		n	1,96 , то согласно (8.7) P(		X	a	)	0,95 или
даже еще больше.
Например, если	5		0,1, то n должно	быть	больше		или равно

1,96 5 0,1 100 .

В заключение снова рассмотрим проблему вычисления вероятности попадания случайной величины X p n , распределенной по биномиальному закону в

интервал	[L N]	при большом	числе испытаний	n . Как мы уже знаем,
X p n X1	X 2	X n , где X i –	независимые одинаково распределенные слу-
чайные величины, равные числу появлений события				A в i -м испытании. Сле-

довательно, по центральной предельной теореме, при большом n случайная ве-

личина X p n

распределена почти по

нормальному закону с параметрами

m M ( X p n )

np и

( X p n )

npq . Отсюда для вычисления вероятности по-

падания X p n

в интервал [L N] получаем приближенную формулу

P(L

X p n

L np

npq

которая впервые в полной общности была доказана Лапласом и носит название

интегральной теоремы Муавра-Лапласа (т.к.	задается интегралом). Она по-
зволяет находить вероятность появления события A не менее чем в L , не более
чем в M из n испытаний Бернулли.
Полагая в этой формуле L k 0,5 , а N	k 0,5 , где k – целое число, и

заменяя значение определенного интеграла по теореме о среднем, получаем приближенную формулу

				1		2
P( X		k) Ck pk qn k			e (k np)	2	2 npq
P( X		k) Ck pk qn k			e (k np)		2 npq
	p n	n
	p n	n	2	npq
			2	npq

которая носит название локальной теоремы Муавра-Лапласа и позволяет находить вероятность появления события A ровно в k из n испытаний Бернулли.

Для удобства вычислений составлены таблицы значений функции

	1		x2
( x)	1	e	2


	2
	2

Саму функцию (x) называют функцией Лапласа, а ее график – кривой Гаусса (рис.4).

	Рис. 4. Кривая Гаусса-Лапласа
	Очевидны свойства	функции			Лапласа:				(x) – четная функция;
limx	(x) 0 . Значения функции Лапласа можно найти по таблицам в учеб-
никах и справочниках.
	Наконец заметим, что	X p n	X	1	X	2	X	n	есть не что иное, как часто-
	Наконец заметим, что	n					n		есть не что иное, как часто-
		n					n

та появления события A в n испытаниях Бернулли. По доказанному ранее закону больших чисел получаем следующий результат.

Теорема 8.3 (теорема Бернулли). Частота появления события A в n независимых опытах (испытаниях) стремится к M ( X p n n) p , то есть к вероятности события A .

Этот результат есть первая предельная теорема теории вероятностей, доказанная Я. Бернулли еще в 1713 году.

Хотя сформулированные утверждения верны при любой вероятности p появления события A в испытаниях Бернулли, все же приближение X p n к нормальной случайной величине тем быстрее, чем ближе p к 0,5. Наоборот, при очень малой или очень большой вероятности p пользоваться формулами Лапласа следует с большой осторожностью, отдавая, возможно, предпочтение формуле Пуассона.

Кроме того, наилучшую точность формула (8.6) дает для интервалов (a b) , расположенных вблизи среднего значения M (X ) случайной величины X . В противном случае относительная точность формулы (8.6) резко падает.

В качестве применения полученных результатов решим задачу из приме-

ра 3.4.

Решение. Предположим, что игра повторяется много раз и после каждых трех бросаний монеты происходит расчет: если герб выпал хоть раз, вы получаете очередной рубль, если нет, то платите 6 рублей. Обозначим через X i величину вашего выигрыша в i -й игре. Так как вероятность того, что герб при трех бросаниях монеты не выпадет ни разу, равна 1/8, то X i есть случайная величина, имеющая следующий закон распределения:

								X i		1	-6

								pi		7,8	1/8
Поэтому M ( Xi )			1 7 8		( 6) 1	8		1 8 ; M ( Xi2 ) 12 7						8 (		6)2	1 8	37 8 . Откуда
		M ( X 2 )		)2
D( X	)	M ( X 2 )	M ( X	)2	37 8	1	64		295 64		( X	i	)		D( X	)	2,15	i 1 2
i		i	i									i			i
		Суммарный выигрыш после n игр равен Yn													X1	X2		Xn , откуда по

свойствам математического ожидания и дисперсии суммы n независимых одинаково распределенных случайных величин имеем


M (Yn ) nM (Xi ) n 8 D(Yn ) nD(Xi )	4 61n (Yn ) D(Yn ) 2,15 n .
Так как ожидаемый выигрыш M (Yn )	больше нуля и растет с ростом n , то

это означает, что при длительном процессе игры ваш выигрыш будет положительным и как угодно большим. Например, если вы сыграете с вашим партнером 800 раз, то ожидаемый выигрыш составит 100 рублей, и уж почти наверняка вы не будете в проигрыше. Чего нельзя сказать про результат небольшого цикла игр. Например, с вероятностью 1/8 вы можете проиграть 6 рублей при первой же игре. (На этом примере мы еще раз видим, что теория вероятностей есть наука о массовых, повторяющихся явлениях.) Тем не менее, нет никакой гарантии, что, сыграв 800 раз, вы ОБЯЗАТЕЛЬНО выиграете 100 рублей. Скоро мы увидим, что с одинаковой вероятностью вы можете выиграть либо больше 100, либо меньше 100. Действительно, согласно центральной предельной теореме СВ Yn , являющаяся суммой большого числа независимых одинаково распределенных СВ, будет распределена почти по нормальному закону с параметрами m M (Yn ) n 8 и (Yn ) 2,15n . Так как нормальное распределение симметрично относительно m n 8 , то при большом n (в частности, при n 800) вероятность выиграть как больше m , так и меньше m одинакова и равна 0,5.

Займемся теперь решением второго вопроса. Пусть, например, нас интересует количество игр, при котором с вероятностью 0,9 или 0,99 мы выиграем

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20222.94 Mб5Учебное пособие 800457.pdf
#
01.05.20222.95 Mб6Учебное пособие 800458.pdf
#
01.05.20222.99 Mб8Учебное пособие 800459.pdf
#
01.05.2022355.58 Кб1Учебное пособие 80046.pdf
#
01.05.20223 Mб2Учебное пособие 800460.pdf
#
01.05.20223.01 Mб8Учебное пособие 800461.pdf
#
01.05.20223.03 Mб2Учебное пособие 800462.pdf
#
01.05.20223.04 Mб16Учебное пособие 800463.pdf
#
01.05.20223.05 Mб3Учебное пособие 800464.pdf
#
01.05.20223.06 Mб3Учебное пособие 800465.pdf
#
01.05.20223.08 Mб11Учебное пособие 800466.pdf