Учебное пособие 800258

-Как называются уравнения, которыми можно описать любую голономную систему с n степенями свободы, и какой эти уравнения имеют вид?

-Что представляет собой манипулятор?

-Чему равна кинетическая энергия манипулятора?

-Общий вид уравнений Лагранжа.

-Что называется эффективным моментом инерции?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАМКНУТОЙ САР В СРЕДЕ MATLAB.

1.ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Научиться определять устойчивость замкнутой системы, используя для этого графики переходных процессов и стандартные функции MathLab.

2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Понятие устойчивости системы регулирования связано с ее способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

ПОНЯТИЕ О ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ

Было сказано, что устойчивость системы связана с природой самой системы, а не с тем, как внешние источники движущих сил (задание, помехи) заставляют перемещаться ее ко-

ординаты. Очевидно, что невозможно описать цепь преобразо-

84

вания энергии (систему) не 85учитывая источников. Поэтому в

правой части ДУ(диф. уравнение) описывающих систему всегда будут присутствовать источники движущих сил (вспомните как записываются уравнения по II закону Кирхгофа). Однако если их обнулить, то система ДУ не потеряет смысла. После отключения источников в любой линейной цепи преобразования энергии возникнет переходный процесс обусловленный энергией, которую накопили пассивные реактивные элементы цепи (собственный переходный процесс). Именно он определит, будет ли система устойчивой. И именно эта система ДУ, в которой обнулены величины источников движущих сил, называется характеристической. Если система характеристических ДУ решена относительно одной из координат, то она называется характеристическим уравнением.

ПОНЯТИЕ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ

В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать САУ так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости.

КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА

Чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы при изменении от - до + годограф разомкнутой системы W(j ) (АФХ), поворачиваясь вокруг начала координат по часовой стрелке, охватил точку (-1, j0) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель W(j ).

Примечания:

Если корней в правой полуплоскости нет, то годограф W(j ) не должен охватить точку (-1, j0).

Неустойчивая система в разомкнутом состоянии может быть устойчивой в замкнутом состоянии. И наоборот.

Примеры годографов Найквиста статических САР:

1 - САР на колебательной границе устойчивости.

2- Абсолютно устойчивая САР (устойчива при любом уменьшении K).

3- Неустойчивая САР.

4- Условно устойчивая САР (только при изменении K в некотором диапазоне).

Рис. 1 Годографы исследуемых систем

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАПАСА ПО ФАЗЕ И АМПЛИТУДЕ НА ОСНОВЕ ГОДОГРАФА НАЙКВИСТА

Согласно критерию Найквиста, чем дальше АФЧХ от критической точки (-1, j0), тем больше запас устойчивости. Различают

запасы устойчивости по модулю и по фазе.

87

86

Рис. 2 Определение запаса по фазе и амплитуде

Запас устойчивости по модулю характеризует удаление годографа АФЧХ разомкнутой САУ от критической точки в направлении вещественной оси и определяется расстоянием h от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс.

Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного

радиуса и определяется углом между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛОГАРИФМИ-

ЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

88

Для определения устойчивости по критерию Найквиста можно строить не АФХ, а ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.

Чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы сдвиг фазы на частоте единичного усиления разомкнутой системы W(j ) не достигал значения -1800.

Если система условно устойчивая, то при модулях больших единицы, фазовый сдвиг может достигать значения -1800 четное число раз. 0

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ

Чтобы замкнутая САР была устойчива, необходимо и достакточно, чтобы вещественные части корней характеристического уравнения были отрицательными. Это условие является достаточным только для систем 1-ого и 2-ого порядков.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИ ПОМОЩИ ФУНКЦИИ ALLMARGIN

В состав стандартных функции MATLAB входит функция allmargin, которая возвращает параметры исследуемой системы

PhaseMargin – запас по фазе в градусах

GainMargin – запас по амплитуде в db ( = inf – отсутствует для неустойчмвых систем, = 1x0 double – не может быть определен)

Stable - определяет устойчива система или нет (1 – устойчива, 0 - нет)

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

- В окне Command Window задать передаточные функции для

89

звеньев Compensator, Sensor и Plant.

-Импортировать функции (comp, Sens и plant) в SISO Design Tool, утилиту, входящую в состав MathLab (в SISO Design Tool: File\Import…).

