Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 2177

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

10.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

y̅i ∑ Gikx̅k = α ∑ Giksk = 0,

(36)

ς2 =

(39)

∑n−1 y2

k=1

i=1

при λ=0 математическое

ожидание x̅k = 0 ,

Для расчета характеристик обнаруже-

следовательно, и y̅i = 0. Из (29)

ния необходимо

найти

вероятность

0 при λ = 0,

P(ς2 ≥ C). Очевидно, что

mn = y̅n = {

(37)

α√E при λ = 1.

P(ς2 ≥ C) = 1 − F

(√C0) + F (−√C0), (40)

Таким образом,

где Fς - интегральный закон распределения

∑n

для ς.

k=1

= 1 +

(38)

(∑k=1n xi2 − yn2)

∑k=1n−1 yi2

Если ввести

где yi - статистически независимые нормально распределенные величины с параметрами

(0,σ) при i ≠ и (mn,σ) при i=n.

Алгоритм обнаружения сводится к сравнению с порогом C0 = − 1 величины

		yn
η = √n − 1ς =		yn		,	(41)
η = √n − 1ς =				,
1			∑i=1n−1 yi2
	√
	√	n − 1

то

P(ς2 ≥ C0) = 1 − F
P(ς2 ≥ C0) = 1 − F	(√(n − 1)C0) + F (−√(n − 1)C0),		(42)
η		η

где Fη - интегральный закон распределения величины η, т. е. распределение Стьюдента. При λ=0 это центральное, а при λ=1 нецентральное распределение Стьюдента.

В результате характеристики обнаружения могут быть найдены по таблицам и графикам математической статистики, причем ими следует пользоваться при малых вероятностях ложной тревоги F. При больших F и достаточно больших n хорошим приближением является

n−1

∑ yi2 ≈ (n − 1)σ2.	(43)
i=1
В результате алгоритм	обнаружения

сводится к тому, что решение о наличии утечки принимается, если

yn2 > (n − 1)σ2C0 = K0,

(44)

что с точностью до множителя совпадает с алгоритмом обнаружения сигнала с неизвестной амплитудой в шуме известной интенсивности. Характеристики обнаружения при n=10 и h=8 приведены на рис.

Адаптивный алгоритм последовательного анализа при обнаружении утечки с неизвестной амплитудой в шуме неизвестной интенсивности при тех же предположениях, что и в ранее рассмотренных задачах, сводится к сравнению на каждом n-м шаге наблюдений отношения

∑n

σ2 (n)/σ2 (n, α (n) =

i=1

(45)

[∑n

(∑n

−

)2]

i=1

с двумя порогами:

ВЫПУСК № 4 (14), 2018

ISSN 2618-7167

(n)

Δh (n)

n−2

φ (n)

Δh (n)

n−2

(46)

C1(n) = [

√

] ,

C2(n) = [

√

] ,

φ1(n)

g1(n)

где Δh (n) = α2

/2σ2 (n, α

(n)) - оце-

наблюдений. Как показано в [1], эти пороги

max

ночное значение диапазона изменения отно-

являются случайными за счет зависимости

шения сигнал / шум, полученное на n-м шаге

Δh (n).

0,8

0,6

0,4

0,01

0,05

0,1

0,5

Рис. Характеристика обнаружения сигнала с неизвестной амплитудой в шуме

неизвестной интенсивности

Для

нахождения

рекуррентного

решения о наличии утечки на n-м шаге

адаптивного

алгоритма

обнаружения

наблюдений в виде

можно

представить

правило

принятия

σ2

− g

Δh (n)

≥

ln [

√

]

(47)

(n))

n − 2

− g

(n, α

Подставляя (45) в левую часть (47) и

можно использовать неравенство sn2 En−1,

полагая,

что

при

достаточно больших

получим

σ2

σ2 (n − 1)

≈ ln

(n))

(n − 1))

(n, α

(n − 1, α

1 + xn2/(n − 1)σ22 (n − 1)

+ln

(48)

1 + (x

− α (n − 1))2/(n − 1)σ2 (n − 1, α (n − 1))

Эту формулу, согласно [1], нужно доются на основе (9) и (3). В том же приближеполнить рекуррентными соотношениями для нии, что и (48), они имеют вид

