Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800396

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

2.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

x b.

Найдем работу, произведенную силой F при перемещении точки М из положения x a в положение

1. Если F const, то

A F b a .

2. Пусть F F x непрерывная на a,b , тогда выберем

xi ii 0n

и на xi 1, xi

Ai F xi xi .

Отсюда

Ai .

i 1

В силу того что F x непрерывна, то

			n
A lim	lim		F xi xi
0	max x	0	i 1
	i		i 1

F x dx.

Пример. Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на

5 см, если для сжатия ее на 1		см нужна сила 10 Н.
Решение. Сила F и перемещение х связаны по условию
зависимостью F kx;	где	k const.			При x 0,01;	F 10, т.е.
10 k 0,01 k 1000	F 1000x, тогда
0,05			x	2	0,05

A 1000x dx 1000					1, 25 Дж.

0		2			0

24. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

24.1. Несобственный интеграл I рода

Рассмотренные выше определенные интегралы, у которых промежуток интегрирования a,b конечный, а подынтегральная функция непрерывна, называются собственными интегралами.

Теперь рассмотрим определенные интегралы, которые назовем несобственными, т.е. определенные интегралы от непрерывных функций, но с бесконечным промежутком интегрирования или с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

Определение. Пусть f x		непрерывна на		a, . Если сущест-

вует
	b
lim	f x dx		f x dx,
b	a	a
	a	a

то он называется несобственным интегралом первого рода.

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же предела не существует, то интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на ,b .

	b			b
		f x dx lim		f x dx.
			a	a
				a

	Теорема. Если	на	a,	f x и g x	непрерывны и
0 f x g x , то
0 f x g x , то
					x dx;
	из сходимости g x	dx следует сходимость f			x dx;
	a			a

	а из расходимости f x		dx следует расходимость g x dx.
	a				a

□ Рассмотрим
			b
		lim	g x dx A
		b	a
			a

	f x dx A, а это означает, что
	a
		b	x dx B B A .
	lim f		x dx B B A .		■
	b

Следствие. Если существует		предел	lim
f x 0,	g x 0, то интегралы

	f x dx	и g x	dx
	a	a

одновременно сходятся и расходятся.

(Без доказательства)

f x	k, 0 k ,
g x

Пример. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

			dx		b			1		b	0 1 1.
					b					b
				lim	x 2dx lim
		2		lim	x 2dx lim
1.	1		x	b	1		b x			1
1.	1				1					1
			dx		b	dx
				lim			lim ln x		1b		.


2.	1 x			b	1	x	b
2.	1 x				1	x

3.Сходится ли интеграл 1 x2 1 3x .

При x 1 имеем

но

данный

интеграл сходится.

24.2. Несобственный интеграл II рода

Определение. Пусть f x

непрерывна

на a,b

и lim f x .

x b

Если существует конечный интеграл

lim f x dx,

то его называют несобственным интегралом второго рода.

b	b
f x dx lim		f x dx.
0
a	a
93

Сформулируем признаки сходимости для несобственных

интегралов II рода.

	Теорема.	Пусть f x		и x непрерывны на a,b и при x b :
lim f x lim x ,			причем 0 f x x ,тогда
x	x
из сходимости (расходимости)
				b
				x dx
				a
вытекает сходимость (расходимость) интеграла
				b		x dx.
				f		x dx.
				a


	Теорема.	Пусть	f x		и	x непрерывны	на a,b и
lim f x lim x , тогда, если существует, то
x b	x b			f x
			lim	f x	k, 0 k ,
			lim	x	k, 0 k ,
			x b	x
			b			b
то			f x dx			и x dx
			a			a

одновременно сходятся или расходятся.

но

Пример. Сходится ли интеграл 1

sin x

Решение. f x

на 0,1 имеет разрыв в точке х = 0.

sin x

lim

limln x

0 limln ,

0 x

lim

f x

lim

x b

x 0 sin x

расходится.

sin x

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Учебное пособие является концентратором основных положений теоретического характера с подробной иллюстративной и практической направленностью, адаптированной на широкую предметноориентированную студенческую аудиторию, обучающуюся по различным образовательным техническим программам специалитета, в том числе аэрокосмической подготовки инженеров высокой квалификации, обладающих глубокими знаниями в использовании математического аппарата как инструментария выполнения проектов повышенной сложности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа / Л. Д. Кудрявцев. – М.: Высш. школа, 1981. – 687 с.

