Учебное пособие 800257
.pdf
20
|
| | |
. |
|
|||
Для |
прямоугольного сечения |
|
. С учетом соотношения |
в |
||
|
||||||
получим |
|
|
в4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Наибольшие касательные напряжения для прямоугольного сечения возникают в точках, лежащих на главной и центральной оси , так как для половины сечения максимален, а в(y) = в = Const (рис. 6).
|
|
. |
| |
| |
. |
;
Рис.6. Схема сечения балки
Таким образом, |
|
|
, а максимальные касательные напряжения |
||||||
| | |
| |
| |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
Приходим к выводу, что прочность по касательным напряжениям обеспечена с большим запасом.
Окончательно принимаем следующие размеры поперечного сечения:
в ; h= 46 см.
3.2. Пример решения задачи № 2
Для балки, расчетная схема которой приведена на рис. 7,а, требуется:
-подобрать из условия прочности по методу предельных состояний поперечное сечение в виде стандартного двутавра;
-для сечения, в котором действует наибольшая поперечная сила, проверить выполнение условия прочности по касательным напряжениям.
Материал балки ВСт.3. |
Расчетное сопротивление |
по пределу |
текучести |
, расчетное сопротивление при сдвиге |
. |
Расчетные |
|
значения нагрузок: |
. М=20 кН , |
. Размер |
. |
21
Рис. 7. Расчетная схема балки (а) , эпюры поперечной силы (б) и изгибающего момента (в)
Решение Определение вида расчета
Согласно условию задачи требуется провести проектный расчет балки, а затем выполнить проверочный расчет по касательным напряжениям.
Из условия прочности по нормальным напряжениям проектный расчет выполняется по соотношению
|
|
|
| | |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
для |
проведения расчета следует знать | | |
. Для |
||||
проверки прочности по касательным напряжениям необходимо знать | |
| . |
||||||
Для определения | |
| |
и | | |
строим эпюры |
и . |
|
||
Построение эпюр |
и |
|
|
|
|
|
|
а) Определение реакций опор.
22
Мысленно |
отбросив опоры, заменим их |
|
реакциями |
, |
и . Из |
|||||||
уравнений статики определим значения реакций: |
|
|
|
|||||||||
∑ |
; |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∑ |
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
∑ |
|
: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
Проверка: ∑ |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
Таким образом, реакции найдены верно. |
|
|
|
|
||||||||
б) Разбиваем балку на участки. |
|
|
|
|
||||||||
Используя правило, изложенное в разделе 1.1, разбиваем балку на три |
||||||||||||
участка и нумеруем их. |
|
|
|
|
||||||||
в) Записываем аналитические выражения |
и |
по участкам и вычисляем |
||||||||||
значения |
и |
на границах участков. |
|
|
|
|
||||||
Участок I: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
; |
|
. |
|
|
||||
Из полученных выражений следует, что поперечная сила |
|
на первом |
||||||||||
участке постоянна во всех его сечениях и равна +20кН, а изгибающий момент
- линейная функция координаты . Определяем значения |
в |
|
граничных сечениях I участка: |
|
|
при |
; |
|
при |
|
|
Участок II: |
, |
|
Так же как и на предыдущем участке, поперечная сила |
- постоянна |
во всех сечениях второго участка и равна -36.67 кН, а |
изгибающий момент |
– линейная функция координаты . В граничных сечениях второго |
|
участка получим: |
|
при |
; |
|
. |
Участок III:
На третьем участке выгоднее рассматривать отсеченную левую часть балки, на которую действует меньшее число нагрузок. Поэтому будем отсчитывать от опоры В.
При этом получим:
;
23
Из полученных выражений следует, |
что |
|
– линейная функция |
|||||||||||||
координаты |
, |
а |
|
|
меняется по параболической зависимости. |
|||||||||||
Определим |
и |
в граничных сечениях третьего участка: |
|
|||||||||||||
при |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эпюра |
|
пересекает |
|
|
нулевую |
линию |
(т.к. |
меняет знак), |
||||||||
следовательно, |
на |
эпюре |
|
|
будет |
локальный экстремум. Определим |
||||||||||
координату |
сечения, в |
котором |
|
|
|
принимает |
экстремальное |
|||||||||
значение, приравняв |
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
, отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определяем экстремальное значение |
: |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Это будет максимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) По полученным данным строим эпюры |
|
и |
, располагая их строго под |
|||||||||||||
схемой балки (рис. 7,б и рис. 7,в).
д) Используя следствия из дифференциальных зависимостей (1.3), проводим проверку правильности построения эпюр.
