Учебное пособие 800247
.pdfдруга. На выходе приемного устройства зарегистрирована комбинация 10110.
Определить какая команда была передана (с какой вероятностью)?
1.23**. Две радиолокационные станции ведут наблюдение за областью пространства, в которой перемещается объект, в течение времени . За это время первая станция успевает произвести n1 циклов обзора, вторая n2 циклов. За один цикл обзора первой станции объект обнаруживается с вероятностью q1, второй с вероятностью q2. Найти вероятности событий:
A – объект обнаружен за время хотя бы одной станци-
ей;
B – объект обнаружен первой станцией и не обнаружен второй;
C – объект не обнаружен за первую половину , но обнаружен за вторую.
1.24.Радиолокационная станция за один цикл обзора обнаруживает объект с вероятностью q. Сколько потребуется циклов обзора для того, чтобы объект был обнаружен с вероятностью не меньшей, чем q ?
1.25.Сообщение, передаваемое по каналу связи, состоит из n знаков. При передаче каждый знак искажается (независимо от других) с вероятностью P. Для надежности сообщение дублируется (повторяется) k раз. Найти вероятность, что хотя бы одно из переданных сообщений не будет искажено ни в одном знаке.
1.26.Важное сообщение передается одновременно по n каналам связи, причем, для надежности по каждому каналу оно повторяется k раз.
При одной передаче сообщение (независимо от других) искажается с вероятностью P. Каждый канал связи (независимо от других) поражается помехами с вероятностью Pk по этому каналу не могут передаваться никакие сообщения. Найти вероятность события q(A), что хотя бы один раз сообщение передано без искажений.
9
1.27.По каналу связи передается n=6 сообщений, каждое из которых, независимо от других, с вероятностью P=0,2 оказывается искаженным. Найти вероятности следующих событий:
C – ровно 2 сообщения из 6 искажены;
D – не менее двух сообщений из 6 искажены.
1.28.По каналу связи передается n сообщений. Каждое из сообщений независимо от других с вероятностью P искажается помехами.
Найти вероятности следующих событий:
A – из n сообщений m будут искажены помехами;
B – не более половины всех передаваемых сообщений будут искажены;
C – не менее m из n сообщений будут приняты неискаженными;
D – все сообщения будут приняты без искажений; E – не менее двух сообщений будет искажено.
1.29.Передается сообщение, состоящее из n двоичных символов «0» и «1». Каждый из символов с малой вероятностью P искажается (заменяется на противоположный). Для повышения надежности сообщение передается два раза; если оба совпали, информация считается правильной. Найти вероятность того, что, несмотря на совпадение сообщений, оба они оказались ошибочными.
1.30**. С целью повышения надежности передачи важного сообщения, состоящего из n символов, каждый из передаваемых символов дублируется (повторяется) m раз. Правильно принятым на приеме считается символ, который принят не менее k раз из m. Если символ в пункте приема принят менее k раз, то такой символ считается искаженным. Вероятность q правильного приема любого символа одинакова и не зависит от того, правильно ли приняты другие символы.
Найти вероятности следующих событий:
A – переданный отдельный символ в сообщении будет правильно воспринят в пункте приема;
10
B – все сообщение будет правильно воспринято в пункте приема;
C – в сообщении будет искажено не более l символов. 1.31. По каналу связи передается последовательно три
сообщения; каждое из них может быть принято правильно или искажено.
Рассматриваются события:
Ai – i-ое сообщение принято правильно; A i –i-ое сообщение искажено (i = 1, 2, 3).
A – все сообщения приняты правильно; B – все три сообщения искажены;
C – хотя бы одно сообщение принято правильно; D – хотя бы одно сообщение искажено;
E – не менее двух сообщений принято правильно; F – не более одного сообщения принято правильно; G – первое правильно принятое сообщение – третье
по порядку.
1.32*. При дискретизации речевого сигнала по уровню для передачи по каналу связи каждый i-ый уровень может передаваться с вероятностью P(xi), которая приведена в табл. 1. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
Построить ряд распределения и функцию распределения вероятностей. Отметить на графиках математическое ожидание и средне квадратическое отклонение.