-Исследовать устойчивость системы, определяем запасы по фазе и амплитуде с помощью годографа Найквиста

(Tools\Loop Responses\Open-Loop Nyquist).

-Определить устойчивость по ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой сис-

темы (Tools\Loop Responses\Open-Loop Bode)

-Определить устойчивость системы по корневому годографу(Root Focus).

-Провести повторное исследование функции для вариантов дискретизации(в Siso Design Tool: Continuous\Discrete Conversion…) 0.001c, 0.01c, 0.1c.

-Замкнуть систему обратной связью.

-Исследовать функцию замкнутой системы, полученную, с

помощью allmargin (см. рис. 3).

-Составить таблицу результатов выполнения работы и сделать вывод.

Варианты работы :

90

Рис.3 Структурная схема двигателя постоянного тока

4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

-Дайте определение понятия устойчивости;

-Назовите необходимое и достаточное условие устойчивости САР в критерий Найквиста;

-Дайте определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам;

-Дайте определение устойчивости по модулю и фазе;

-На примере передаточной функции докажите ее устойчивость.

-Опишите применение функции feedback;

-Перечислите порядок действий при использовании функции allmargin.

92

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4

ГЕОМЕРИЯ РАБОЧЕГО ПРОСТРАНСТВА РОБОТАМАНИПУЛЯТОРА.

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

Целью работы является построение зон сервиса робота -манипулятора.

1.КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Прямая позиционная задача Прямую позиционную задачу формулируют следующим

образом : по заданному вектору обобщенных координат q (q1 , q2 ,....., qN )T найти положение и ориентацию схвата s =

f(q). Положение и ориентацию схвата мы будем искать в форме матрицы однородного преобразования

T

R p

000 1

Пусть Ai, i =1, 2, ..., N — матрицы, задающие переход от системы координат i-го звена к системе координат (i-1)-гo звена. Тогда, очевидно, матрица

ТN = А1, А2 ... AN, (1.1)

является решением поставленной задачи. Вводя матрицу

Тi = А1, А2 ... Ai, (1.2)

для (1.1) получаем следующее рекуррентное соотношение:

Ti=Ti-1Ai, i =1, 2, ..., N, (1.3)

T0=E

Соотношение (1.3) позволяет не только записать решение прямой задачи о положении схвата в компактной форме, но также найти положение и ориентацию всех звеньев манипулятора, поскольку матрица Т, определяет положение и ориентацию i-го звена.

Ясно, что для определения положения k-го звена относительно l-го (k < l) можно использовать следующее соотношение:

Тk = Аk+1, Аk+2 ... Al,

Вид матриц Аi, входящих в (1.3), зависит от способа выбора систем координат звеньев.

Определим вид матриц в случае использования представления Денавита — Хартенберга.

93

Тогда имеем:

Ai Rot(Z , qi )Trans(Z , di )Trans( X , ai )Rot( X , i ) .

Перемножая матрицы, стоящие справа, окончательно получаем:

Обратная позиционная задача Обратную позиционную задачу формулируют следующим

Таким образом, решение обратной позиционной задачи сводится в общем случае к решению нелинейной тригонометрической системы шести уравнений с N неизвестными. Известно, что такого рода системы могут:

94

не иметь ни одного решения. Это означает, что заданные положение и ориентация схвата системы не могут быть дос-

тигнуты никаким выбором углов (перемещений) в сочлене-

ниях;

иметь единственное решение;

иметь более одного решения. Это означает, что существует несколько (или бесконечно много) конфигураций манипулятора, обеспечивающих заданное положение схвата.

Умение решать обратную позиционную задачу является чрезвычайно важным для управления манипулятором. Действительно, если программное движение манипулятора задано в виде траектории его схвата s(t) (или TN (t) - что эквивалентно), то для управления сочленениями необходимо обеспечить такие q(t) , чтобы в каждый момент времени выполнялось соотношение (2.1). Однако, к сожалению, не существует общего метода решения этой системы в явном виде, а именно это и является желательным, поскольку управление манипулятором осуществляется в режиме on-line. (Впрочем, и применение численных методов также сопряжено с рядом трудностей, связанных с возможной расходимостью соответствующих итерационных схем.)

