ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»

В.И. Николаев А.С. Ряховский

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОТКРЫТЫХ РЕЗОНАТОРНО-ВОЗБУЖДАЕМЫХ АНТЕНН

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2013

d=0.1875λ

УДК 621.396.67

Николаев В.И. Электродинамические характеристики открытых резонаторно-возбуждаемых антенн: учеб. пособие / В.И. Николаев, А.С. Ряховский. Воронеж: ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2013. 76 с.

В учебном пособии рассматриваются методы создания пространственно-ориентированного излучения на основе цилиндрического резонатора с открытой боковой стенкой, возбуждаемого электрическим вибратором, а также метод разделительного экрана, размещённого в вертикальной плоскости симметрии внутри резонатора. Дано теоретическое обоснование принципа работы такой антенны и пути совершенствования её характеристик.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 210601 «Радиоэлектронные системы и комплексы», дисциплине «Устройства СВЧ и антенны».

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2003 и содержится в файле «AntRez.doc».

Ил. 47. Библиогр.: 3 назв.

Научный редактор д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.С. Балашов

Рецензенты: ОАО «Концерн «Созвездие»

(начальник отдела канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник А.Б. Крачковский);

д-р техн. наук, проф. Ю.Г. Пастернак

© Николаев В.И., Ряховский А.С., 2013

© Оформление. ФГБОУ ВПО

«Воронежский государственный

технический университет», 2013

Рис. 3.20. Диаграмма направленности антенного устройства с разделительным экраном

ПРЕДИСЛОВИЕ

Инженеру, деятельность которого тесно связана с проблемами создания новых средств связи, очень важно в процессе обучения получить представление о важности применения направленного излучения как мощного средства увеличения энергетики радиолиний, повышения помехозащищённости радиосредств и их электромагнитной совместимости, знать и понимать методы создания направленного излучения, не только классические, но и вновь предлагаемые, такие как метод возбуждения незамкнутого цилиндрического резонатора электрическим вибратором и метод разделительного экрана.

ВВЕДЕНИЕ

Рубеж XX и XXI столетий характеризуется качественным совершенствованием и созданием новых систем и средств связи как военного, так и гражданского назначения. Одновременно значительно увеличены финансовые потоки, направляемые в информатику и связь.

Эта тенденция является отражением происходящего в мире информационного бума: временной цикл удвоения накопленной информации сократился в десять раз по сравнению с началом XX столетия и на настоящий момент составляет один год. Для хранения, переработки и перераспределения таких массивов информации идет непрерывный процесс перекачки трудовых и финансовых ресурсов из сферы материального производства в информационную сферу. Так, сегодня доля средств, направляемых на инфотелекоммуникационные технологии, в валовом национальном продукте США превысила 10% и уже опережает все другие отрасли промышленности, в том числе до этого доминирующую автомобильную.

Основными тенденциями развития современных систем управления и связи являются: интеграция информационных и телекоммуникационных устройств и систем в единые инфокоммуникационные системы на основе «программно-определяемого продукта»; сращивание военных и гражданских технологий в рамках концепции GMM (Global, Multimtdia, Mobility); повышение скоростей передачи информации до 155 Мбит/сек; освоение частотного диапазона до 60 ГГц; освоение новых технологий и стандартов, в том числе Wi-Fi (стандарт IEEE 802.11), Wi-Max (стандарты LTE, IEEE 802.16m), реализуемых на основе технологии OFDMA; дальнейшее повышение помехозащищенности, в том числе за счет применения технологии OCDMA и гибридных технологий (CHESS), а также использования адаптивных антенных технологий SMART, MI-MO.

Подвижная связь в России на сегодняшний день относится к одной из наиболее динамично развивающихся отраслей экономики. Крупные операторы подвижной связи по прибыльности уступают лишь нефтегазодобывающим компаниям.

