Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800165

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

736.38 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

15.3x2 12x 4y2 2 0 ;

16.x2 5y 2 10y 3 0 ;

17.x2 7x y 4 0 ;

18.4x2 8x y2 2 0 ;

19.x2 y2 y 9 0 ;

20.4x2 16x y 3 0 ;

21.x 2 x y 2 9 0 ;

22.x2 2y2 x y 2 0 ;

23.x2 3x y 4 0 ;

24.x2 2x y2 4 0 ;

25.2x2 4x y2 y 5 0 ;

26.3x2 4y 2 x y 5 0 ;

27.x2 x y 4 0 ;

28.x2 3y2 x 6y 1 0 ;

29.2x 3y y 2 1 0 ;

30.x 2 5x 3y 1 0 .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ

Задание 1. Найти значение многочлена p(x) x 2 2x 3

				2			1	6

от заданной матрицы A					1		0	4 .
					3		4
					3		4	3
Решение. Вычислим квадрат матрицы A2 A A :
2		1	6	2			1	6

A A	1	0	4		1	0		4
	3	4			3	4
	3	4	3		3	4		3

2 2 ( 1) 1 6 3						2 ( 1) ( 1) 0 6 4			2 6 ( 1) 4 6 ( 3)

	1 2 0 1			4 3		1		( 1) 0 0 4 4	1 6 0 4 4 ( 3)
	3 2 4 1 ( 3) 3					3 ( 1) 4 0 ( 3) 4			3 6 4 4 ( 3) ( 3)
	3 2 4 1 ( 3) 3					3 ( 1) 4 0 ( 3) 4			3 6 4 4 ( 3) ( 3)
21		22		10

14		15		6	.
	1	15		43
	1	15		43
	Найдем значение матричного выражения 2A 3Е :
	2		1		6	3		0 0

( 2)		1 0			4		0	3 0
		3 4					0	0 3
		3 4		3			0	0 3

( 2) 2 3		( 2) ( 1)	( 2) 6	1		2	12

	( 2) 1	( 2) 0 3	( 2) 4		2 3		8 .
	( 2) 3	( 2) 4			6	8	9
	( 2) 3	( 2) 4	( 2) ( 3) 3		6	8	9

Найдем значение матричного многочлена A2 2 A 3E :

	21		22	10	1		2	12	20		24	22
A2				6
	2 A 3E 14 15				+	2 3		8	= 12 18			14
		1	15	43		6	8	9		5	23	52

Задание 2. Решить матричное уравнение.

2 1			0		2		1	7	2 1			0

	2	2	3	X		1 3		2		2	3	6	.
	0	1	2			5	1	2		4	1	5
	0	1	2			5	1	2		4	1	5

Решение. Преобразуем матричное уравнение к приведенному виду

2 1			0	2 1			0	2		1	7

	2	2	3	X	2	3	6		1 3		2	, или
	0	1	2		4	1	5		5	1	2
	0	1	2		4	1	5		5	1	2

	2		1	0			0 0		7

		2	2	3			X	3 0	4	.
		0	1		2			1 0	7
		0	1		2			1 0	7
	Найдем обратную матрицу A 1 для матрицы
2			1	0

A	2		2	3		. Вычислим определитель матрицы A .
	0		1	2
	0		1	2

	2	1	0	2	2	3		2	3	0	2	2
	2	1	0

	2	2	3			2	1		2
					1	2		0	2		0	1
	0	1	2


2 2 ( 2) 1 3 1 2 ( 2) 0 3 2 ( 7) 4 10.

Для матрицы A найдем присоединенную матрицу составленную из алгебраических дополнений элементов матрицы A :

			3		2		3	2	2
	2		3		2		3	2	2
			2				2
	1		2		0		2	0	1	7		4	2
										7		4	2
~		1	0	2 0					2 1			4	2
A			2	0 2							2	4	2	.
		1	2	0 2					0 1		3	6	2
		1	0			2	0	2	1



		2	3			2	3	2	2
		2	3			2	3	2	2

A ,

Вычисляем элементы обратной матрицы:

