Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1263 вуза, 4625 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Воронежский государственный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Учебное пособие 800115

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2022
Размер:
520.46 Кб
Скачать
☆

Задание 6. 1) Найти общее решение уравнения xy y ln(y / x) .

Решение. Перед нами уравнение вида d 2 y f ( x, dy ) , dx2 dx

которое не содержит явным образом искомой функции у.

Обозначим производную

dy

через q,

положим

 

dy

q .

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

dx

Тогда

d 2 y

 

dq

. Подставляя эти

выражения производных в

dx 2

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

исходное

уравнение, получим уравнение

первого

порядка

dqdx f (x, q) относительно неизвестной функции q (x). Проин-

тегрировав это уравнение, находим его общее решение q = q

(х, С1), а затем из соотношения

dy

q получаем общий инте-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

грал исходного уравнения y q(x, C1 )dx C2 .

Итак, полагая

 

 

y q , преобразуем решаемое нами урав-

нение к виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xq q ln(q / x) или q (q / x) ln(q / x) .

Это однородное уравнение первого порядка. Полагая q/x

= u, откуда q = zx, q

 

 

 

 

 

 

u x u , получим уравнение

u x u u ln u или

 

 

du

x u(ln u 1) , разделяя переменные,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

получим

du

 

x

dx

.

u(ln u 1)

 

 

 

 

 

 

 

x

Интегрируя полученное уравнение, находим

ln(ln u 1)

ln x ln C

или ln u 1 xC , откуда u e1 C1x , воз-

 

 

 

 

 

1

1

вращаясь к переменной у, приходим к уравнению y xe1 C1x .

19

Следовательно,

y

 

xe1 C1x dx. Применяя интегрирование по

частям, получим y

 

xe1 C1x dx

1

xe1 C1x

 

1

e1 C1x C

 

.

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

C1

 

C 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2) Найти общее решение уравнения 3y y 5 / 3 .

 

 

 

 

Решение.

Перед нами

теперь

уравнение вида

 

d 2 y

f ( y,

dy

) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которое не содержит явным образом независимую переменную

х.

Положим dydx p , но будем считать р функцией от у. То-

гда d 2 y dp dp dy dp p. Подставляя эти выражения произ- dx2 dx dy dx dy

водных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции р

p dp f ( y, p) . dy

Интегрируя его, найдем р как функцию от у и произвольной постоянной С1: р=р (у, С1). Тогда, делая обратную замену,

имеем

 

dy

 

р (у, С1). Разделяя переменные, находим

 

dx

 

 

 

 

 

 

dy

dx. .

 

 

 

 

 

p( y, C1 )

 

Интегрируя это уравнение, получим искомое общее решение дифференциального уравнения.

20

Переходя к нашему уравнению положим dydx p , считая р функцией от у. Тогда y dpdy p. Подставляя эти выражения

производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции р

3p dp y 5 / 3 . dy

Разделим переменные

pdp

1

y 5 / 3dy . Интегрируя это уравне-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2 / 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ние, находим p 2

C

или

p C

 

y 2 / 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Но

 

p

 

dy

,

следовательно,

для определения у получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

или

 

 

 

 

 

y1/ 3dy

 

 

 

 

dx , откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C y 2 / 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C y 2 / 3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x C2

 

 

 

 

 

 

 

 

y1/ 3dy

 

 

 

. Для вычисления последнего интеграла

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C y 2 / 3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сделаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

подстановку

 

 

 

 

 

 

C y 2 / 3 1 t 2 .

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1/ 3 (t 2

1)1/ 2

 

 

1

 

. Продифференцируем это равенство

 

 

 

 

 

C1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

y

2 / 3dy

 

1

(t 2 1) 1/ 2 2t

 

 

 

1

 

dt ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C11/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy 3t(t 2 1)1/ 2 2t

 

1

 

 

 

 

dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C 3 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

y1/ 3dy

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3t(t 2

1)dt

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

C y 2 / 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

t 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C y 2 / 3 1(C y 2 / 3

2) .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательно получим

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x C

2

 

 

C y 2 / 3

1(C y 2 / 3

2).

 

 

 

C 2

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Задание 7. 1) Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям

y 7 y 6y (x 2)ex , у(0) =0, y 0 0 .

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Общее решение будет иметь вид

y y y ,

 

 

 

y - частное

где y - общее решение однородного уравнения,

решение неоднородного уравнения.

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y 7 y 6y 0. Для этого составим характеристи-

ческое уравнение и найдем его корни

k 2 7k 6 0,

k

1

6,

k

2

1.

 

 

 

 

 

Поскольку корни действительные и разные, то общее реше-

ние

соответствующего

однородного

уравнения

 

 

C e6x C

 

e x .

 

 

 

y

2

 

 

1

 

 

 

 

Правая часть данного неоднородного уравнения (x 2)e x имеет вид P1 (x)e1x . Так как коэффициент 1 в показателе степени является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме y x( Ax B)e x .