Общее число абонентов подвижной связи на конец сентября 2010 г. составило 216,5 млн. При этом количество проданных SIM-карт, начиная с 2005 г., вдвое превосходит реальное количество абонентов, что говорит, с одной стороны, о растущей доступности услуг связи, с другой – о стремлении абонентов получить более качественные услуги связи.

Количество проданных SIM-карт

Реальное количество абонентов

Рис. 1. Динамика роста абонентской базы сетей подвижной связи России

Как видно из рис. 1, темпы роста рынка подвижной связи в течение последних нескольких лет испытывают замедление. Наиболее эффективным в этих условиях инструментом сохранения за собой рынка услуг связи, привлечения и удержания абонентов, а также увеличения доходов операторов подвижной связи является повышение качества услуг и расширение пакета услуг беспроводной скоростной передачи данных. Это возможно при переходе от систем сотовой связи 2-го и 3-го поколений к системам 4-го поколения. Анализ теории построения систем подвижной связи и проведённые расчёты основных экономических показателей говорят об экономической перспективности такого перехода: потенциальный доход в период эксплуатации от оказания услуг связи, как минимум в 15 раз превосходит возможные издержки на строительство новых сетей.

При этом роль правильного частотно-территориального планирования, включая использование секторных ячеек (и, как следствие, использование направленных и "умных" антенн), для систем 4G резко возрастает. В сетях нового поколения, в отличие от систем GSM, такие ошибки, как неоптимальный частотно-территориальный план, неправильная конфигурация сайтов, неправильный выбор антенн, будут носить критический характер. Качество предоставляемых услуг будет несоизмеримо ниже по сравнению с теми операторами, которые используют свои сетевые ресурсы оптимально.

Одним из способов повышения ёмкости сотовых систем является уменьшение размера кластера. Но с развитием сотовой связи ресурс уменьшения размера кластеров, в которых используется круговая диаграмма направленности антенных устройств базовых станций, подошёл уже к своему физическому пределу ~ 500 м. Поэтому, в зависимости от плотности абонентов на данной обслуживаемой территории, востребованы секторные сотовые ячейки 3х120º, 4х90º, 6х60 º и т.д. Соответствующие требования предъявляются и к антеннам базовых станций.

Эффективность таких пространственно-ориентированных антенн для систем сотовой связи в части повышения ёмкости трафика и снижения уровня интерференционных помех подтверждается широкой практикой использования таких антенн на базовых станциях (БС). Так, в однородных сотовых структурах переход от антенн с круговой ДН на многосекторные антенны с угловым раскрывом в азимутальной плоскости в 120º (3-х секторная система) и 60º (6-тисекторная система) обеспечивает повышение ёмкости трафика в 3 – 6 раз и приводит к снижению интерференционных помех в семикластерной структуре соответственно на 10 и 15 дБ.

С целью оптимизации сотовой структуры и снижения финансовых затрат при её развёртывании в реальных системах сотовой связи в зонах с повышенным трафиком (обычно, центральная деловая часть города) на БС используются многосекторные антенны, на периферии находят применение антенны БС с круговой ДН

Кроме того, для протяжённых населённых пунктов, расположенных, например, по берегам рек, вдоль железных и автомобильных дорог, оптимальными будут не только секторные диаграммы направленности антенн БС, но и двухсекторные с противоположным направлением излучения или под углом друг к другу, в зависимости от распределения абонентов.

Двухсекторные антенны применимы также для радиосредств, работающих в режиме ретрансляции.

При этом, для повышения энергетики каналов связи, независимо от формы ДН антенн БС в горизонтальной плоскости (от секторной или круговой), есть одно общее требование: диаграмма направленности антенн БС в вертикальной плоскости не должна быть слишком широкой, т.е. должна иметь угловой раскрыв порядка 15º - 25º.

Вопрос повышения помехозащищённости радиосредств является важным при организации связи.

