Учебное пособие 800119

5. СВЁРТКА

Задача 5.1 Импульсная характеристика системы, h[n], задана своими дискретными отсчётами: 1, 2, 2, 1, 0, –1, 0, 0, взятыми в точках с индексами 0..7. Вычислите реакции данной системы на следующие входные воздействия.

а. 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0;

б. –3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0;

в. 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0; г. 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0;

д. 3, 0,–1, 0, 0, 2, 0, 0, 0; е. 2,–1, 0, 0, 1, 0,–1, 0, 0.

Задача 5.2 Добавление нулевых отсчётов к сигналу — широко распространённая в ЦОС операция, получившая название «дополнение нулями». Ответьте на приведённые ниже вопросы, пользуясь полученными в предыдущей задаче результатами.

а. Как изменятся полученные выходные сигналы, если к концу импульсной характеристики добавить 5 нулевых отсчётов?

б. Как изменятся полученные выходные сигналы, если к концу каждой входной последовательности добавить 5 нулевых отсчётов?

в. Как изменятся полученные выходные сигналы, если 5 нулевых отсчётов добавить как к концу импульсной характеристики, так и к концу каждой входной последовательности?

г. Завершите приведённое здесь утверждение, выражающее влияние операции «дополнение нулями» на результат свёртки в общем виде: «Единственным изменением выходной последовательности, вызванным операцией дополнения M нулями входной последовательности или импульсной характеристики фильтра, является [впишите окончание утверждения]».

19

Задача 5.3 Два сигнала, x[n] и h[n], заданы своими дискретными отсчётами:

x[n]: 1, 0, 2, 3, 2, 1,–1,–2,–1, 0, 2, 3, 3, 2, 1, 1 (индексы 0…15),

h[n]: 1, 2, 3,–3,–2,–1 (индексы 0…5).

Считая, что y[n] = x[n] * h[n], и используя алгоритм, соответствующий описанию свёртки со стороны входа системы, определите вклад в отсчёты выходного сигнала y[n] следующих отсчётов входного сигнала:

а. x[2]; б. x[6]; в. x[9].

Задача 5.4 Воспользовавшись исходными данными предыдущей задачи, но используя алгоритм, рассматривающий свёртку со стороны выхода, рассчитайте следующие отсчёты выходного сигнала:

а. y[8]; б. y[10]; в. y[3]; г. y[18].

Задача 5.5 Два сигнала, a[n] и b[n], заданы своими дискретными отсчётами:

a[n]: 1, 0, 0, 2, 1, 0; b[n]: 0,–1,–2, 0, 0, 1.

а. Вычислите a[n]*b[n], применив сначала импульсную декомпозицию a[n], затем свёртку каждого полученного компонента разложения с последовательностью b[n], а затем син-

20

тез (сложение) полученных компонент результирующего сигнала.

б. Вычислите a[n]*b[n], применив сначала импульсную декомпозицию b[n], затем свёртку каждого полученного компонента с последовательностью a[n], а затем синтез (сложение) полученных компонент результирующего сигнала.

в. Одинаковыми ли получились результаты в рассмотренных выше случаях? Какое свойство демонстрируется в данной задаче?

Задача 5.6 Вычислите свёртку последовательности: h[n] = 1, 2, 3, 0, 0 с приведёнными ниже сигналами (предполагается, что область определения каждого из сигналов ограничена отсчётами с индексами 0…7).

а. x[n] = «дельта-функция»[n];

б. x[n] = –5 «дельта-функция»[n – 2];

в. x[n] = 2 «дельта-функция»[n + 1] — «дельтафункция» [n + 1];

г. x[n] = 1, 2, 3, 0, 0 …

д. x[n] = –n, при 0 <n< 5; = 0 в любом другом случае;

е. x[n] = 2–n;

ж. x[n] = sin(2πn); з. x[n] = cos(2πn); и. x[n] = sin(πn).

Задача 5.7 Вычислите результат свёртки следующих пар сигналов (ответ представьте в форме математического уравнения).

а. h[n] = «дельта-функция»[n], x[n] = «дельтафункция»[n];

б. h[n] = «дельта-функция»[n], x[n] = «дельтафункция»[n – k];

в. h[n] = «дельта-функция»[n – 2], x[n] = «дельтафункция»[n – 1] + «дельта-функция»[n + 4];

21

д. h[n] = «дельта-функция»[n], x[n] = exp(–n); е. h[n] = «дельта-функция»[n + 2], x[n] = exp(n);

ж. h[n] = «дельта-функция»[n – 2], x[n] = exp(–n); з. h[n] = exp(–n), x[n] = «дельта-функция»[n – 2];

и. h[n] = «дельта-функция»[n] — «дельта-функция»[n – 1], x[n] = exp(–n).

Задача 5.8 Финансовый эксперт ежедневно следит за курсом акций. Каждый день он рассчитывает среднее значение курса за последние 30 дней. Если работу по усреднению курса акций отождествлять с работой некоторой системы, то:

а. Что является входом и выходом такой системы? б. Линейна ли данная система?

в. Какой вид имеет импульсная характеристика?

г. Для решения каких практических задач используется данная система?

д. Какой вид приобретает импульсная характеристика в общем случае, когда для усреднения используется M дней?

Задача 5.9 Пусть все отсчёты сигнала x[n], лежащие за пределами отрезка A ≤ n ≤ B, равны нулю, пусть также все отсчёты сигнала h[n], лежащие за пределами отрезка C ≤ n ≤D, равны нулю. Тогда должны быть равны нулю все отсчёты сигнала x[n]*h[n], лежащие за пределами некоторого интервала E ≤n ≤ F. Установите взаимосвязь E и F с величинами A, B, C, D.

Задача 5.10 Два сигнала, a[n] и b[n], заданы 6 дискретными отсчётами, как показано ниже. Вычислите a[n] * b[n] для приведённых далее условий.

a[n]: 1, 0, 0, 2, 1, 0. b[n]: 0, –1, –2, 0, 0, 1.

22

а. Области определения обоих сигналов совпадают:

0…5.

б. Области определения обоих сигналов совпадают:

2…7.

в. Сигнал a[n] задан на множестве 0…5, а сигнал b[n] задан на множестве –3…2.

г. Сигнал a[n] задан на множестве –10…–5, а сигнал b[n] задан на множестве –5…0.

5.1. Свойства свёртки

Задача 5.11 Разделите следующие сигналы на каузальные и некаузальные.

[n – 4] + «дельта-функция»[n – 7];

ж. x[n] = exp(–n);

з. x[n] = exp(–abs(n)) (где "abs" — абсолютное значе-

ние);

и. x[n] = abs(n);

к. x[n] = n + abs(n).

23

Задача 5.12 Разделите сигналы из предыдущей задачи на сигналы с нулевой, линейной и нелинейной фазой.

Задача 5.13 Три линейные системы заданы своими импульсными характеристиками. Вычислите импульсные характеристики приведённых далее комбинаций этих систем.

система A: 3, 2, 1, 0; система B: 0, 1,–1, 0; система C: 1, 1, 1, 1.

а. Параллельное соединение систем A и B.

б. Параллельное соединение систем A, B и C.

в. Последовательное соединение систем A и B.

г. Последовательное соединение систем B и A.

д. Последовательное соединение систем A и B, включённое параллельно системе C.

Задача 5.14 Система A является «всепропускающей», т. е. любой входной сигнал проходит на выход системы без изменений. В качестве системы B выбран «идеальный» низкочастотный фильтр, пропускающий без искажения (и без задержки) все частоты ниже частоты среза и подавляющий всё более высокие частоты. Изобразите примерный вид импульсной характеристики b[n] системы B.

а. Как выглядит импульсная характеристика системы

A?

б. Как следует изменить форму импульсной характеристики системы B, чтобы сигнал на выходе получился инвертированным (т.е. меняется только арифметический знак выходного сигнала)?

в. Как выглядит импульсная характеристика параллельного соединения двух заданных систем, если выходные сигналы систем складываются?

24

г. Как выглядит импульсная характеристика параллельного соединения двух заданных систем, если выход системы B вычитается из выхода системы A?

д. К какому типу фильтров относится система, полученная в пункте г)?

е. Опишите алгоритм перехода от низкочастотного фильтра (НЧ-фильтра) к высокочастотному (ВЧ-фильтру).

ж. Опишите алгоритм перехода от ВЧ-фильтра к НЧфильтру. Отличается ли данный алгоритм от описанного в предыдущем пункте?

з. В данной задаче система B имеет «идеальную» характеристику и не вносит искажений в пропускаемые фильтром частоты. Как изменится алгоритм, описанный в пункте з), если сигнал на выходе НЧ-фильтра будет появляться с небольшой задержкой относительно входного сигнала?

Задача 5.15 Из раздела математики, посвящённого интегральному и дифференциальному исчислению, известно, что операции интегрирования и дифференцирования являются взаимно обратными: можно сказать, что одна компенсирует действие другой. Докажите, что первая разность и дискретное интегрирование (суммирование с нарастающим итогом) также являются взаимно обратными операциями, т. е. последовательное выполнение этих операций эквивалентно использованию фильтра с импульсной характеристикой, описываемой дельта-функцией.