																		7		2				3
								7 2						3
								7 2						3		10					10		10
			1		~ T		1											4		4			6
	A 1 =			A				4				4	6												.
	A 1 =			A			10	4				4	6					10		10					.
							10					2						10		10		10
									2									2		2			2
									2					2				2		2			2


																		10		10			10
	После умножения слева матричного уравнения
приведенного вида на матрицу A 1 получаем
											7			2			3
					0 0 7														0 0				7
										10				10		10
										10				10		10
									=		4			4		6
X		A 1			3 0 4						4			4		6				3 0			4			=
X		A 1			3 0 4															3 0			4			=
					1 0		7				10		10		10					1 0			7
					1 0		7				2			2		2				1 0			7


											10		10			10
		3				78
			0
		10	0			10
		10				10
		6	0			86	.

		10				10
		10				10
		8				8
			0
			0
		10				10

Задание 3. Решить систему линейных уравнений

x 2 y 3z 64x y 4z 9

3x 5 y 2 y 10

1) методом Крамера, 2) методом обратной матрицы, 3) методом Гаусса.

Решение. Решим систему методом Крамера. Вычислим главный определитель системы:

1	2	3	1 4			4	4		4 1
1	2	3
4 1		4 =1			2			3			=
3	5	2	5	2		3	2		3	5
3	5	2

1 2 20 2 8 12 3 20 3 18 8 51 41.

		Определитель								системы							41			отличен от							нуля,
следовательно, система имеет единственное решение.
			Вычисляем определители x ;																y ;			z
			2	3
	6		2	3
x	9		1	4		6 ( 18) 2 ( 22) 3 35 108 44 105 41;
	10 5			2
			6	3
		1	6	3
y		4	9	4		1 ( 22) 6 ( 4) 3 13 22 24 39 41;
		3	10		2
			2	6
		1	2	6
z		4	1	9		1 ( 35) 2 13 6 17 35 26 102 41.
		3	5 10
		Используя формулы Крамера, имеем:
		x			x		1		1 ,	y			y			1	1 , z				z			1	1.

							1									1								1
							1									1								1
		Решим систему линейных уравнений применим метод
обратной матрицы (матричный методом).
															X A 1 B
		Определитель системы:
									2	3		1		1 4			2	4 4		3			4 1			41 0
								1			=																,
								1
								4 1		4
								3	5	2				5		2		3	2				3		5
								3	5	2

следовательно, матрица системы имеет обратную матрицу. Для ее вычисления найдем алгебраические дополнения:

A	1	4	18;		A		4	4		4;	A ( 1)		1 3		4	1	17;
A			18;		A					4;	A ( 1)						17;
11	5	2			12		3	2			13				3	5
	5	2					3	2							3	5
			3			1		3				1	2
A		2	3	11;	A	1		3	7;		A	1	2	1;
21		5	2		22	3		2			23	3	5
		5	2			3		2				3	5

A	2 3		5;	A	1 3		8;	A	1 2		7.
31	1	4		32	4	4		33	4	1
	1	4			4	4			4	1
							23

				A	A	A
В результате имеем: A 1		1		11	21	31
			A12		A22	A31	.
			A12		A22	A31	.

				A13	A23	A33
				A13	A23	A33
Используя формулу	X A 1B ,				находим решение

системы

		18		11 5	6		108 99 50		41
	1					1		1
X			4	7 8	9		24 63 80		41
X	41		4	7 8	9	41	24 63 80	41	41
	41		17	1 7	10	41	102 9 70	41
			17	1 7	10		102 9 70		41

x=1; y=1; z=1.

Решим систему уравнений методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы:

11 .1

	1	2	3
	1	2	3	6

4		1	4	9	.

	3	5	2	10
			2	10
Умножаем					каждый элемент 1-й строки на(-4) и

складываем со 2-й строкой. Умножаем каждый элемент 1-й строки на(-3) и складываем с 3-й строкой. Получаем:

	1	2	3			6
	1	2	3			6

0		7	8		15 .
	0	1	7		8
	0	1	7		8
										на (	1
Умножаем					каждый			элемент 2-й	строки		1	) и
Умножаем					каждый			элемент 2-й	строки		7	) и
											7
складываем с 3-й строкой. Получаем:
		2	3			6

1
	0	7	8			15		. Последняя	строка	означает, что
	0	7	8			15		. Последняя	строка	означает, что
				41			41
	0	0
				7			7
				7			7

417 z 417 , т.е. z 1. Совершая обратный ход, из второго

уравнения	7 y 8z 15 получаем	y 1. Из первого
уравнения	x 2y 3z 6 получаем x 1.