Известные классические методы повышения помехозащищенности систем связи, основанные на применении адаптивных и широкополосных сигналов (АС и ШПС), а также псевдослучайной перестройки рабочей частоты (ППРЧ) на сегодняшний день достаточно хорошо и полно исследованы. Являясь, по своей сути, активными методами, они требуют соответствующей аппаратной реализации на приемной и передающей сторонах радиоканала.

Большие, и в значительной степени недостаточно исследованные возможности и нереализованные резервы повышения помехозащищённости, заключены в пассивных методах, в основе которых лежит использование направленных свойств антенных устройств на приёмном или (и) передающем концах радиолинии.

К таким пассивным методам относятся: формирование оптимальных пространственно-ориентированных диаграмм направленности (ДН) адекватно конфигурации размещения объектов связи на местности; использование управления лучом ДН в фазированных антенных решётках (ФАР); реализация на основе цифровых антенных решёток (ЦАР) интеллектуальных антенн, получивших за рубежом наименование «Smart» («умных») антенн, максимизирующих отношение сигнал/помеха при приёме путём перенацеливания цифровых приёмных лучей на необходимых абонентов и подавления «чужих» сигналов как помеховых.

Основные преимущества ЦАР перед ФАР обусловлены большой разрядностью применяемых цифровых преобразователей в ЦАР, что позволяет с большей точностью определять угловые координаты абонентов, а также формировать более глубокие провалы в ДН ЦАР в направлении источников помех. Хотя теоретические основы построения таких антенных систем были заложены ещё в 60-х годах, в том числе в работах В.А. Варюхина, практическая реализация стала возможной только на рубеже столетий с появлением высокопроизводительной техники цифровой обработки сигналов, в том числе сигнальных процессоров (DSP), программируемых матриц логических элементов (FPGA) и аналогово-цифровых (цифроаналоговых) преобразователей (АЦП и ЦАП), интегрированных в едином чипе. Вместе с тем, следует отметить, что реализация и широкое применение Smart-антенн пока содержит больше авансов на перспективу, нежели отражает реальное положение вещей. Поэтому их применение на сегодня прогнозируется (и уже имеются практические реализации), в основном, в системах мобильной связи 4-го поколения, в том числе, выполненных по технологиям OFDMA по стандарту LTE и OCDMA.

В качестве пространственно-ориентированных антенных устройств ВЧ и СВЧ диапазонов в современных системах связи находят применение все известные на сегодня типы направленных антенн: волновой канал; логопериодическая антенна; спиральная антенна осевого излучения; рупорные антенны (пирамидальный и сектороидальный рупоры); зеркальные антенны (уголковая, параболическая, Кассегрена и др.); антенны поверхностной волны, в том числе диэлектрические стержневые антенны; щелевые антенны и др., а также антенные решётки (АР) из вышеназванных излучателей.

На российском рынке оборудования мобильной связи представлены антенны многих компаний-производителей: Andrew, Antenex, Allgon, Cushcraft, Decibell, CelWave, TeleWave, Huber&Sunner, Katrein, НПК "Антенна XXI" и др. Выпускаются антенны для всех стандартов мобильной связи в двух основных модификациях: всенаправленные антенны (Omni) и направленные (Panel). Общее число моделей всенаправленных антенн достигает 40, направленных - 200. Среди них антенны с механическим или электрическим наклоном; с двойной наклонной поляризацией; многодиапазонные; многовходовые антенны, которые представляют собой, по сути, независимые антенны, размещённые в одном корпусе; а также антенны специального назначения – логопериодические и параболические. Примером могут быть антенны НПК "Антенна XXI". Двунаправленная в горизонтальной плоскости антенна "Зига-1900 двунаправленная" с КУ = 8 дБ и углами раскрыва в E-плоскости 70º, в H-плоскости – 58º может использоваться там, где корреспонденты расположены в ряд по одной линии или в секторах сопряжённых углов не превышающих 60º градусов. Направленная вибраторная антенна с плоским экраном, КУ = 11 дБ и углами раскрыва в плоскостях E/H = 60º/48º. Направленная вибраторная антенна с плоским экраном, линейная решётка E-типа, КУ = 11 дБ и углами раскрыва в плоскостях E/H = 50º/30º. Или, например, панельная антенна, КУ = от 13 до 16 дБ, с решётчатым экраном для уменьшения ветровых нагрузок и кросс-поляризацией с разнесёнными фазовыми центрами для уменьшения замираний.