Задача 5.16 Аудиосигнал, отражаясь от стен комнаты, порождает эхо-сигналы, которые позволяют слушателю «ощутить» ограниченность размеров помещения. В данной задаче предполагается, что частота дискретизации аудиосигнала равна 44 кГц, скорость распространения звука равна 332 м/с. Расстояние от человека до стен в «маленькой» комнате составляет приблизительно 3 м, а в «большой» комнате — приблизительно 10 м.

25

а. Чему равна задержка между голосом человека и его эхом, отражённым от стен помещения, возникающая в «маленькой» комнате.

б. Скольким отсчётам цифрового сигнала соответствует такая задержка?

в. Как выглядит импульсная характеристика цифровой системы, моделирующей действие такого эхо-сигнала, если амплитуда эха составляет 20% от амплитуды сигнала?

г. Повторите пункты а)…в) для «большой» комнаты.

д. В реальной акустической обстановке каждый эхосигнал порождает вторичный эхо-сигнал. То есть один и тот же сигнал будет слышаться снова и снова, каждый раз со всё меньшей амплитудой. Как должна измениться импульсная характеристика моделирующей системы, построенная в пункте в), чтобы учесть все возникающие переотражения?

Контрольные вопросы

1.Как определяется длина свертки через длины входных последовательностей.

2.В чем отличие линейной и круговой свертки?

3.Каким образом можно вычислить линейную свертку

спомощью круговой.

4.Что такое метод быстрой свертки.

5.Каким образом вычисляется выходной сигнал системы с известной импульсной характеристикой?

6.Каким образом задается дельта функция для дискретных сигналов?

7.С какой целью применяется секционированная сверт-

ка?

26

6. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Задача 6.1 Гармонический сигнал с частотой 1.7 кГц подвергается дискретизации с частотой 10000 отсчётов в секунду. Затем применяется ДПФ 2048-го порядка, а результат записывается в полярной форме. Изобразите графически зависимость амплитуды от частоты для всех четырёх форм частотного описания сигналов. Убедитесь, что вы правильно указали переменную частоты, границы диапазона и единицы измерения, а также верно зафиксировали частоту, на которой присутствует синусоидальная компонента.

Задача 6.2 Пик в спектре сигнала, полученном в результате ДПФ 256-го порядка, соответствует отсчёту номер 19.

а. Чему равно значение относительной частоты этого пика (вычисленное по отношению к частоте дискретизации)? Нужно ли для ответа на данный вопрос знать абсолютное значение частоты дискретизации?

б. Чему равно значение абсолютной частоты пика?

в. Чему равна частота дискретизации, если пик соответствует частоте 21.5 кГц в аналоговом сигнале?

г. Чему равна частота соответствующего пику гармонического сигнала, если частота дискретизации равна 100 кГц?

Задача 6.3 Рассчитайте и схематически изобразите базисные функции ДПФ 8-го порядка.

Задача 6.4 Дискретный сигнал задан 8 отсчётами: 20…27. В частотной области его можно описать действительными и мнимыми компонентами: R0…R4 и I0…I4. Запишите уравнения, связывающие частотную и временную области. Определите численные значения для всех базисных компонент, т. е. вместо sin(π/4) следует записать 0.7071. Насколько сложными для решения представляются данные уравнения?

27

Задача 6.5 Опираясь на результаты, полученные в предыдущей задаче, запишите 10 уравнений, позволяющих вычислить 10 отсчётов спектра сигнала на основе корреляционного метода. Найдите решения этих уравнений.

Задача 6.6 Сигнал задан в частотной области следующими массивами отсчётов:

действительная часть: 1, 2, 3, 3, 1,–2,–1, 1, 2;

мнимая часть: 0,–1,–2, 0, 0, 0, 2, 1, 0.

а. ДПФ какого порядка соответствует данному сигналу? б. Рассчитайте амплитуды синусоид и косинусоид, из

которых составляется временная форма описания сигнала.

в. Чему равно среднее значение сигнала во временной области?

Задача 6.7 Вам говорят, что следующие два массива отсчётов являются частотной формой описания некоторого сигнала, полученной в результате ДПФ 32-го порядка. Приведите два аргумента, опровергающих это утверждение.

действительная часть: 1,2,3,4,5,6,7,8,7,6,5,4,3,2,1,0; мнимая часть: 8,7,6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6,7.

Задача 6.8 Выполните переход от действительной и мнимой координат, заданных ниже, к полярным координатам. Отобразите соответствующие точки на диаграмме аналогично рис. 2.

28