α (n), σ12 (n, α (n)) и σ12 , которые получа-

α (n) = α (n − 1) + (sn ) (xn − α (n − 1)sn), En

σ12 (n, )α (n) ≈ σ12 (n − 1, α (n − 1)) + [(xn − α (n − 1)sn)2−σ12 (n − 1, α (n − 1))]/ ,

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

σ2	(n) = σ2 (n − 1) + [x2		− σ2 (n − 1)]/n.			(49)
2	2	n	2
Диагностике утечек в гидравлических			Квасов, С.А.	Сазонова //	В	сборни-
системах посвящены работы [2, 3]. Рассмот-			ке: Математическое моделирование инфор-
ренные задачи необходимо решать на основе			мационных и технологических			систем. -
			Воронеж, 2002. - С. 111-115.
применения математических моделей пото-
			7. Жидко,	Е.А. Логико вероятностно-
кораспределения [4], полученных на основе
			информационный подход к моделированию
энергетического эквивалентирования [5, 6].
			информационной безопасности объектов за-
Дополнительно при решении задач диагно-
			щиты // Е.А. Жидко. Воронеж.-		2016. - 123 с.
стики и при обработке численных данных,
			8. Попова, Л.Г. Информационный мо-
требуется рассмотреть задачи информацион-			ниторинг безопасности и устойчивости раз-
ной безопасности [7, 8, 9, 10, 11].			вития организации в XXI веке / Л.Г. Попова,
Комплексно нужно также решать ряд			С.В. Барковская, Е.А. Жидко // Информация
вспомогательных задач, неизбежно возника-			и безопасность. -2009. -Т. 12. № 4. - С. 497-
			518.
ющих в случае возникновения утечек и по-
			9. Жидко,	Е.А. Научно-обоснованный
жаров [12, 13]. Необходимо так же решать
			подход к классификации угроз информаци-
задачи обеспечения комплексной безопасно-
			онной безопасности / Е.А. Жидко // Инфор-
сти [14, 15]. В рамках рассмотренных задач
			мационные системы и технологии. - 2015. -
представляют интерес работы [16, 17].
			№ 1 (87). - С. 132-139.
Библиографический список			10. Квасов, И.С. Информационные си-
			стемы технической диагностики трубопро-
1. Репин, В.Г. Статистический синтез
			водных сетей / И.С. Квасов, С.А. Сазонова,
при априорной неопределенности и адапта-			В.Е. Столяров // В книге: Математическое
ция информационных систем / В.Г. Репин,			моделирование в естественных и гуманитар-
Г.П. Тартаковский. - М.: Советское радио,			ных науках Тезисы докладов. Воронежский
1977. - 432 с.			государственный университет. - 2000. - С.
2. Сазонова, С.А. Постановка задача			105.
диагностики несанкционированных отборов			11. Квасов, И.С. Синтез систем сбора
и обеспечение безопасности функциониро-			данных для распределительных гидравличе-
вания гидравлических систем / С.А. Сазоно-			ских сетей / И.С. Квасов, В.Е. Столяров, С.А.
ва // Моделирование систем и процессов. -			Сазонова // В сборнике: Информационные
2015. - Т. 8. - № 1. - С. 54-57.			технологии и системы Материалы III Все-
3. Сазонова, С.А. Диагностика несанк-			российской научно-технической конферен-
ционированных отборов рабочей среды и			ции. - 1999. - С. 113-115.
обеспечение безопасности функционирова-			12. Сазонова, С.А. Численное решение
ния гидравлических систем / С.А. Сазонова //			задач в сфере пожарной безопасности / С.А.
Моделирование систем и процессов. - 2015. -			Сазонова, С.Д. Николенко // Моделирование
Т. 8. - № 1. - С. 51-53.			систем и процессов. - 2016. - Т. 9. - № 4. - С.
4. Сазонова, С.А. Итоги разработок ма-			68-71.
тематических моделей анализа потокорас-			13. Сазонова, С.А. Расчет коэффици-
пределения для систем	теплоснабжения	/	ента теплопотерь на начальной стадии пожа-
С.А. Сазонова // Вестник Воронежского гос-			ра с применением информационных техно-
ударственного технического университета. -			логий / С.А. Сазонова, С.Д. Николенко //
2011. - Т. 7. - № 5. - С. 68-71.			Моделирование систем и процессов. - 2016. -
5. Квасов, И.С. Оценивание парамет-			Т. 9. - № 4. - С. 63-68.
ров трубопроводных систем на основе функ-			14. Николенко, С.Д. Обеспечение без-
ционального эквивалентирования / И.С. Ква-			опасности земляных работ с применением
сов, С.А. Сазонова // В книге: Понтрягинские			расчетов прикладной механики / С.Д. Нико-
чтения - Х. - 1999. - С. 219.			ленко, С.А. Сазонова // Моделирование си-
6. Квасов, И.С. Статическое оценива-			стем и процессов. - 2016. - Т. 9. - № 4. - С.
ние состояния систем теплоснабжения / И.С.			47-51.