Однако, значительные массо-габаритные показатели, и особенно поперечные размеры указанных выше антенных структур, затрудняют возможность их размещения на антенно-мачтовых устройствах (АМУ), особенно для автоматизированных АМУ. При этом увеличивается время развёртывания АМУ из-за необходимости (обычно) ручной установки антенн и снижается ветроустойчивость АМУ из-за значительной парусности антенных структур.

Кроме того, наличие протяжённых несимметричных антенных структур приводит к снижению точности пеленгования источников радиоизлучения (ИРИ) в пеленгационных комплексах, поскольку связная антенна оказывается в электромагнитном поле пеленгационной антенны, так как обе они размещены на общей антенно-мачтовой опоре (рис. 2).

Эффективным решением затронутых проблем является создание осесимметричной направленной антенной структуры минимизированного поперечного размера

Решение поставленной задачи возможно на основе линейной коллинеарной антенной решётки на базе излучателей электрического или магнитного (щелевого) типов.

С целью укорочения линейных размеров излучателя в решётке можно применить известные в теории антенн методы укорочения линейных размеров (спираль, нагрузочные ёмкости, увеличение диаметра и т.д.).

Возможно, что наибольшего эффекта на пути миниатюризации антенн можно добиться на основе последних достижений в области фрактальных технологий. Данный термин введён в 1975 г. и основан на теории фрактальной (дробной) размерности Хаусдорфа, предложенной в 1919 г. В частности, выполненные экспериментальные исследования подтверждают возможность получения эквивалентной эффективности (по коэффициенту усиления) при снижении размеров линейного монополя (несимметричный вибратор) в 1.5 ÷ 1.8 раза в зависимости от количества итераций фрактала. Однако, отсутствие фундаментальных теоретических разработок не позволяет пока сделать вывод в пользу широкой реализации антенных устройств на основе фрактальных технологий: на сегодня известны попытки такой реализации в качестве встроенных антенн в мобильных телефонах сотовой связи и беспроводного доступа, а также в качестве автомобильной антенны, размещённой на лобовом или боковом стекле.

Построение осесимметричной направленной антенны возможно также на основе синфазной линейной решётки из щелевых излучателей, выполненных на боковой поверхности открытого резонатора прямоугольного или круглого сечения. Питание щелевых излучателей осуществляется либо полосковой линией в СВЧ диапазоне, либо последовательно-параллельным разветвителем на коаксиальных линиях в ВЧ диапазоне. Такие щелевые антенны можно рассматривать в СВЧ диапазоне как альтернативу волноводно-щелевым антеннам.

Большой вклад в теорию и практику щелевых антенн внесла советская антенная школа от первых теоретических разработок 40-х годов Неймана М.С., Пистолькорса А.А., Левина М.Л. , до инженерных приложений Вольмана И.И.. С завершением фундаментальных исследований Фельда Я.Н. теория щелевых антенн была доведена до уровня теоретических и прикладных разработок по электрическим излучателям. При этом следует признать, что решающий вклад в теорию щелевых антенн был сделан Пистолькорсом А.А., который, используя перестановочную инвариантность уравнений Максвелла, впервые сформулировал известный принцип перестановочной двойственности, устанавливающий аналогию между щелевым (магнитным) и электрическим излучателями. Одной из первых работ по антенным решёткам на основе щелевых излучателей является работа Джордана, в которой экспериментально исследована линейная цилиндрическая решётка из 4-х щелевых продольных излучателей, разнесённых друг от друга на длину волны. Дальнейшее развитие теории антенных решёток на основе щелевых излучателей нашло отражение в работах Поповкина В.И., Бахраха Л.Д., Пименова Ю.В., Маркова Г.Т., Чаплина А.Ф., Сазонова Д.М., Ямпольского В.Г. и др.