Рассмотрим два метода решения обратной позиционной задачи: метод обратных преобразований и итерационный метод. Выбор метода для решения конкретной задачи определяется спецификой кинематической схемы манипулятора, а также опытом исследователя.

3.2.1 Метод обратных преобразований

Как было показано выше, матрица TN, определяющая положение и ориентацию схвата, имеет вид

ТN = А1, А2 ... AN-1 AN, (2.5)95

где Ai = Ai(qi) — матрицы перехода от i-й к (i -l)-й системе координат манипулятора.

Тогда, умножая соотношение (2.5) на A1 1 (напомним, что матрица Аi, невырожденная), имеем

В силу того, что матрица ТN известна, нам удалось разрешить соотношение (2.6) относительно q1. Если структура (2.6) такова, что удается найти q1, то этот процесс повторяем для q2,

q3 , ..., qN. Ясно, что, умножая (2.5) справа на AN1 , аналогично

можно найти qN.

Пример 1. Пусть механизм представляет собой трехстепенной карданный подвес, ориентация которого задана тремя углами Эйлера:

Приравнивая в (2.8) элементы второй строки и третьего столбца обеих матриц, находим

откуда

одному из четырех квадрантов.

Приравнивая элементы второй строки и первого и третьего

столбцов в выражении (2.8). получаем

откуда следует, что

Далее, приравнивая элементы первой строки и третьего столбца, а также третьей строки и третьего столбца, находим

Таким образом, соотношения (2.9), (2.11). (2.12) решают обратную позиционную задачу.

3.2.2 Численные методы решения обратной задачи. Способы решения обратной задачи по положению в замк-

нутой форме, описанные в предыдущих главах, применимы не для всех кинематических схем манипуляторов. Вместе с тем, существует много численных методов, позволяющих решить обратную задачу. Согласно этим методам, весьма развитым в вычислительной математике и носящим итерационный характер, обратную задачу рассматривают как задачу поиска корня уравнения

Рассмотрим простейший из этих методов, а именно метод Ньютона (метод касательных). В основе метода лежит простая геометрическая идея, состоящая в том, что если для решения скалярного уравнения

(x) 0 (2.14)

выбрать некоторое начальное приближение x0 и построить следующее приближение x1 как точку пересечения касательной к графику функции y (x) в точке x0 с осью X, то полученное значение x1 , «ближе» к корню x* ,чем x0 (рис. 2.1).

98

Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация метода Ньютона для решения уравнения (x) 0

Продолжая этот процесс и получая таким образом x1 , x2 ,.., можно рассчитывать на то, что последовательность x1 сой-

дется к x* . Реализация этого подхода приводит к следующей итерационной схеме:

Существует теорема о достаточных условиях сходимости итерационного процесса (2.15), ее формулируют следующим образом.

Пусть x* является решением уравнения (2.14). Обозначим

Пусть c a1a2 , b min(a, c 1 ) . Тогда при этих условиях и x0 b процесс (2.15) сходится к x* с оценкой погрешности

Заметим, что если (x) имеет ограниченную вторую про-

изводную, то последнее условие выполнено.

Применяя метод Ньютона для решения уравнения (2.13), получаем следующую схему:

вают матрицей Якоби, которая играет важную роль при разработке методов управления манипуляторами. При использовании метода Ньютона требуется вычислять обратную матрицу Якоби на каждом шаге итерации.

Использование метода Ньютона приводит к весьма простым соотношениям (2.16), однако в процессе его применения может возникнуть ряд трудностей, графическая иллюстрация которых приведена на рис. 2.2, а-в..

100

Рис. 2.2. Иллюстрация расходимости итерационного процесса: а - не существует1/ (xi 1 ) ; б - xi расходится; в – за-

цикливание.

Безусловно, хорошим рецептом, гарантирующим сходимость, является выбор начального приближения, удовлетворяющего условиям сформулированной выше теоремы. Однако, как было сказано ранее, обратные задачи связаны с управлением манипулятором, и в условиях режима on-line воспользоваться этой рекомендацией крайне затруднительно. Вместе с тем, можно так организовать процедуру решения обратной за-

дачи, что начальное приближение q0 будет близко к q * . Этого можно добиться, например, выбрав конечную последова-