ВЫПУСК № 4 (14), 2018		ISSN 2618-7167
15. Сазонова, С.А. Комплекс приклад-	Вестник	Воронежского института	высоких
ных задач в области проектирования, обес-	технологий. - 2016. - № 1 (16). - С. 40-42.
печивающих безопасность функционирова-	17.	Сазонова, С.А. Управление гидрав-
ния гидравлических систем / С.А. Сазонова //	лическими системами при резервировании и
Вестник Воронежского института ГПС МЧС	обеспечении требуемого уровня надежности
России. - 2015. - № 3 (16). - С. 30-35.	/ С.А. Сазонова // Вестник Воронежского ин-
16. Сазонова, С.А. Оценка надежности	ститута	высоких технологий. -	2016. -
работы сетевых объектов / С.А. Сазонова //	№ 1 (16). - С. 43-45.
УДК 533.93
Воронежский государственный технический университет,	Voronezh State Technical University,
Кафедра прикладной математики и механики,	Department of applied mathematics and mechanics
Канд. техн. наук, доцент О.А. Соколова	Ph. D. in Engineering, associate professor O.A. Sokolova
Россия, г. Воронеж, E-mail: sokolovaoa203@mail.ru	Russia, Voronezh, E-mail: sokolovaoa203@mail.ru

О.А. Соколова

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СВЧ-КАНАЛА СВЯЗИ ПРИ НАЛИЧИИ ПЛАЗМЕННЫХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ

Аннотация: Приводится математическая модель СВЧ - канала связи при наличии плазменных неоднородностей, позволяющая учесть влияние области каустической тени, образующейся за радиально неоднородным плазменным цилиндром со статистически изотропными квазиоднородными флуктуациями концентрации электронов по угловой координате на прохождение электромагнитной волны

Ключевые слова: область каустической тени, электромагнитная волна, флуктуация концентрации электронов

O.A. Sokolova

MATHEMATICAL MODEL OF MICROWAVE COMMUNICATION CHANNEL IN

THE PRESENCE OF PLASMA INHOMOGENEITIES

Abstract: Presents a mathematical model of a microwave communication cannel in the presence of plasma inhomogeneous, which allows to take into account the influence of the acoustic shadow formed behind a radially inhomogeneous plasma cylinder with statistically isotropic quasi-uniform fluctuations of the electron concentration along the angular coordinate on the passage of an electromagnetic wave is presented

Key words: caustic shadow region, electromagnetic wave, fluctuations of the electron concentration

Всвязи5 с проведением ряда экспериментов по активному воздействию на ионосферу, с борта ИСЗ создаются искусственные плазменные образования [1], за которыми образуется область каустической тени, влияющая на устойчивость работы каналов связи СВЧ - диапазона.

Математическая модель прохождения электромагнитной волны в область каустической тени актуальна для оптимального выбора местоположения приемно-передающих устройств.

Встатье рассматривается задача о влиянии угловых флуктуаций концентрации электронов на интенсивность поля в области каустической тени, возникающей за ради-

©Соколова О.А., 2018

ально неоднородным плазменным цилиндром.

Пусть имеется радиально неоднородный плазменный цилиндр, у которого диэлектрическая проницаемость имеет вид

		r 1 r, ,	(1)

где среднее значение диэлектрической про-

ницаемости

изменяется по закону

, r a

/ r

, a>>b,

(2)

1, r a

а флуктуационная составляющая

1 r,

(3)

r 2

kb 1,

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

при этом функция корреляции флуктуаций

диэлектрической проницаемости 1 описывается выражением

B		1	,	2	2 exp	1		2	2 /	2	,	(4)
1		1		2		1		2

где - радиус корреляции по угловой ко-

ординате, b – радиус плазменного образования по уровню критической концентрации электронов ( 0) , a – внешний радиус

плазменного цилиндра, - параметр, характеризующий интенсивность флуктуаций.