Задача возбуждения полого цилиндра линейным магнитным током конечной протяжённости (эквивалент узкой резонансной полуволновой щели, рис. 3), прорезанной вдоль цилиндра, была решена Марковым Г.Т.

Коэффициент направленного действия (КНД) такой антенны равен ~ 4 дБ.

Очевидно, что, создавая синфазную решётку из четырёх продольных магнитных вибраторов, мы можем достичь её эффективности (по коэффициенту усиления) аналогичной решётки из электрических вибраторов с рефлектором – (10 ÷ 11 дБ). При этом её диаметр на частоте 1 ГГц составит ~ 30 см, на 2 ГГц ~ 15 см. Что, в целом является приемлемым для использования такого осесимметричного излучателя для размещения на АМУ.

Трудность создания такой антенны связана с необходимостью устранения взаимного влияния магнитных излучателей, а также со схемой их питания с целью обеспечения синфазности магнитных токов и согласования антенны в целом в необходимом частотном диапазоне.

Примером попытки устранить эти проблемы является апертурная антенна СВЧ-диапазона с малыми фазовыми ошибками, у которой поле плоской конфигурации внутри коробчатого резонатора используется для непосредственного возбуждения апертуры, имеющей ту же форму, что и резонатор. Была выдвинута идея о возможности осуществить распределение поля по апертуре антенны без фазовых ошибок посредством слабой связи объёмного резонатора с апертурой антенны, имеющей те же размеры и поперечное сечение, что и резонатор. Пример конструкции такой антенны, реализованной для частоты 9800 МГц показан на рис. 4.

Размеры в направлениях x и y велики по сравнению с длиной волны, соответствующей требуемой апертуре, тогда как размер z ~ λ_g/2, где λ_g – длина волны в волноводе.

Используя волну T₁₀₁, получаем внутри резонатора на его передней стенке ток с постоянной фазой, который создаёт вне резонатора плоское синфазное поле.

Связь через переднюю пластину можно установить посредством отверстий, щелей, запредельных волноводов и т.д.

Диаграмма направленности данной антенны приведена на рис. 5.

КНД такой антенны равен ~ 20 дБ. Ширина ДН в E-плоскости равна ~ 15º, в H-плоскости ~ 14º. Важной особенностью рассмотренной конструкции является возможность изменения амплитудного распределения поля в апертуре изменением связи между элементами решётки.

Но эта антенна крайне узкополосна (единицы процентов и менее), конструкция сложна, габариты велики.

Было выдвинуто предположение о возможности построения на основе магнитного излучателя резонаторно-возбуждаемой апертурной антенны с квазисинусоидальным магнитным током по всей длине апертуры путём подбора размеров резонатора и апертуры, а также местоположения возбуждающего электрического диполя внутри резонатора.

Данный метод формирования ДН и антенные устройства на основе этих методов отличаются от традиционно применяемых в антенной технике тем, что синтез антенн по описанным выше ДН проводится не путём использования решёток источников возбуждения над рефлектором (т.е. панельных антенн) или решёток однотипных антенн, не путём использования решёток щелевых излучателей, и не путём использования громоздких рефлекторов, а путём формирования на вытянутой в одном направлении апертуре шириной ~ 0.5 λ определённого распределения магнитного тока, обеспечивающего направленное излучение, эквивалентное применению решёток.

1. Математическая модель базового варианта резонаторно-возбуждаемой антенны

Резонаторно-возбуждаемая антенна представляет собой, в общем случае, незамкнутую цилиндрическую поверхность произвольной формы с расположенным внутри резонатора источником возбуждения – электрическим вибратором (рис 1.1 а)).