Задание 4. Проверить, образуют ли векторы a 1;4; 5 ,

b 3; 2; 7 ,c 1; 3; 2 базис. Если образуют, то разложить вектор d 1; 6;11 по этому базису

Решение. Три вектора образуют базис в трехмерном пространстве, если эти векторы некомпланарны, т. е. выполняется условие равенства нулю их смешанного произведения. Тогда

		1	4	5
(	a b ,c)	3	2	7	17 52 35 70 0.
		1	3	2
Следовательно,			векторы a, b, c образуют базис в

пространстве.

Найдем координаты вектора d в базисе a, b, c , т.е.

вычислим коэффициенты (координаты)	,	, в векторном
равенстве d= a+ b+ c. Проецируя		данное векторное

равенство на координатные оси, получаем систему линейных уравнений относительно координат , , :

3 14 2 3 6 .

5 7 2 11

Решая систему любым из ранее перечисленных методов,

имеем 2, 1, 4.

Таким образом, вектор d в базисе векторов a, b, c выражается следующим образом: d=2a+b+4c. или d 2;1; 4 .

Задание 5. Коллинеарны ли векторы с1 и с2, построенные по векторам a={2,-7,3} и b={1,5,-8}, если c1=4a-b, c2=b+3a ?

Решение. Найдем декартовы координаты векторов с1 и

с2:

	c1= 4a-b ={ 4 2 1 ;				4 ( 7) 5	;	4 3 ( 8) }={7;-33;4}.
	c2=b+3a = {1 3 2 ; 5 3 ( 7)					;	8 3 3 }={7;-16;1}.
	Условием			колинеарности			векторов	является
пропорциональность					проекций		векторов.	Поскольку
7	33	4	, то векторы не коллинеарны.
	33		, то векторы не коллинеарны.
7	16	1

Задание 6. Найти косинус угла между векторами AB и

AC , если известны координаты точек A(4, -2, 8), B(1, -1, 0),

C(2, -7, 9).

Решение. Найдем координаты векторов AB и AC :

AB 1 4; 1 2;0 8 3;1; 8 ;

AC 2 4; 7 2;9 8 2; 5;1 .

Косинус угла между векторами

cos

x1x2 y1 y

2 z1z2

3 ( 2) 1 ( 5) ( 8) 1

x1 y1 z1

x2 y2 z2

9 1

64 4 25 1

2220

Задание 7. Вычислить площадь параллелограмма,

построенного на векторах a = p-3q и

b = 2p+q, где |p|=5,

|q|=3, (p^q)= π /6.

Решение. Площадь параллелограмма есть модуль

векторного произведения векторов a и b.

Составим векторное произведение

a b =

(p-3q) (2p+q) = 2

p p + p q -

-6

q p -3

q q = 7

p q .

Найдем модуль векторного произведения, т.е. площадь

параллелограмма:

7 |

p q | = 7 |p| |q| sin(p^q) = 7 5 3 sin / 6 = 52,5.

Задание 8. Компланарны ли векторы a={3, -3, 1}, b={-2, 0, -9}, c={1, 7, -2}?

Решение. Если вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю. Составим смешанное произведение для векторов а, b и c.

( a b ,c) =

2 0

= 3 0 63 3 4 9 14 0 =

= 189+39-14 = =214 0.

Следовательно, вектора не компланарны.

Задание 9. Даны точки A(2, 1,1),

B(5,5,4),

C(3,2, 1), и

D(4,1,3). Найти длину

отрезка

AB ,

косинус

угла

ABC ,

площадь треугольника ABC ,

длину высоты AH треугольника

ABC ,

длину медианы

AM треугольника ABC ,

координаты

точки K , делящей отрезок CD в отношении

1:2,

объем

тетраэдра ABCD .