Подбор размеров поперечного сечения |
|
|
|
|||||||||
Из эпюры |
находим, что | | |
. |
|
|||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из таблицы (по ГОСТ 8239-89,приложение ) выбираем двутавр |
№ 22, у |
|||||||||||
которого |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поскольку| |
| |
| |
| |
|
|
|
|
> |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
оценим перегрузку. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Перегрузка |
|
| |
|
| |
|
|
|
|
|
|
, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вполне допустимо.
Проверка прочности по касательным напряжениям
Условие прочности по касательным напряжениям записываем в виде (1.11):
| | |
| |
| |
| |
|
| |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
||||
Из эпюры устанавливаем | |
|
| |
|
|
|
. |
24
Из таблицы (по ГОСТ 8239-89, приложение ) находим для двутавра № 22:
– статический момент полусечения; в=
– толщина стенки.
Подставляя эти величины в условие прочности по касательным напряжениям, получим
| | |
|
|
|
. |
|
|
Таким образом, условие прочности по касательным напряжениям соблюдается с большим запасом.
Окончательно принимаем сечение балки в виде стандартного двутавра № 22.
4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ «РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ БАЛОК»
1.Какой вид деформирования называется изгибом?
2.Какой изгиб называют чистым, а какой – поперечным?
3.Какой изгиб называют прямым или плоским?
4.Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сечениях балки при плоском поперечном изгибе?
5.Какой метод используется для определения внутренних силовых факторов в поперечных сечениях балки?
6. |
Как определяют величины |
и |
в поперечных сечениях балки согласно |
|
методу сечений? |
|
|
|
|
7. |
Каково правило знаков для |
и |
? |
|
8. |
Какие дифференциальные зависимости существуют между , |
и ? |
||
9.Какие следствия вытекают из дифференциальных зависимостей при изгибе?
10.По какой формуле определяются нормальные напряжения в точках поперечного сечения при плоском поперечном изгибе?
11.Как определяются касательные напряжения в поперечных сечениях балки при плоском поперечном изгибе?
12.Напишите условие прочности по нормальным напряжениям при плоском поперечном изгибе для балок из пластичных и хрупких материалов.
13.Какие три типа расчетов можно выполнять из условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе?
14.Каков порядок подбора сечения балки из условия прочности по нормальным напряжениям?
15.Запишите условие прочности балки по касательным напряжения.
25
5. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМЫ MATHCAD
5.1. Задача № 1. Для выполнения расчетов с использованием вычислительной среды системы MATHCAD необходимо задать исходные
умноженные на размерность
|
|
|
|
|
L2 |
|
|
M1 |
L1 |
q |
|
M |
|||
|
|
||
О |
|
|
|
|
L3 |
F |
|
|
|
Рис. 8. Расчетная схема консольной балки
Так как в системе MATHCAD используется правая система координат, необходимо определить опорную реакцию R и опорный момент M1. Для этого составим уравнения равновесия:
ΣУ= R1+ F- q*( L3 - L2 ) = 0;
ΣМ(О) = F* L3 – q*( L3 - L2)*( L3 + L2)/2 – M + M1 = 0.
Из этих уравнений получаем:
R1 =10 кН ; M1=40 кНм.
Основные операторы программирования расположены на панели
Programming , вызываемой щелчком на кнопке Programming Toolbar
математической панели.
Для создания программы надо выполнить следующее.
26
1.Вводится имя выражения-программы.
2.Вводится оператор присвоения (:=).
3.Кнопкой Add Program Lane (Добавить строку программы) панели программирования вводится вертикальная линия.
4.В появившиеся места ввода вводятся нужные операторы. Чтобы создать необходимые места ввода, надо установить синий уголок курсора в конец строки, после которой ввести новую строку:
Q(x):={[ |
] |
Момент M не оказывает влияния на поперечную силу Q(x), поэтому при построении программы вместо трех рассматриваются два участка.
Для построения эпюры поперечных сил (Q(x)) необходимо:
1.Установить курсор в то место, где должна быть построена эпюра.
2.На математической панели Graph (график) щелкнуть по кнопке X-Y Plot (двухмерный график).
3.В появившемся на месте курсора шаблоне двухмерного графика ввести на оси абсцисс значения длин (х), а на оси ординатимя эпюры.