Антенное устройство с резонатором в форме круговой цилиндрической поверхности называется базовым вариантом резонаторно-возбуждаемой антенны (рис. 1.1 б))

Здесь D - характерный поперечный размер антенны. Для кругового цилиндра – это диаметр.

H – высота цилиндрической поверхности.

β – угловой раскрыв излучающей поверхности (апертуры).

L – ширина излучающей поверхности.

d – расстояние от источника возбуждения (электрического вибратора) до задней стенки резонатора.

При определённых соотношениях между высотой, поперечными размерами цилиндрического рефлектора, шириной вырезанной части, местоположением вибратора удаётся достичь амплитудно-фазового распределения электромагнитного поля в раскрыве вырезанной части, позволяющего сформировать направленное излучение, ортогональное оси резонатора. ДН сужается в вертикальной плоскости, а в горизонтальной приобретает секториальный характер.

Построение математической модели проведём в два этапа.

На первом этапе решим внутреннюю задачу электродинамики, определим электрические токи на внутренней поверхности S разомкнутого цилиндра, ограничивающего объём V, по известному источнику электромагнитного излучения (симметричный вибратор). На втором этапе получим зависимости для фиктивных магнитных токов на незамкнутых частях цилиндра, используя понятие идеальной магнитной стенки. Зная распределение магнитного тока и используя асимптотические представления для функций Грина, получим выражения для определения напряжённости электрического поля в дальней зоне. Получив выражения для поверхностных токов, можно определить такие антенные характеристики, как входное сопротивление и, соответственно, связанные с ним вторичные параметры (такие, например, как КСВ). Второй этап позволяет построить ДН в азимутальных и меридиональных плоскостях и определить оставшиеся вторичные параметры антенн (например, КНД).

Пусть антенна представляет собой осесимметричную разомкнутую цилиндрическую структуру высотой 2h и радиуса b (рис. 1.2), возбуждаемую симметричным вибратором длиной 2l, радиуса a, размещённым внутри цилиндрической структуры, в общем случае с некоторым смещением δ от оси цилиндра.

При построении модели воспользуемся рядом допущений. Симметричный вибратор предполагаем бесконечно тонким, таким, что на его боковой поверхности существует лишь z-я составляющая плотности тока J_z(z). Возбуждение антенны производится в точке (b-δ, 0, 0) (в предположении бесконечно тонкого зазора у вибратора). Поверхностный ток J_z(z) является источником стороннего поля при возбуждении цилиндрической поверхности. Соответственно, поскольку напряжённость стороннего поля имеет лишь z-составляющую, то и на цилиндрической поверхности существует лишь

. (1)

Плотность распределения электрического тока определим из следующих граничных условий:

, (2)

, (3)

где – напряженность поля, создаваемого электрическим током вибратора, – напряженность поля, создаваемого поверхностной плотностью электрического тока незамкнутого цилиндра, – напряженность поля от стороннего тока; – поверхности вибратора и незамкнутого цилиндра соответственно.

Решение уравнений (2), (3) можно найти, используя метод электродинамического потенциала. В цилиндрической системе координат векторный потенциал имеет, в общем случае, три компоненты:

, (4)

, (5)

(6)

где – расстояние между точками наблюдения p и точками источника q.

Входящая в (2), (3) z-составляющая электрического поля выражается через компоненты векторного потенциала следующим образом:

. (7)

Поскольку в рассматриваемой задаче существует лишь z-составляющая поверхностного тока, то выражение (7) существенно упрощается и после подстановки в (2), (3) приводит к следующим дифференциальным уравнениям 2-го порядка:

, (8)

, (9)

где – z-компонента суммарного векторного потенциала вибратора, – z-компонента суммарного векторного потенциала.