Будем полагать, что на плазменный цилиндр перпендикулярно его оси падает плоская волна, при этом выполняются неравен-

ства 2 1 , k - волновое числоk 2 , - длина волны в свободном про-

странстве, а точка наблюдения расположена в области каустической тени на расстоянии r b от оси цилиндра.

Для решения поставленной задачи, воспользуемся методом интерференционного интеграла лучевого типа 2 . В соответствии с этим методом рассеянное поле запи-

шем в виде
	A0		L1 dp .
U r	A0	r , p exp ik L0	L1 dp .	(5)


Здесь L0 L0 r; p - полный интеграл,
определяемый из уравнения эйконала
	L	2	1	L	2	b2
	0			0	1		,	(6)
	r					r 2
			r 2

и удовлетворяющий на поверхности цилиндра r a граничным условиям

L0		r a a cos ;	(7)

L0	r a	0.	(8)

p

Здесь - угловая координата точек поверхности цилиндра.

Входящая под знак интеграла (5) спек-

тральная плотность A0 r; p определяется по

формуле [2]

2 L

A0 r; p

(9)

2 r

r a

Используя решение, полученное в ра-

боте [2], выражение для L0

и A0 можем за-

писать

r , p

a2 r 2

r arccos

arccos

p a cos ,

(10)

a 2

2 14

A0 r ; p

(11)

r 2

где

p a sin

точка

поворота,

r 2

p2 b2

В выражении (5)

функция L1 r; p яв-

ляется первым с учетом флуктуаций приближением для эйконала парциальной волны и может быть получена путем решения уравнения

L	L	1	L	L	b2	1
0	1		0	1			.	(12)
r	r	r 2			2r 2

Используя

для

выражение

(10),

уравнение (12) можно привести к виду

r 2 rn 2

(13)

r 2

2r 2

Решая его методом разделения пере-

менных с учетом граничных условий

r a 0,

(14)

0 ,

(15)

r a

можем записать

ВЫПУСК № 4 (14), 2018

ISSN 2618-7167

q p

L r; p q p

(16)

2 p p

где

sin

(17)

Рассматривая далее случай большой дисперсии фазы парциальных волн, из (5) можно получить выражение для определения интенсивности поля [2]

A0 p

exp

dp ,

(18)

G p

2G p

G 2 p

2b2

arccos

где

	L	2
G 2 p	1
G 2 p
	p
	p

- квадрат дисперсии отклонений луча, вычисленный в первом приближении теории возмущений. Используя (16), выражение для

G2 p можно преобразовать к виду

		p			2
		p


2	r	2	2	p 2
rn	r		rn

1 , 2 d 1d 2

(19)

4 p

p p

arccos

1 , d 1 ,

2 p

r 3

p 2

где функция корреляции флуктуаций диэлек-

B 1

трической проницаемости

определяется

формулой (4).

после соответствующих преобразований по-

лучим

Учитывая

большой

параметр

задачи

G 2 p

2b4

arcsin

(20)

Далее, учитывая, парциальных волн на

рования rn p r , т.е. экспоненциально мала плитуды парциальных

что амплитуда участке интегри-

при	p	r 2 b2

относительно амволн в области

интегрирования			rn p r ,	т.е.	при
	p	r 2 b2
	p	r 2 b2
		,	окончательное	выражение
		,	окончательное	выражение

для средней интенсивности поля в области тени можно привести к виду


U 2	1	r2 b2					1
	1						1			exp

						G p
	2						r	2	2
	2	2		b	2			2	2
			r	b					rn

	L	2
1	0 p
		dp ,	(21)
	G p	dp ,	(21)
2	G p

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ


где учтено, что a и соответственно
	L	p		r
	0		arcsin		n	,	(22)

	p			r
		rп

а функция G p определена выражением

(20).

Из формул (20), (21) видно, что средняя интенсивность поля не зависит в первом приближении от радиуса корреляции по угловой координате, а является функцией интенсивности флуктуационного процесса.