Решение. Найдем координаты вектора AB 3,6,3 .

1) Длина вектора AB 3,6,3 совпадает с расстоянием

между точками A и A2 :

)2 ( y

9 36 9

54.

Для нахождения косинуса угла ABC

находим координаты

векторов BC 2, 3, 5

и BA

3, 6, 3 Определим косинус

угла между векторами, используя скалярное произведение:

cos φ

( 3) (

2) ( 6)

( 3) ( 3)

( 5)

9 36 9

4 9 25

Площадь треугольника ABC равна половине

площади

параллелограмма, построенного на векторах

BA 3, 6, 3

BC 2, 3, 5 .

Площадь параллелограмма

будем искать как

модуль векторного произведения векторов. Векторное произведение векторов BA и BC равно



	i	j	k
BA BC
BA BC	3	6	3	21 i	9 j	3 k .
	2	3	5


			1				531
Следовательно, S ABC			1	212 92	32		531	(кв. ед.).
Следовательно, S ABC			2	212 92	32		2	(кв. ед.).
			2				2

Длина высоты AH треугольника ABC может быть найдена по известной площади треугольника и длине основания (отрезка

BC ): AH						2S ABC								531					.


							BC							38
			Для		нахождения												длины										медианы					AM			требуется							найти
координаты середины отрезка BC , т.е. точки M :
x	M			xB xC					5 3			4 ,						y		M						yB yC					5 2		3,5			,
x			2						2			4 ,						y										2		2			3,5			,


z	M			z B zC				4 ( 1)							1,5 .
z															1,5 .
			2						2
			2						2
			Длина медианы AM равна

												AM									42 3,5 2								1,5 2
												AM									42 3,5 2								1,5 2					30,5 .
			Координаты точки K , делящие отрезок CD в отношении
		1: 2 , равны
											3		1				4																				2		1		1
			xC xD																			10							yC	yD												5
x	K		xC xD										2									10			,		y	K	yC	yD									2			5	,
x			1											1									3		,		y			1									1			3	,


											1																											1
											1			2																								1		2
										1				1			3
			zC z D																					1
z	K		zC z D											2										1	.
z			1													1							3		.

												1
												1		2
																												28

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2022713.27 Кб1Учебное пособие 800160.pdf
#
01.05.2022716.11 Кб2Учебное пособие 800161.pdf
#
01.05.2022720.09 Кб2Учебное пособие 800162.pdf
#
01.05.2022726.95 Кб1Учебное пособие 800163.pdf
#
01.05.2022732.76 Кб1Учебное пособие 800164.pdf
#
01.05.2022736.38 Кб2Учебное пособие 800165.pdf
#
01.05.2022736.39 Кб2Учебное пособие 800166.pdf
#
01.05.2022738.99 Кб3Учебное пособие 800167.pdf
#
01.05.2022751.61 Кб1Учебное пособие 800168.pdf
#
01.05.2022758.08 Кб2Учебное пособие 800169.pdf
#
01.05.2022259.96 Кб7Учебное пособие 80017.pdf

			3		2		3	2	2
	2		3		2		3	2	2
			2				2
	1		2		0		2	0	1	7		4	2
										7		4	2
~		1	0	2 0					2 1			4	2
A			2	0 2							2	4	2	.
		1	2	0 2					0 1		3	6	2
		1	0			2	0	2	1



		2	3			2	3	2	2
		2	3			2	3	2	2

			3		2		3	2	2
	2		3		2		3	2	2
			2				2
	1		2		0		2	0	1	7		4	2
										7		4	2
~		1	0	2 0					2 1			4	2
A			2	0 2							2	4	2	.
		1	2	0 2					0 1		3	6	2
		1	0			2	0	2	1



		2	3			2	3	2	2
		2	3			2	3	2	2

			3		2		3	2	2
	2		3		2		3	2	2
			2				2
	1		2		0		2	0	1	7		4	2
										7		4	2
~		1	0	2 0					2 1			4	2
A			2	0 2							2	4	2	.
		1	2	0 2					0 1		3	6	2
		1	0			2	0	2	1



		2	3			2	3	2	2
		2	3			2	3	2	2