2.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс / Д. Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2011. – 608 с.

3.Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. –

Т.1. – 616 с.

4.Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. –

Т.2. – 810 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.......................................................................................................	3
Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ .........................................	4
1. МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА................................	4
1.1. Основные понятия...........................................................................	4
1.2. Числовые множества. Множества действительных чисел .........	4
1.3. Числовые промежутки. Окрестность точки .................................	5
2. ФУНКЦИЯ ............................................................................................	6
2.1. Понятие функции ............................................................................	6
2.2. Числовые функции. График функции. Способы задания
функций ....................................................................................................	6
2.3. Основные характеристики функций .............................................	6
2.4. Обратная функция...........................................................................	7
2.5. Сложная функция............................................................................	7
2.6. Основные элементарные функции ................................................	7
3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ................................................................	8
3.1. Числовая последовательность .......................................................	8
3.2. Предел числовой последовательности .........................................	8
3.3. Предельный переход в неравенствах ............................................	9
3.4. Предел монотонной ограниченной последовательности .........	10
4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ..........................................................................	13
4.1. Предел функции в точке………………………………………….…13
4.2. Односторонние пределы ..............................................................	14
4.3. Предел функции при x ........................................................	14
4.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.) .........................................	15
5. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ (Б.М.Ф.) ..............................	15
5.1. Определение и основные теоремы ..............................................	15
5.2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой
функцией ................................................................................................	17
5.3. Основные теоремы о пределах......................................................	18
5.4. Признаки существования пределов..............................................	20
5.5. Первый и второй замечательные пределы...................................	20
6. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ .........	21
6.1. Сравнение бесконечно малых функций .....................................	21
6.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы
о них ........................................................................................................	22

7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ ......................................................	23
7.1. Непрерывность функции в точке ................................................	23
7.2. Непрерывность функции в интервале и на отрезке ..................	24
7.3. Точки разрыва функции и их классификация .............................	24
7.4. Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность
элементарных функций.........................................................................	24
7.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке..............................	25
8. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ...........................................................	26

8.1. Определение производной; ее механический и геометрический

смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой.........................	26
8.2. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
функции ..................................................................................................	27
8.3. Производная суммы, разности, произведения и частного
функций ..................................................................................................	28
8.4. Производная сложной и обратной функции ...............................	29
8.5. Таблица производных основных элементарных функций ........	31
9. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ ........................................................................	31
9.1. Неявно заданная функция ............................................................	31
9.2. Функция, заданная параметрически ...........................................	31
9.3. Логарифмическое дифференцирование.......................................	32
10. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ...................................	32
10.1. Производные высших порядков явно заданной функции .......	32
10.2. Механический смысл производной второго порядка ..............	32
10.3. Производные высших порядков неявно заданной функции ...	33
10.4. Производные высших порядков от функций, заданных
параметрически......................................................................................	33
11. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.....................................................	33
11.1. Понятие дифференциала функции .............................................	33
11.2. Геометрический смысл дифференциала функции....................	34
11.3. Основные теоремы о дифференциалах ......................................	35
11.4. Дифференциалы высших порядков............................................	35
12. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ
ПРОИЗВОДНЫХ .....................................................................................	36
12.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях .............	36
12.2. Правило Лопиталя ........................................................................	38
12.3. Возрастание и убывание функций..............................................	39
12.4. Максимум и минимум функций .................................................	40
97

12.5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке......	41
12.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба .......................	42
12.7. Асимптоты графика функции .....................................................	43
12.8. Общая схема исследования функции и построения графика ..	44
13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА....................................................................	45
13.1.Формула Тейлора для многочлена ..............................................	45
13.2. Формула Тейлора для произвольной функции .........................	46
Глава 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ...................................	46
14. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ...............................................	46
14.1. Понятие неопределенного интеграла .........................................	46
14.2. Свойства неопределенного интеграла .......................................	47
14.3. Таблица основных неопределенных интегралов ......................	48
15. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ............................	49
15.1. Метод непосредственного интегрирования ..............................	49