Уже в ближней зоне области тени

( r b 10 ) интенсивность поля резко возрастает и имеет место эффект насыщения интенсивности поля, причем с увеличением интенсивности флуктуаций концентрации электронов этот эффект проявляется уже на расстояниях, приближающихся к области с критической концентрации электронов, что объясняется явлением образования микролучевости. Процесс засветки области тени в значительной степени зависит от интенсивности

УДК 519.83

Воронежский государственный технический университет, Кафедра прикладной математики и механики, Канд. техн. наук, доцент Д.В. Сысоев, Магистрант А.А. Сысоева

Россия, г. Воронеж, E-mail: Nastenka.sh1994@gmail.ru

флуктуаций. С уменьшением угла , то есть при выходе из области тени ослабление средней интенсивности поля уменьшается, а интенсивность поля на каустике и в ее окрестности практически совпадают.

Полученные результаты позволяют учесть влияние угловых флуктуаций концентрации электронов в радиально неоднородном плазменном образовании на процесс засветки области каустической тени и путем оптимизации места расположения приемнопередающих устройств на борту ИСЗ устранить нарушения в работе канала связи.

Библиографический список

1.Сагдеев Р.З. Активные эксперименты

вкосмосе / Сагдеев Р.З., Жулин И.А. Вестник АН СССР, 1975. – Вып.12. –С. 84-91.

2.Авдеев В.Б. Метод интерференционных интегралов / Авдеев В.Б., Демин А.В., Кравцов Ю.А., Тинин М.В., Ярыгин А.П. Изв. вузов. Радиофизика,1988. – Т.31. - №11.

– С. 1279-1295.

Voronezh State Technical University,

Department of applied mathematics and mechanics, Ph. D. in Engineering, associate professor D.V.Sysoev, Master's degree student A.A. Sysoeva

Russia, Voronezh, E-mail: Nastenka.sh1994@gmail.ru

А.А. Сысоева, Д.В. Сысоев

СВЕДЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ К ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Аннотация: в статье рассматривается такие понятия, как теория игр и линейное программирование. А также возможность сведения какой-либо матричной игры к задаче линейного программирования

Ключевые слова: теория игр, матрицы, линейное программирование

A.A. Sysoeva, D.V. Sysoev

THE MIXING MATRIX GAME TO A LINEAR PROGRAMMING PROBLEM

Abstract: the article deals with such concepts as game theory and linear programming. As well as the ability to reduce any matrix game to the problem of linear programming

Keywords: game theory, matrices, linear programming

Теорией игр 6 называют математическую модель принятия оптимальных реше-

ний в условиях какого-либо конфликта. При этом конфликтом является любое разногласие.

Всякая игровая модель должна содер-

ВЫПУСК № 4 (14), 2018

ISSN 2618-7167

жать в себе стороны конфликта и их заинте-

полагается, что игрок «В» не поддается.

ресованность в исходе. Такие стороны назы-

Решение игры. При решении выше по-

ваются «игроками», а принимаемые решения

ставленной игры принято руководствоваться

– «стратегиями».

следующим алгоритмом:

Содержание

математической

теории

1. Исключить из матрицы заведомо не-

игр состоит в:

выгодные стратегии. Для игрока «А» такими

установление принципов оптимального

являются строки с наименьшими элементами

поведения всех игроков

в сравнении с другими. Для игрока «В» соот-

доказательстве существования

возник-

ветственно наоборот;

шей ситуации

2. Определить верхнюю и нижнюю це-

разработке

методов

фактического

ну игры, проверить наличие седловой точки.

нахождения вышеуказанных ситуаций.

если таковая имеется, то, соответствующие

При рассмотрении игр с одной коали-

ей стратегии, будут оптимальными;

цией действия многообразие всех ситуаций

3. Иначе, решение будет найдено с

можно принимать за множество стратегий

смешанных стратегиях.

этой коалиции действия. Такие игры назы-

Линейное программирование.

Задачей

ваются, соответственно, нестратегическими.

оптимизации называется задача, состоящая в

К примеру такой игры, можно отнести игру с

нахождении оптимального значения целевой

природой. Она применяется для анализа эко-

функции. В общем виде задачу можно запи-

номических ситуаций и выбора наиболее

сать следующим образом:

предпочтительных альтернатив.

U f ( X ) max ; X W

(2)

Все остальные игры с двумя или более

где X x1 , x2 ,...xn ;

коалициями называются стратегическими. К

W -

область

допусти-

ним относится необходимость согласования

мых значений переменных x1 , x2 ,..., xn ;

f ( X )

действий компаний в том случае, когда инте-

ресы участников не совпадают. Теория игр

- целевая функция.