Таблица 1 Вероятности передачи каждого уровня по каналу связи
№№ |
|
|
|
xi |
|
|
|
п/п |
–5 |
–3 |
–1 |
0 |
3 |
5 |
10 |
1 |
0,4 |
– |
0,2 |
– |
0,2 |
0,2 |
– |
2 |
0,2 |
0,3 |
– |
0,2 |
– |
0,3 |
– |
3 |
0,2 |
0,1 |
– |
– |
0,4 |
– |
0,3 |
4 |
– |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
– |
– |
0,3 |
5 |
0,2 |
0,2 |
– |
– |
0,3 |
– |
0,3 |
11
6.33. Передатчик радиорелейной станции состоит из 100 микросхем. Вероятность отказа одной микросхемы в течение года равна 0,001. Какова вероятность отказа двух, трёх, четырёх, пяти микросхем в течение года, если случайное число k отказавших микросхем подчиняется закону Пуассона:
P(k)
где – среднее число микросхем,
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
e |
||
k ! |
, |
||
|
|||
|
|
выходящих из строя за год.
1.34.Наработка на отказ микропроцессора составляет 1000 ч. Считая, что за этот срок микропроцессор выходит из строя, определить число микропроцессоров, которые нужно заменить в течение одного часа при длительной эксплуатации блока коммутации пакетов, содержащего 2000 микропроцессоров.
Найти вероятность отказа за час одного, двух, трех, четырех, пяти микропроцессоров, а также вероятность того, что за час ни один микропроцессор не выйдет из строя.
1.35.От телефонного аппарата абонента на электронную АТС поступает за шесть часов 13000 импульсов. Эти данные считают типовыми и по ним можно определить «среднее число импульсов в секунду».
Какова вероятность того, что за пять секунд поступит четыре импульса, не более четырех импульсов (считается, что вероятность прихода импульсов пропорциональна временному интервалу)?
1.36.На сельскую телефонную станцию за час в среднем поступает 10 вызовов. Какова вероятность того, что за три минуты поступит 1 вызов, 2 вызова, не поступит ни одного вызова?
1.37*. Вероятность того, что абонент позвонит на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Определить вероятность того, что в течение двух часов позвонят два, три, четыре, пять абонентов, если число вызовов, поступающих на коммутатор, подчиняется закону Пуассона:
12
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
(k ) |
|
e |
|
, |
k ! |
|
|||
|
|
|
|
где – среднее число вызовов за единицу времени.
Построить ряд распределения и функцию распределения вероятностей.
1.38. За рассмотренный период времени среднее число ошибочных соединений, приходящихся на одного абонента равно 2. Какова вероятность того, что для данного абонента число ошибочных соединений будет равно 1, 2, 3, 4, больше 4, если число ошибочных соединений подчиняется закону Пуассона.
Построить функцию распределения вероятностей и определить дисперсию числа ошибочных соединений.
1.39**. Среднее число вызовов на телефонной станции в течение суток приведено в табл. 2:
|
|
|
|
Таблица |
2 |
Среднее число вызовов в течение суток |
|
|
|||
Время суток, ч. |
0 — 6 |
6 — 12 |
12 — 18 |
18 — 24 |
|
|
|
|
|
|
|
Число вызовов |
40 |
700 |
400 |
110 |
|
|
|
|
|
|
|
Требуется определить:
вероятность того, что за одну минуту поступит 1, 2, 3
и5 вызовов;
вероятность того, что за утренние часы (6—12) поступит не более четырёх вызовов. При решении учесть, что вероятность вызовов пропорциональна времени.
1.40. Определить математическое ожидание, дисперсию
ифункцию распределения вероятностей случайного напряжения, имеющего плотность распределения, показанную на рис. 1.
13
.
W(x) 
a |
b |
x |
|
||
|
1) |a|>|b|; 2) |a|<|b|; 3) |a|=|b|; |
|
|
W(x) |
|
a |
b |
x |
|
2) |a|>|b|; 5) |a|<|b|; 3) |a|=|b|;
W(x) 
a |
b |
x |
|
1) |a|>|b|; 2) |a|<|b|; 3) |a|=|b|;
4) |a|>|b|; 5) |a|<|b|; 6) |a|=|b|;
Рис. 1. Плотности распределения
14
1) |a|=|b|; 2) a=0; b=0;
3) |a|=|b|; 4) a=0; b=0;
1) |a|=|b|; 2) |a|>|b|; 3) |a|<|b|;
Рис. 1. Плотности распределения (продолжение)
Найти и показать на графиках функции распределения вероятностей и плотности распределения вероятностей вероятность того, что случайное напряжение будет находиться в интервале от x1 = 0 до x2 = b/2.
1.41. Случайный дискретный сигнал Y на выходе линейной безынерционной радиотехнической цепи связан со входным сигналом X соотношением Y = 2 – 3X. Числовые характеристики входного сигнала:
15
mx = – 1, Dx= 4.
Определить:
математическое ожидание и дисперсию выходного сигнала Y;
корреляционную функцию и нормированную корреляционную функцию X и Y.
