Учебное пособие 800179
.pdf
7.Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы 1.
8.Строим график функции, нанося асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и точки перегиба графика, соединяя их плавной кривой
(рис. 1).
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
||
x |
( ,0) |
0 |
(0,3) |
3 |
(3,9) |
9 |
|
|
(9, ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
+ |
не |
|
0 |
|
|
+ |
y (x) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
сущ. |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
+ |
не |
+ |
|
|
|
+ |
y (x) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
сущ. |
|
|
|
|
|
y(x) |
возр., |
Т. |
возр., |
не |
убыв., |
ми- |
возр. |
||
|
вып. |
перег. |
вогн |
сущ. |
вогн. |
ним. |
вогн. |
||
|
|
|
. |
|
|
ymin= |
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Minimum |
|
|
|
|
|
|
|
|
81/4 |
|
|
|
|
|
|
y=x+6
6
0 |
3 |
9 |
x
x=3
Рис. 1
29
б) Решение.
1. Функция y 3 |
x3 6x2 |
всюду определена: x R или |
D( y) ( , )
2. Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями.
x2 (x 6) 0; x |
0, |
x |
2 |
6, O(0,0), A(6,0) . |
1 |
|
|
|
3. Исследуем функцию на четность или нечетность: y( x) 3 
x3 6x.
Функция не обладает свойством четности или нечетно-
сти.
4. Вертикальных асимптот нет, поскольку нет ни выколотых точек, ни границ области определения. Ищем наклонные асимптоты y kx b :
|
|
|
3 |
|
x3 6x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
k lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3 |
|
1 |
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
b lim 3 |
|
|
|
|
|
|
x lim |
|
|
|
|
|
|
|
x3 6x 2 |
x 3 |
|
|
|||||||||||
|
|
x 3 6x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x3 |
|
6x 2 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
x 3 |
|
x 3 6x 2 |
x 2 |
||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
6x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
3 1 |
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Левая и правая части графика имеют наклонную асимптоту y x 2 .
5. Найдем интервалы возрастания, убывания функции,
точки экстремума. Для этого найдем производную функции y .
|
y |
3x2 12x |
|
|
|
|
x 4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
33 (x3 6x2 )2 |
3 x(x 6)2 |
|
|
|
|||||
Критическими точками |
первого рода |
|
являются |
точки |
|||||||
x 0 , x 4 , |
x 6 . При y >0 |
функция возрастает, при |
y <0 |
||||||||
убывает. Знак производной будет меняться |
в точках |
x 0 , |
|||||||||
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
||
x 4 . Таким |
образом, |
функция |
возрастает |
при |
||
x ( ,0) (4, ) , функция убывает при |
x (0,4) . В точке |
|||||
x 0 имеется |
максимум ( ymax |
y(0) 0 ), |
в точке |
x 4 – |
||
|
|
|
|
|
|
|
точка минимума ( ymin y(4) 3 |
|
32 3,2 ). |
|
|
||
6. Определим интервалы выпуклости и вогнутости гра- |
||||||
фика функции, а так же точки перегиба. Для этого найдем вторую производную
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
(x 4) |
(x 6) |
2 x 2 (x 6) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
x (x 6) 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 x |
2 |
(x 6) |
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3 x 2 (x 6) 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(x(x 6)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||
x4 (x 6)5 |
|||||
3 |
|
|
|||
Критическими точками второго рода являются точки
x 0 , x 6 . Критические точки разбивают область определения функции на три части. График функции выпуклый на интервале (6; ) , график функции вогнутый при
x ( ,0) (0,6) . Точка A(6;0) – точка перегиба графика
функции.
7. Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы 2.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
( ,0) |
0 |
(0,4) |
4 |
(4,6) |
6 |
|
(6, ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
не |
|
0 |
+ |
не |
|
+ |
y (x) |
|
|||||||
|
|
сущ. |
|
|
|
сущ. |
|
|
|
+ |
не |
+ |
|
+ |
|
|
|
y (x) |
|
|
|
|||||
|
|
сущ. |
|
|
|
|
|
|
y(x) |
возр., |
max. |
убыв., |
min. |
возр., |
точка |
|
возр. |
|
вогн. |
|
вогн. |
|
вогн. |
перег. |
|
вып. |
8. Строим график функции, нанося асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстре-
31
мума и точки перегиба графика, соединяя их плавной кривой
(рис. 2).
y
0 |
2 |
4 |
x |
y=x-2
Рис. 2
32
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. М.: Наука, 1985. Т.1. 432 с.
2.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1975. 624 с.
3.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1986. Ч.1. 304 с.
33
СОДЕРЖАНИЕ
Задача № 1………………………………………….1 Задача № 2………………………………………….3 Задача № 3………………………………………….7 Задача № 4…………………………………....…….8 Задача № 5………………………………..……….13 Задача № 6……………………………………..….14 Задача № 7…………………………………..…….16 Задача № 8…………………………………..…….17 Примеры решения заданий ….......……………….19 Библиографический список……………… …..….33
34
ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к типовому расчету “Дифференциальное исчисление функции одной переменной” дисциплины «Математика» для
студентов направления 15.03.01 «Машиностроение» (профиль «Оборудование и технология сварочного произ-
водства»)
очной формы обучения
Составители: Горбунов Валерий Викторович
Костина Татьяна Ивановна Соколова Ольга Анатольевна
В авторской редакции
Компьютерный набор В.В. Горбунова
Подписано к изданию 20.11.2015.
Уч.- изд. л. 2,1. “C“.
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
35