Учебное пособие 800163

12.у 2yy ;

13.yу ( y )2 ;

14.( y 2) у 2( y )2 ;

15.xу y 4х3 ;

16.2yу 3 ( y )2 ;

17.xу y х2 cos x ;

18.xу y ln( y x ) ;

19.x3 у 4 ln х ;

20.( y 1)2 у ( y )3 ;

21.x3 ( y y) x2 2 ;

22.y 2y 2tgx ;

25.у 2yy ;

26.у y x ;

27.у 2ctgx y sin3 x ;

28.xу y ln yx ;

29.у ln x ;

30.xу y .

9

3) Найдем экстремум функции.

Необходимое условие экстремума.

Если функция z= f(x,y) дифференцируема в точке М0(x0,y0) и имеет в этой точке экстремум, то

Достаточное условие экстремума.

Пусть функция z= f(х, у) имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки М0 (х0 ,у0), а в самой точке М0

Тогда:

1.Если число = AC B2 >0, то в точке М0 (х0 ,у0) функция f(х, у) имеет экстремум, а именно максимум, если А < 0 и минимум, если А > 0.

2.Если число = AC B2 <0, то в точке М0 (х0 ,у0) экстремума нет.

3.Если число = AC B2 =0, то признак не применим.

12

При делении на x2 ( y 1) , могли быть потеряны решения х = 0

иу = 1. Очевидно, у = 1 – решение уравнения (3), а х =0 – нет.

2)Решить уравнение (1 x) ydx (1 y)xdy 0.

Решение. Разделяя переменные, имеем

Последнее соотношение есть общий интеграл уравнения.

называется однородным дифференциальным уравнением отно-

сительно х и у, если функция f (x, y) - однородная функция нулевого порядка относительно х и у, то есть f( x, y) = f (x,y).

Для решения такого уравнения делается подстановка u xy ,

т.е. y =ux.

14

Справа в заданном уравнении стоит однородная функция нулевого порядка, следовательно, имеем однородное уравне-

Подставляя y/x=u, получим общий интеграл исходного уравнения:

Задание 4. Найти частное решение дифференциального уравнения y ytgx cos2 x , удовлетворяющее начальному ус-

ловию у(0) =1.

Решение. Линейным уравнением первого порядка назы-

вается уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

dydx P(x) y Q(x) ,

где P(x) и Q(x) - заданные непрерывные функции или посто-

янные.

Решение линейного уравнения ищем в виде произведения двух функций от х: у= u(x) v(x) . Тогда dydx u dvdx v dudx .

15

Сгруппируем слагаемые с u, вынося u за скобку:

Умножив u на v, получим общее решение y cos x(sin x c) .

Используя начальное условие у(0) =1, подставляя его в общее решение, имеем 1= сos0 (sin0 +C), откуда С=1. Искомое частное решение будет иметь вид

y cos x(sin x 1) .

Задание 5. Найти решение задачи Коши (частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее началь-

ному условию) y y / x x2 y4 , если у(1) =1. Решение. Уравнение Бернулли имеет вид

циальное уравнение первого порядка.

16

dqdx f (x, q) относительно неизвестной функции q (x). Проин-

тегрировав это уравнение, находим его общее решение q = q

(х, С1), а затем из соотношения dydx q получаем общий инте-

грал исходного уравнения y q(x, C1 )dx C2 .

Итак, полагая y q , преобразуем решаемое нами уравнение к виду