Методом вариации произвольных постоянных находим решения уравнений (8) и (9):

, (10)

. (11)

С другой стороны, суммарный векторный потенциал выражается через конкретизацию функции Грина:

(12)

(13)

где ,

,

Приравнивая попарно правые части выражений (10), (11) и (12), (13) соответственно и учитывая симметрию задачи, получаем систему из двух интегральных уравнений для определения поверхностных плотностей тока и :

(14)

.(15)

Уравнения (14) и (15) представляют собой уравнения Фредгольма 1-го рода с интегрируемой особенностью в точках , что позволяет использовать метод коллокаций для их решения. В качестве базисных функций выбраны кусочно-постоянные функции с точками коллокации на серединах интервалов разбиения.

Рис. 1.3. Амплитуда и фаза поверхностной плотности тока на внутренней поверхности резонатора при удалении вибратора

На рис.1.3 представлены распределения нормированной амплитуды и фазы поверхностной плотности тока на рефлекторе соответственно для случаев , , , , , ; .

Из рисунков видно наличие нескольких пиков амплитуды плотности тока симметрично относительно азимутального угла; амплитуда быстро убывает по z (при > λ амплитуда поверхностного тока пренебрежимо мала). С удалением вибратора от поверхности рефлектора амплитуда на краях рефлектора возрастает, что позволяет управлять шириной ДН. Изменение углового раскрыва в широких пределах при фиксированном радиусе b = 0,3…0,4 не приводит к существенным изменениям в характере распределения поверхностного тока и, следовательно, диаграмма направленности в азимутальной плоскости меняется слабо.

Для решения внешней задачи воспользуемся резонаторным методом: представим реальную антенну в виде открытого резонатора с идеальными магнитными стенками на открытых частях антенны. При таком подходе сначала определяются магнитные токи на идеальных магнитных стенках, после чего по известным магнитным токам находится внешнее поле излучения.

Выражения для поверхностного электрического тока на внутренней незамкнутой поверхности цилиндра и внешней поверхности вибратора, определённые уравнениями (14, 15), представим в виде

, , (16)

,

Найдём распределение плотности эквивалентного магнитного тока в зазоре цилиндрической поверхности. Расположим стенку в разрезе цилиндрической поверхности и определим эквивалентный магнитный ток, исходя и следующего граничного условия:

, (17)

где , - составляющая напряжённости электромагнитного поля, определяемая электрическим поверхностным током на цилиндрической поверхности; - составляющая напряжённости электромагнитного поля, определяемая электрическим током на вибраторе. Для упрощения дальнейших рассуждений предполагаем, что высота цилиндра много больше длины волны ( ). Данное предположение позволяет считать цилиндр бесконечно длинным и использовать асимптотические формулы.

Известно, что в цилиндрической системе координат составляющая имеет следующий вид:

, (18)

где

(19)

(20)

(21)

В формулах (19) – (21) верхние знаки берутся при , нижние – при .

Конкретизируем выражения (18) – (21), подставив в них явный вид области интегрирования и проведя необходимые упрощения. В результате получаем:

(22)

(23)

Подставляя в (22) и (23) рассчитанные выше плотности распределения электрического тока и , получаем искомое распределение эквивалентного магнитного тока на стенках эквивалентного резонатора. Отметим, что на торцах разомкнутого цилиндра эквивалентный магнитный ток равен нулю, т.е.

. (24)

Выражения (22) и (23) определяют эквивалентный магнитный ток в зазоре цилиндра. Для нахождения ДН по найденному магнитному току воспользуемся решением задачи о возбуждении идеально проводящего цилиндра сторонним магнитным током. В нашем случае отличны от нуля только две составляющие:

, . (25)

Входящее в выражение (25) представимо в виде бесконечного ряда по спектральным составляющим , т.е.

, (26)

где

, (27)

– радиус цилиндра. Входящие в (27) функции и имеют следующий вид:

(28)

(29)

Правило выбора знака в формулах (28) и (29) соответствует аналогичному правилу для формул (19) – (21).

Таким образом, полученные выражения определяют ДН цилиндрической разомкнутой резонаторной антенны.