15.2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной) 49

15.3. Метод интегрирования по частям ..............................................			49
16. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ..............			50
16.1. Понятие о рациональных функциях...........................................			50
16.2. Интегрирование простейших рациональных дробей ...............			54
17. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ ..........................................................................................			56
17.1. Универсальная тригонометрическая подстановка ...................			56
17.2. Интегралы типа sinm x cosn x dx ................................................			58
17.3. Использование тригонометрических преобразований.............			59
18. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.........			60
18.1. Квадратичные иррациональности ..............................................			60
18.2. Дробно-линейная подстановка ...................................................			62
18.3. Тригонометрическая подстановка..............................................			63
18.4. Интегралы типа R x,		dx
	ax2 bx c		64
18.5. Интегрирование дифференциального бинома ..........................			64
Глава 3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ........................................			65
19. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.....................................................			65
19.1 Определение интеграла по Риману .............................................			65
19.2. Ограниченность интегрируемой функции ................................			67
19.3. Верхние и нижние суммы Дарбу. Верхний и нижний
интегралы Дарбу....................................................................................			67
98

19.4. Необходимые и достаточные условия интегрируемости ........	70
19.5. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций........	71
20. СВОЙСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ............................	72
20.1. Свойства определенного интеграла ...........................................	72
20.2. Теорема о среднем значении для определенного интеграла ...	74
21. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ
ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ .........................................................................	76
21.1. Непрерывность интеграла по верхнему пределу ......................	76
21.2. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу...........	77
21.3. Существование первообразной у непрерывной функции .......	77
21.4. Формула Ньютона – Лейбница ...................................................	78
22. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА ............................................................................................	79
22.1. Замена переменной.......................................................................	79
22.2. Интегрирование по частям ..........................................................	80
23. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ........................................................	81
23.1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах
с помощью определенного интеграла .................................................	81
23.2. Вычисление площади с помощью определенного интеграла
при задании функции в параметрической форме ..............................	82
23.3. Вычисление площади криволинейного сектора в полярных
координатах с помощью определенного интеграла ..........................	83
23.4. Длина дуги кривой в прямоугольных координатах .................	84
23.5. Длина кривой в параметрической форме ..................................	85
23.6. Длина дуги кривой в полярных координатах............................	86
23.7. Вычисление объема тела по площадям параллельных
сечений....................................................................................................	87
23.8. Объем тела вращения...................................................................	88
23.9. Площадь поверхности тела вращения........................................	89
23.10. Вычисление работы с помощью определенного интеграла ..	90
24. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ...............................................	91
24.1. Несобственный интеграл I рода..................................................	91
24.2. Несобственный интеграл II рода ................................................	93
Заключение ................................................................................................	95
Библиографический список .....................................................................	95

Учебное издание

Ряжских Виктор Иванович Ряжских Александр Викторович Соболева Елена Александровна Федюнин Максим Леонидович

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ

Учебное пособие

Редактор Сахарова Д. О.

Подписано к изданию 15.07.2020. Объем данных 2,1 Мб.

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1010

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20222.17 Mб3Учебное пособие 800391.pdf
#
01.05.20222.19 Mб2Учебное пособие 800392.pdf
#
01.05.20222.21 Mб6Учебное пособие 800393.pdf
#
01.05.20222.21 Mб5Учебное пособие 800394.pdf
#
01.05.20222.22 Mб19Учебное пособие 800395.pdf
#
01.05.20222.23 Mб6Учебное пособие 800396.pdf
#
01.05.20222.24 Mб5Учебное пособие 800397.pdf
#
01.05.20222.27 Mб10Учебное пособие 800398.pdf
#
01.05.20222.27 Mб8Учебное пособие 800399.pdf
#
01.05.2022158.06 Кб2Учебное пособие 8004.pdf
#
01.05.2022349.85 Кб2Учебное пособие 80040.pdf