Учебное пособие 800283

Доказательство – составная часть дедуктивной системы, это рассуждение, которое показывает, что истинность утверждения вытекает логически из истинности предыдущих теорем или аксиом.

Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса: 1) о смысле основных понятий, 2) об истинности аксиом. Но это не значит, что эти вопросы неразрешимы.

Образцом аксиоматического построения математической науки является элементарная геометрия. Система аксиом геометрии была изложена Евклидом в книге – «Начала» в III веке до нашей эры. Основные понятия этой геометрии: точка, прямая, плоскость. Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять групп. Основные аксиомы Евклида: 1. От каждой точки до другой точки можно провести прямую. 2. Каждую прямую можно продолжить. 3. Из любого центра можно описать окружность с любым радиусом. 4. Все прямые углы равны. 5. Через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую данную прямую. Это единственная аксиома, вызывавшая потребность доказательства.

Н.И. Лобачевский доказал невозможность подтверждения пятой аксиомы. Аксиому о параллельных Н.И. Лобачевский заменил другой аксиомой: пусть в данной плоскости дана прямая и лежащая вне прямой точка. Через эту точку можно провести к данной прямой, по крайней мере, две параллельные прямые. Из новой системы аксиом Н.И. Лобачевский вывел систему теорем, составляющих содержание неевклидовой геометрии. Н.И. Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как здесь начинается отличие геометрии Н.И. Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, которые не зависят от аксиомы о параллельных, являются общими для этих геометрий; они образуют абсолютную геометрию. Геометрии Евклида и Н.И. Лобачевского как логические системы равноправны.

(342 слова)

Задание 8. Прослушайте фрагменты текста и ответьте на вопросы. 1. Что такое аксиоматический метод?

Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является одним из достижений математической мысли. Оно потребовало работы многих поколений ученых. Аксиоматический метод

41

построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путѐм, опираясь на них.

2. Кто является автором элементарной геометрии? Назовите основные понятия этой геометрии.

Образцом аксиоматического построения математической науки является элементарная геометрия. Система аксиом геометрии была изложена Евклидом в труде – «Начала» в III веке до нашей эры. Основные понятия этой геометрии: точка, прямая, плоскость.

3.Какая аксиома Евклида требует доказательств?

Элементарная геометрия имеет 13 аксиом, которые разбиты на пять

групп. Основные аксиомы Евклида: 1. От каждой точки до другой точки можно провести прямую. 2. Каждую прямую можно продолжить. 3. Из любого центра можно описать окружность с любым радиусом. 4. Все прямые углы равны. 5. Через точку на плоскости можно провести только одну прямую, не пересекающую данную прямую. Это единственная аксиома, вызывавшая потребность доказательства.

4. Сколько параллельных прямых можно провести через одну точку?

Н.И. Лобачевский доказал невозможность подтверждения пятой аксиомы. Аксиому о параллельных Н.И. Лобачевский заменил другой аксиомой: пусть в данной плоскости дана прямая и лежащая вне прямой точка. Через эту точку можно провести к данной прямой, по крайней мере, две параллельные прямые.

5. Как Н.И. Лобачевский доказывал теоремы?

Н.И. Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, как это делается в геометрии Евклида.

6. Что такое абсолютная геометрия?

Все теоремы, которые не зависят от аксиомы о параллельных, являются общими для обеих геометрий; они образуют абсолютную геометрию.

42

Урок 9.

ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ НАУКИ О ЧИСЛЕ

Задание 5. Прослушайте и запишите слова и словосочетания. Используйте, где возможно, сокращения.

Определение, единица, числовые системы, положительные числа, натуральное множество, относительные числа, отрицательные числа, рациональные числа, действительные числа, иррациональные числа, бесконечность, десятичная дробь, комплексные числа, мнимое число, необходимость, больше, меньше, столько же, равно, арифметика, 10000, в III веке до нашей эры, Древняя Греция, несоизмеримые отрезки, диагональ квадрата, √2, √-1.

Задание 6. Прослушайте лекцию и определите еѐ тему.

А. Положительные числа Б. «Начала» Евклида В. Мнимые числа Г. Числовые системы

Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в связи с изучением величин. Существует большое количество определений понятия «число». Первое научное определение числа дал Евклид в своих «Началах»: «Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц».

Числовые системы, применяемые в математике, представляют пять главных ступеней:

1)множество целых положительных чисел – натуральное множество N;

2)относительные числа, включающие положительные числа, отрицательные числа и нуль;

3)рациональные числа, в которые входят целые числа и дроби;

4)действительные числа, включая иррациональные числа, т.е. числа, которые можно представить бесконечной непериодической десятичной дробью, такие как π и т.д.

5)комплексные числа, вводящие в рассмотрение мнимое число.

43

Натуральные числа С зарождением обмена у людей появилась необходимость сравнить

число предметов одного вида с числом предметов другого вида. На этом этапе возникли понятия «больше», «меньше», «столько же» или «равно». На этом же этапе развития люди стали складывать числа. Значительно позже они научились вычитать числа, затем умножать и делить их.

Относительные числа С открытием действий с числами возникла наука арифметика. Еѐ

возникновению и развитию способствовали практические потребности. Долгое время арифметика имела дело с числами небольшими. Например, в системе счисления Древней Греции самым большим числом, которое имело название, была «мириада» - 10 000. Ещѐ в III веке до нашей эры люди не знали, что натуральный ряд чисел бесконечен. Тогда Архимед разработал систему, которая позволила выразить сколь угодно большое число, и показал, что натуральный ряд чисел был бесконечен. Математики Древней Греции, занявшись проблемами больших чисел, совершили скачок от конечного к бесконечному.

Рациональные числа

В IV веке до нашей эры греческие математики открыли несоизмеримые отрезки, длины которых они не могли выразить ни целым, ни дробным числом. Одним из таких отрезков была диагональ квадрата со сторонами, равными единице. Теперь длину такого отрезка мы выражаем через √2. Учѐные того времени относили к числам только рациональные и не признавали иррациональные числа.

Действительные числа Понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые числа,

затем дробные, рациональные (положительные и отрицательные) и, наконец, действительные. Любое число, которое можно выразить в виде конечной или бесконечной десятичной дроби, представляет собой элемент множества действительных чисел.

Комплексные числа В связи с решением уравнений математики встречались с числом,

которое выражалось √-1. Оно получило название мнимой единицы. Долгое время мнимые числа не признавали за числа. После того как математик Гаспар Вессель представил мнимое число геометрически, оно получили своѐ место в множестве комплексных чисел.

(392 слова)

44

Задание 8. Прослушайте фрагменты лекции и запишите ответы на вопросы.

1.Кто дал первое научное определение понятию «число»?

Существует большое количество определений понятия «число».

Первое научное определение числа дал Евклид в своих «Началах»: «Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц».

2.Какие числа входят в состав относительных чисел?

Числовые системы, применяемые в математике, представляют пять

главных ступеней:

1)множество целых положительных чисел – натуральное множество N;

2)относительные числа, включающие положительные числа, отрицательные числа и нуль;

3)рациональные числа, в которые входят целые числа и дроби;

4)действительные числа, включая иррациональные числа, т.е. числа, которые можно представить бесконечной непериодической десятичной дробью;

5)комплексные числа, вводящие в рассмотрение мнимое число.

3.Какие понятия возникли на этапе обмена?

Сзарождением обмена у людей появилась необходимость сравнить число предметов одного вида с числом предметов другого вида. На этом этапе возникли понятия «больше», «меньше», «столько же» или «равно». На этом же этапе развития люди стали складывать числа. Значительно позже они научились вычитать числа, затем умножать и делить их.

4.Что такое действительное число?

Понятие числа прошло длинный путь развития: сначала целые числа, затем дробные, рациональные (положительные и отрицательные) и, наконец, действительные. Любое число, которое можно выразить в виде конечной или бесконечной десятичной дроби, представляет собой элемент множества действительных чисел.

5.Что такое мнимое число?

Всвязи с решением уравнений математики встречались с числом, которое выражалось √-1. Оно получило название мнимой единицы.

45

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Практическое значение данного пособия заключается в том, что оно дает возможность слушателям подготовительного отделения в рамках научного стиля овладеть особенностями языка точных наук, расширить лингвистические знания, необходимые для успешной коммуникации в учебной и профессиональных сферах общения. Система заданий содействует более прочному усвоению лексического материала, выработке навыков активного восприятия лекций, построения тематического монологического высказывания, конспектирования. Лексический минимум, который составлен на базе текстов тематического раздела, позволяет четко определить объем лексики, необходимый для усвоения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Акишина Т. Е. Пособие по обучению аудированию и записи лекций / Т.Е. Акишина, Н.Н. Алексеева. — М.: Рус. яз., 1989. — 86с.

2.Государственный образовательный стандарт по русскому языку как иностранному: первый сертификационный уровень. Общее владение / М.М. Нахабина и др. — М.; СПб. : Златоуст, 1999. — 23 с.

3.Кузнецова Л. М. Пособие по развитию навыков конспектирования. Ч. 1 / Л.М. Кузнецова, Г.Б. Потапова. — М.: Изд-во МГУ, 1980. — 80 с.

4.Лексический минимум по русскому языку как иностранному : первый сертификационный уровень: общее владение / сост. Н.П. Андрюшина и др. — СПб.; М.: Златоуст: ЦМО МГУ, 2008. — 197 с.

5.Мехедькина Т.А. Обучение конспектированию лекций на материале текстов общенаучного содержания (учебно-методическое пособие для иностранных студентов подготовительного факультета) / Т.А. Мехедькина, Л. Е. Чернякова, Л.Ф. Репетина. – Харьков: НФаУ, 2004 - 80с.

6. Палицкая Е.В. Начинаем слушать лекции. Пособие по русскому языку для студентов-иностранцев / Е.В. Палицкая, Т.Е. Петрова, Г.Н. Чумакова, И.С. Чумакова. – М.: ЦМО МГУ им. М.В. Ломоносова, 2011. – 129 с.

7. Пособие по развитию навыков слушания и записывания лекций для студентов-иностранцев: инженерно-технический профиль / отв. ред. Н.С.

Фудель. — М.: Рус. яз., 1981. — 172 с.

46

РУССКО-АНГЛИЙСКИЙ СЛОВАРЬ