4.Щелкнуть мышью вне графика – для заданного диапазона изменения длин эпюра будет построена.
x:= 0, |
L3 |
− 3 |
.. L3 |
10 |
10 |
||
|
|
|
10
10
Q(x) 0
кН
0 |
− 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 20 |
|
|
|
|
|
|
− 200 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
0 |
|
|
x |
4.5 |
Рис. 9. Эпюра поперечной силы Аналогично строиться эпюра изгибающих моментов М(х):
М(х): { |
|
( |
) |
27
40
− M (x) (кН м) 0
− 13.333
40 |
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
− 10 |
|
|
|
|
|
− 20 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|||||
|
0 |
|
|
x |
4.5 |
Рис. 10. Эпюра изгибающего момента
Примечание .Эпюра изгибающих моментов строится на растянутом волокне, поэтому на графике вводят «- М(х)»
Подбор поперечного сечения балки
В соответствии с заданием необходимо подобрать прямоугольное поперечное сечение балки, приняв h=4b. Расчетное сопротивление R = 10 Мпа, сопротивление сдвигу Rs = 5 МПа.
Из эпюр следует: │Mmax│= 40 МПа;│ Qmax│= 20 МПа . Требуемый момент сопротивления изгибу равен:
W тр= │Mmax│/R; для прямоугольного сечения W тр = bh2/6 , h=4b, W тр= 16b3/6=8b3/3.
Подставляя эти выражения в условие прочности, получим размер b. В системе MATHCAD это выглядит так:
|
M max:= 40.0 кН м |
|
|
|
R := 10 М Па |
||||
W := |
M max |
W = |
4 |
|
− 3 |
3 |
|
||
|
R |
10 |
m |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
:= |
M max |
3 |
6 |
W |
b |
|
|||
W |
b := |
= 114.471 |
|||||||
|
|
|
16 |
|
mm |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
.
Окончательно принимаем: b1= 115 мм, h =460 мм Проверяем прочность сечения по нормальным напряжениям:
28
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
|
h |
2 |
|
b1 := 115 mm |
h := 460 mm |
W1 := |
|
||||||
|
|
6 |
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 := |
M max |
= 9.863 |
|
|
|
|
|
|||
W1 |
М Па |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
:= |
1 − R |
100 |
= −1.373 |
|
|
|
|
|
||
|
R |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Недогрузка составляет 1,373 %,что допустимо. Проверим прочность по касательным напряжениям :
.
|
|
|
|
|
|
|
|
:= |
Q S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J b1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
h |
3 |
4 |
|
b1 |
|
h |
2 |
3 |
J := |
|
S := |
|
|||||||
12 |
|
m |
|
8 |
|
|
m |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= 0.567 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
М Па |
|
|
|
|
|
,
Q := 20 кН |
:= |
3 Q |
|
|
2 |
||
|
|
8 b1 |
|
|
|
|
|
0.567 М Па
5
М Па
.
Прочность по касательным напряжениям обеспечена. 5.2. Задача № 2. Решается аналогично предыдущей.
R1 |
|
|
R2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
4 м |
|
|
|
2 м |
2 м |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
M |
|
L2 |
|
|
|
L3
Рис. 11. Расчетная схема балки
Ниже приводится листинг программы.
29
|
|
3 |
|
|
Па := 1 |
N |
|
|
6 |
Па |
м := m |
Н := N |
|
|
|
|
М Па := 10 |
||||
кН := 10 N |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
L1 := 4 м |
L2 := 6 |
|
|
|
m |
:= 8 |
м |
мм := mm |
|
|
м |
|
L3 |
|||||||
|
F := 20 кН |
q := 20 |
|
кН |
M := 20 кН м |
|
|
|||
|
м |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
R2 := |
F L3 M q |
L1 |
|
R1 := |
|
|
L2 |
− |
|||||||
|
|
|
q L1 |
|
|
|
− M − F (L3 − L2) |
||||||||
|
L2 |
|
2 |
|
|
L2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
R1 := 43.33 кН |
R2 := 56.67 кН |
|
|
Q(x) := |
(R1 − q x) |
if |
0 x L1 |
|
|
|
|
|
(R1 − q L1) |
|
if L1 x L2 |
|
|
|
|
|
(R1 − q L1 |
R2) |
if L2 x L3 |
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
43.33 |
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
Q(x) |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кН |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 13 |
|
|
|
|
|
|
|
− 22 |
|
|
|
|
|
|
− 36.67 |
− 31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 40 |
0 |
2 |
|
4 |
6 |
8 |
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
x |
|
8 |
Рис. 12. Эпюра поперечной силы
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(x) := |
R1 x − q |
x |
|
if 0 |
x L1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
R1 |
(x) − q L1 |
|
x − |
|
|
|
M |
if L1 x L2 |
|
|||
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
R1 |
(x) − q L1 |
|
x − |
|
|
|
M R2 (x − L2) if |
L2 x L3 |
||||
|
|
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||