1.42. Отсчеты мгновенных значений помехи X распределены по гауссовскому закону:
|
|
1 |
|
(x 1) |
2 |
|
W |
(x ) |
|
||||
|
exp |
|
|
|
||
1 |
2 |
2 |
|
8 |
|
|
|
|
Отсчеты регулярного измерительного сигнала Y, передаваемого по каналу связи, распределены равномерно в интервале (0, 2), XиY независимы.
Определить: |
|
|
1) M[X+Y ]; |
2) M[XY ]; |
3) M[X2 ]; |
4) M[X–Y 2 ]; |
5) D[X +Y ]; |
6) D[X–Y ]. |
1.43.По тропосферному каналу связи передается N сообщений; длительность каждого сообщения случайна, имеет постоянное математическое ожидание m, дисперсию D и не зависит от длительности других сообщений. Найти математическое ожидание и дисперсию суммарного времени T, за которое будут переданы все N сообщений. Найти Tmax – максимальное практически возможное время передачи всех сообщений.
1.44.Производятся четыре независимых измерения суммы сигнала и помехи X на выходе канала связи. Каждое измерение характеризуется одним и тем же математическим
ожиданием mxи средним квадратическим отклонением x . Результаты измерений: X1 , X2 , X3 , X4 . Рассматривают-
ся разности между соседними измерениями:
Y1 = X2 – X1 ; Y2 = X3 – X2 ; Y3 = X4 – X3.
Найти характеристики системы этих случайных вели-
чин:
математическое ожидание mY 1 ; mY 2 ; mY 3 ;
16
|
среднее квадратическое отклонение 2 Y 1 ; |
2 Y 2 ; |
|
2 Y 3 ; |
|
|
|
|
нормированную корреляционную матрицу || |
ri j |
||. |
1.45. Дискретные случайные величины X1 , X2 , |
..., |
X2 4 , |
|
характеризующие поток вызовов, поступающих на междугородную телефонную станцию в разные часы суток, независимы и распределены по законам Пуассона с параметрами 1 ,
2 ,.., 2 4 .
Показать, что их сумма
24
Yxi
i1
также распределена по закону Пуассона с параметром
24
i .
i1
1.46.Отсчеты мгновенных значений флуктуационной
помехи (X, Y) при двухлучевом распространении радиосигнала в ионосфере распределены по гауссовскому закону с характеристиками mx , my , x , y и rx y . Отсчеты мгновенных значений помехи на выходе приемного устройства (U,V) связаны с(X,Y) зависимостью:
U = a x + by + c, V = kx + l y + m.
Найти закон распределения системы случайных величин (U,V).
1.47. Для повышения достоверности сигнал одновременно передается по n каналам многоканальной системы связи. Случайный сигнал X имеет равномерное распределение на интервале (1,2).
Рассматривается среднее арифметическое наблюдаемых значений случайного сигнала X:
|
1 |
n |
|
Y |
x i . |
||
|
|||
|
n i 1 |
||
На основе закона больших чисел выяснить, к какому числу a будет приближаться (сходиться по вероятности) вели-
17
чина Y при n . Оценить максимальную практически возможную ошибку равенства Y a.
1.48.Случайные величины X и Y, характеризующие поток вызовов на две АТС, независимы и распределены по законам Пуассона с параметрами a и b. Найти закон распределения их разности Z = X – Y и модуля их разности U = |X – Y| = |Z|.
1.49.Отсчеты мгновенных значений помехи после прохождения через две нелинейные радиотехнические цепи рас-
пределены по показательному закону с параметрами и :
W |
(x ) e |
x |
, |
(x 0), |
|
||||
i |
|
|
|
|
W |
(x ) e |
y |
, |
( y 0). |
|
||||
i |
|
|
|
|
Найти плотность распределения вероятностей разности
Z= X – Y.
1.50.Двумерная плотность распределения вероятностей флуктуационной помехи W2 (X,Y ) имеет гауссовский закон распределения:
W |
|
(x, y) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
|
1 R |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x m x |
) |
2 |
2R x y |
(x m x |
)(y m y ) |
|
(y m y ) |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
exp |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
x |
y |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2(1 R x y |
|
x |
|
|
|
|
y |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где mx , my , x , y , Rx y – параметры распределения. Определить:
одномерные плотности распределения вероятно-
стей W1 (x), W1 (y);
условные плотности распределения вероятностей
W1 (y|x), W1 (x|y).
1.51. Дискретный случайный телеграфный сигнал при-
нимает значения в интервале (–1 x 1), в этом интервале плотность распределения равномерна.
18