Подставляя это выражение, а также его первую и вторую производные в заданное уравнение, будем иметь

[(Ax 2 Bx) (4Ax 2B) 2A 7(Ax 2 Bx)

7(2Ax B) 6(Ax 2 Bx)]ex (x 2)ex или

( 10Ax 5B 2A)ex (x 2)ex.

Сокращая на e x и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим

22

x1

10A 1

 

, откуда

A 1/ 10,

B 9 / 25.

 

 

 

x0

5B 2A 2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

9

 

x

 

но, частное решение будет

y

 

x

 

 

 

 

x

 

e

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

25

 

 

 

Общее решение y y y будет

y C1e

6 x

C2 e

x

 

 

1

 

x

9

 

 

 

+ x

 

 

 

 

e

 

 

10

25

 

 

 

 

 

 

 

 

Следователь-

x .

 

Найдем

 

 

 

 

производную

 

 

 

от

 

 

 

общего

 

 

 

 

решения

y

 

 

 

 

6 x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

9

 

x

 

 

 

 

 

1

 

 

 

9

 

 

x

 

 

 

6C1e

 

 

 

C2 e

 

 

+

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

e

 

x

 

 

 

 

x

 

 

e

 

 

 

 

и соста-

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

вим систему уравнений, подставляя в y и

 

y

начальные усло-

вия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C C

 

 

0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

Решая систему уравнений,

получаем

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6C1

 

 

 

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

9

 

 

, C

 

 

 

 

 

9

 

 

. Тогда частное решение заданного диф-

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

125

 

 

 

 

 

125

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ференциального уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

9

 

6 x

 

 

9

 

 

x

 

 

 

1

 

 

 

9

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

e

 

+ x

 

 

x

 

 

e

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

125

 

 

 

125

 

 

 

 

 

10

 

 

25

 

 

 

 

2) Найти общее решение линейного неоднородного урав-

нения

 

 

y y 3e2x cos x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Общее решение будет иметь вид

 

y

 

y .

 

 

y

 

Найдем общее решение соответствующего однородного

уравнения y y 0.

 

Составим характеристическое уравнение

и найдем его корни

 

 

 

k 2 1 0,

 

 

 

k

1

1,

 

k

2

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда общее решение соответствующего однородного урав-

нения

 

C e x

C

 

e x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правая часть данного неоднородного уравнения имеет

вид

f(x) e x (M cos x N sin x) ,

вданном случае 2, 1, M 3, N 0 .Так как число

+ i =2 + i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в форме

y e2x ( Acos x B sin x),

где А и В – постоянные коэффициенты, подлежащие определению.

Найдем производные y :

y 2e2x ( Acos x B sin x) e2x ( Asin x B cos x),

y 4e 2 x ( A cos x B sin x) 4e2 x ( Asin x B cos x)e 2 x ( A cos x B sin x).

Подставляя выражения y и производных в заданное уравнение, получим после приведения подобных членов

(2A 4B)e2x cos x ( 4A 2B)e2x sin x 3e2x cos x.

 

 

 

 

Сокращая на e 2 x

и приравнивая коэффициенты при cos x

и sin x , получим два уравнения для определения А и В:

cos x

 

 

2A 4B 3

 

 

 

 

 

 

 

3 / 10,

B 3 / 5. Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, откуда A

sin x

 

 

4A 2B 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

2 x

3

 

cos x

3

 

 

 

частное решение y

 

 

 

 

 

 

 

sin x .

Общее решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

5

 

 

 

 

y

 

y будет иметь вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

y C e x C

2

e2 x

 

 

cos x

 

 

 

sin x .

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов / Н.С. Пискунов. М.: Наука, 1985. Т.1. 432 с.

2.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. М.: Наука, 1975. 624 с.

3.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для втузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. М.: Высш. шк., 1986. Ч. 2.

4.Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. пособие / В.С. Шипачев. М.: Высш. шк., 2007. 479 с.

5.Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие / В.С. Шипачев. М.: Высш. Шк., 2007. 304 с.

25

СОДЕРЖАНИЕ

Задание № 1……………………………………………….1 Задание № 2……………………………………………….2 Задание № 3……………………………………………….3 Задание № 4…………………………………………….…5 Задание № 5…………………………………………….....7 Задание № 6……………………………………………..…8 Задание № 7……………………………………………....10 Примеры решения заданий ……………………………...11 Библиографический список…………………………...…25

26

ЗАДАНИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к типовому расчету “Дифференциальное исчисление функции нескольких пере-

менных и обыкновенные дифференциальные уравнения” для студентов направления 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств»

очной формы обучения

Составители: Горбунов Валерий Викторович Соколова Ольга Анатольевна

В авторской редакции Компьютерный набор О.А. Соколовой

Подписано к изданию 28.11.2014

.

Уч.- изд. л. 1,6. “C”

 

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности