Учебное пособие 800262

3. ZPK модель имеет вид

(51)

Далее в качестве примера с использованием метода переменных состояния рассмотрим RCL цепь.

Дана цепь (см. рис. 11). Состояние системы характеризуется двумя переменными (x1,x2), где x1 — есть напряжение на конденсаторе uc(t), и х2 — ток через индуктивность iL(t).

Рис. 11. RCL цепь

Используя закон Кирхгофа для токов, запишем дифференциальное уравнение, для токов определяющее скорость изменения напряжения на конденсаторе

– x2 , звездочка знак производной. Закон Кирхгофа для напряжений, примененный к правому контуру, дает уравнение, определяющее скорость изменения тока через индуктивность:

29

Выход системы определяется линейным алгебраическим уравнением

Уравнения (53) и (54) можно переписать в виде двух дифференциальных уравнений относительно двух переменных состояния x1 и х2.

Используя уравнения (55) и (56), а так же начальные условия мы можем определить будущее поведение системы и ее выходную величину.

Воспользовавшись уравнениями (55) и (56) запишем уравнение состояния RCL-цепи

30

Теперь создадим систему с использованием команду ss. Создадим m – файл. В командном окне MATLAB последовательно откроем окна File, New, M-file (Script в версии R2010b) и введем текст (рис. 12) (комментарии можно не вводить, комментарии начинаются со знака %):* ^

сlear % очистка рабочей области памяти clc % очистка командного окна

R=3.0 % Ohms

L=1.0 % Henry

C=1/2 % Farad

Далее создадим матрицу A

A = [0 -1/C; 1/L –R/L ]% создание матрицы А

B = [1/C; 0]%создание матрицы B

C = [0 R] % создание матрицы C; D = [0]

sys_1=ss(A, B, C, D)

* Для увеличения размера шрифта в рабочем окне выбрать в меню

File –References–Font

^ Внимательно следите за синтаксисом и пунктуацией в M-файле:

иначе - ??? Undefined function or variable

31

Рис. 13. М-сценарий формирования передаточной функции

Рис. 14. Преобразование рациональной передаточной функции в форму с выделенными нулями и полюсами

33

Итак, посмотрим результат работы нашего примера, а именно расчет элементов матриц A, B, C и D и с использованием созданного нами М-файла. Закроем и вновь откроем Matlab. Получим такую картину

Для закрытия Editor:

File-Close Editor.

Напомним, как вводится традиционная передаточная функция в виде отношения полиномов (рис. 15).

Рис. 15. Передаточная функция в виде отношения полиномов

Задана передаточная функция САУ

.

Создадим LTI-объект с именем w, для этого выполним: Выполним конвертацию LTIобъекта заданного в переменных состояния с использованием команды >>sys_tf=tf(sys).

Так же выполним конвертацию ZPKфункции из моделей в переменных состояния >>sys_zpk=zpk(sys).

На рис. 16 показана схема преобразования двух видов: функция ss позволяет перейти к передаточной к представлению в пространстве состояний, функция tf выполняет обратную задачу.

34

Рис. 16. Схемы преобразования

Рассмотрим альтернативные варианты задания и преобразований передаточной функции в переменные состояния.

Например, имеется система третьего порядка

На рис. 16 показано, как с помощью функции ss происходит переход от передаточной функции (60) к описанию

Представление передаточной функции в виде модели в переменных состояния представлено на рис. 17.

35

Индивидуальные задания

1. На основе функций представленных в табл. 3:

а) Постройте графики данного примера (например, step(sys));

б) Сделайте тоже самое с использованием LTI-viewer.

2. В табл. 4 представлены электрические цепи. Выбрать координаты состояния, например x1 – ток в цепи, x2 – напряжение на конденсаторе. Записать уравнение, описывающее переходные процессы в цепи. Записать математическую модель в переменных состояния (форма Коши). Записать матричную форму полученного уравнения в соответствии с вариантом.

37

Таблица 5

Варианты заданий

38