позволяет найти оптимальное решение,

Для решения задачи оптимизации до-

устраивающее всех участников конфликта.

статочно

указать

такое

X 0 W

что

Матричная игра, размером m n игра

f X 0 f X

X W

двух игроков. При этом у каждого игрока в

для любого

Для слу-

запасе конечное число шагов (чистых страте-

чая минимизации наоборот.

гий). Выигрыш одного игрока, и, соответ-

Задачу оптимизации

следует

считать

ственно, проигрыш второго выражается чис-

неразрешенной, если у нее отсутствует оп-

лом. В формуле 1 указанные стратегии запи-

тимальное

решение.

Так,

например,

задача

сываются в матрицу:

максимизации неразрешима, если

f ( X )

не

ограничена

сверху на допустимом

множе-

aij

, i 1, m, j 1, n,

(1)

стве.

aij - выигрыш первого игрока и проигрыш второго. Первый игрок будет игрок «А», второй, соответственно - «В»; i,j – чистые стратегии.

Задача теории игр состоит в определении оптимальных стратегий. Оптимальной стратегией для игрока «А» является стратегия, обеспечивающая максимально возможный средний выигрыш. Для игрока «В» - минимальный средний проигрыш. При этом,

Задача линейного программирования. Модель задачи линейного программирования имеет следующий вид:

n
f X c j x j max min ;	(3)
j 1
n
aij x j bi i I I M 1,2,..., m ;	(4)

j 1

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В СТРОИТЕЛЬНЫХ, СОЦИАЛЬНЫХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

max : M x; y ,

aij x j

b j

i M ;

(5)

min : M x; y .

;

(7)

j 1

x j 0 j J J N 1,2,..., n ;

(6)

M X ;Y

aij xi y j

j 1

i 1

математическое

ожи-

Система линейных уравнений и нера-

дание выигрыша игрока «А».

венств, определяющая допустимое множе-

Тогда для любой чистой стратегии иг-

ство решений задачи W , является системой

рока «В» верно:

ограничений задачи

линейного программи-

рования,

а функция

- целевой функци-

M x; y j aij xi ;

(8)

i 1

ей.

Сведение матричной игры к задаче ли-

а, в свою очередь, для игрока «А»:

нейного программирования. Дана матрица

H. Предположим, что она не содержит сед-

M x i ; y i aij y j

;

(9)

ловой точки. Это значит, что решение игры

j 1

представлено в смешанных стратегиях.

Таким образом, (7) – (9) можно запи-

Соотношениям отыскания

и ста-

сать в форме задач линейного программиро-

вятся в соответствие эквивалентные задачи:

вания:

max{ : M (x; y( j)) aij xi , j

1, n

; xi

0,i

1, m

; xi

1};

(10)

i 1

min{ : M (x(i); y) aij

0, j

; y j

y j

1, m

; y j

1, n

1} ;

(11)

j 1

Очевидно, что задачи (10) и (11) двой-

При следующих условиях:

ственные, следовательно

их

оптимальные

значения

должны

совпадать,

именно:

aij u j

1 , i 1, m ,

u j

0 ,

j 1, n ;

(15)

опт опт

, где V – цена игры.

j 1

T 1

Учитывая

теорему

теории двойствен-

Предположим,

что

V -

ности, задачи (12) – (15) имеют конечное ре-

y j

U j

для задачи (10) и

для зада-

шение и

max .

V -

min

чи (11) соответственно. Тогда для того, что-

Применяя выше описанный математи-

бы найти оптимальную

стратегию

игрока

ческий аппарат двойственной задачи линей-

«А», необходимо решить следующую задачу

ного программирования, в данной статье

линейного программирования, а именно ми-

рассмотрю пример выбора оптимального ас-

нимизировать линейную функцию:

сортимента и объема продукции ткацкой

T t1 t2 tm ;

(12)

фабрики. Предположим, что данная фабрика

сосредоточена на выпуске платьев, шляпок и

При следующих условиях:

ветровок. Реализация товара происходит че-

рез фирменный магазин.

Предположим, что за последние 10 лет

aij ti

1, j

1, n

ti 0 , i

1, m

;

(13)

фабрика

условиях

теплой

погоды

может

i 1

реализовать 600 платьев, 2000 шляпок и 300

Для игрока «В» отыскание его страте-

ветровок, в прохладную погоду – 1000 плать-

гии приводит к решению задачи вида:

ев, 500 шляпок и, соответственно, 800 ветро-

Z u1 u2

(14)

вок. В обычную же погоду получается 800

платьев, 1100 шляпок и 600 ветровок. Затра-

ВЫПУСК № 4 (14), 2018	ISSN 2618-7167
ты на единицу продукции составили соот-	тельный игрок – фирма (игрок «А»). природа
ветственно 30у.е., 10у.е., 15 у.е. Цена реали-	же является игроком «В» и выступает как
зации получилась: 50 у.е., 20 у.е. и 28 у.е..	случайно выбирающий ходы партнер. Пер-
Задача состоит в максимизации средней	вым шагом необходимо построить платеж-
прибыли от продажи товаров, учитывая по-	ную матрицу. Для этого определим чистые
годные условия.	стратегии каждого из игроков. Они пред-
Данная задача сводится к задаче об иг-	ставлены ниже в таблице 1.

ре с природой, в которой только один созна-

			Таблица 1.
			Стратегии игроков
	Стратегии фирмы		Стратегии природы
Ф1	– с теплой погодой;	П1	– обычная;
Ф2	– с прохладной погодой;	П2	– прохладная;
Ф3	– с обычной.	П3	– теплая.

При выборе предприятием стратегии Ф1 со стратегией природы П1 доход составит:

50 30 600 20 10 1100 28 15 300 20 10 (2000 1000) 17900ден.ед., П2 : 20 600 10 500 13 300 10 2000 500 5900ден.ед.,

П3: 20 600 10 2000 13 300 35900ден.ед.

При выборе предприятием стратегии Ф2 со стратегией природы П1 доход составит:

20 800 10 500 13 600 20 1000 600 13 800 600 22000ден.ед, П2: 20 1000 10 500 13 800 35400ден.ед., П3: 20 600 10 500 13 300 20 1000 600 13 800 300 6400ден.ед.

При выборе предприятием стратегии Ф3

со стратегией природы П1 доход составит:

20 800 10 1000 13 600 34800ден.ед.,

П2: 20 800 10 500 13 600 10 1100 500

22800ден.ед.,

П3: 20 600 10 1100 13 300 20 800 600

13 600 300 16000ден.ед

Исходя из полученных результатов,

можно построить следующую матрицу:

Z u1

u2 u3

(19)

17900

5900

35900

с ограничениями:

Е 22000

6400

35400

(16)

17900u1

5900u2

35900u3

22800

34800

16000

35400u2

6400u3

22000u1

Плательщиком в данном случае высту-

22800u2

16000u3 u6 1,

(20)

пает сама фирма. Получая при этом некую

34800u1

прибыль. Для матрицы (16) исходя из общей

u u

z 0.

постановки задачи можно получить следую-

Для определения оптимальной страте-

щую пару двойственных задач:

гии необходимо решить задачу линейного

T t1

(17)

программирования: найти минимум (макси-

с ограничениями:

мум) функций (17) и (19) соответственно.

Решать систему можно любым удоб-

17900t1 22000t2

34800t3 1,

ным способом. В результате получается оп-

тимальное решение, которое можно записать

5900t1 35400t2 22800t3

(18)

в виде симплекс – таблицы:

6400t2 16000t3

35900t1

0, i

1,2,3.

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.202210.35 Mб8Учебное пособие 2172.pdf
#
30.04.202210.37 Mб2Учебное пособие 2173.pdf
#
30.04.202210.37 Mб2Учебное пособие 2174.pdf
#
30.04.202210.53 Mб12Учебное пособие 2175.pdf
#
30.04.202210.65 Mб3Учебное пособие 2176.pdf
#
30.04.202210.67 Mб3Учебное пособие 2177.pdf
#
30.04.202210.72 Mб4Учебное пособие 2178.pdf
#
30.04.202210.74 Mб6Учебное пособие 2179.pdf
#
30.04.2022333.68 Кб3Учебное пособие 218.pdf
#
30.04.202210.74 Mб16Учебное пособие 2180.pdf
#
30.04.202210.91 Mб5Учебное пособие 2182.pdf