Учебное пособие 1990

тривиальные (т.е. отмеченные от тождественного нуля) решения уравнения, удовлетворяющие краевым условиям

и соответствующие им собственные функции Xk(x)=iπλkx, k=0,1,2,…,определяемые с точностью до постоянного множителя, который мы полагаем равным единице.

Следовательно, лишь при с=-λ2к, к=0,1,2,…, имеем нетривиальные решения задачи (*). Теперь решение задачи ищем

Для нахождения функций разложим функцию 1 в ряд Фурье по синусам на интервале(0,1):

, Так как то получаем уравнение

Общее решение которого, имеет вид

Значения неопределенных коэффициентов: А=, В=0,

51

Окончательно:

Пример 5. Решить неоднородное уравнение параболического типа

Применяя метод Фурье разделения переменных, полагаем для решения соответствующего

однородного уравнения при наших краевых условиях .

Приходим к задаче Штурма-Лиувилля X’’(x)+λ2X(x)=0, X’’(0)=0, X(1)=0. Находим собственные значения λk,

k=0,1,2,…и соответствующие им собственные функции

Xk(x)=cos λkx.

Решение задачи ищем в виде

, где. Подставляя в основное уравнение, получим

Для нахождения функции разложим функцию 1-х в ряд Фурье по косинусам на интервале (0,1):

52

Подставляя функцию в формулу для u(x,t), находим искомое решение задачи :

, где λk

В данной задаче рассматривается ограниченный стержень длины l=1 и решается уравнение теплопроводности стержня, где - температура стержня в точке х в момент времени t

АС=sin2x+cos2x=1. Согласно общей теории, составляем урав-

нение (22а) dy2 - 2sinхdxdy-cosxdx2 = 0 или dy + (l + sinx)dx=0, dy-(1-sinx)dx = 0, интегрируя эти уравнения, получим X+y- cosx=C1, x-y+cosx=C2.

Вводим новые переменные (ξ,η) по формулам

ξ = х + у — cosx, η= x-y+cosx. Тогда наше уравнение в новых независимых переменных приводится к виду

2u 0.

Положив ξ=α+β, η=α-β, приведем уравнение к каноническому виду:

замкнутом виде, т. е. найти формулу, дающую все решения этого уравнения. Действительно, перепишем это уравнение в виде

53

ная функция η. Интегрируя полученное уравнение по η, считая

ξ параметром, найдем, что u d , где φ(ξ) — про-

извольная функция по ξ. Полагая d ,получим

u=φ(ξ)+ψ(η), или, возвращаясь к старым переменным (x, у), получим решение основного уравнения в виде

u(x,y)=φ(x+y-cosx)+ψ(x-y+cosx).

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Задача 1. Однородная струна, закрепленная на концах х = 0 и x=l, имеет в начальный момент времени t=0 форму параболы, симметричной относительно перпендикуляра, проведен-

осутствуют.

Рис. 11

2. Бесконечная струна, находящаяся в прямолинейном положении равновесия, получает в начальный момент времени (t= 0) удар от молоточка, масса которого равна М, причем этот

54

Задача 3. Привести к каноническому виду уравнения:

Форма отчетности: устный опрос

ЗАНЯТИЕ № 62

ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Литература: [16], с. 280-327, [30], c. 46-68.

Контрольные вопросы и задания

1. Что такое вариация, функционал, экстремаль и их свой-

ства ?

2. Какие вы знаете уравнения Эйлера вариационного исчисления ?

56

3.Как вычисляется минимум функционала?

4.В чем заключается вариационный метод решения физических задач (привести пример)?

Дополнительные вопросы

1.Как применяются вариационный метод при решении технических задач (привести пример)?

2.Как применяются вариационный метод при решении задач теории управления (привести пример)?

Примеры решения задач

Пример 1.

x1

[y(x)] y2dx, y(x0)=y0, y(x1)=y1.,

x0

Уравнение Эйлера имеет вид Fy=0 или y=0. Экстремаль у = 0 проходит через граничные точки толь-

ко при у0 = 0 и у1 = 0 (рис. 12).

Рис. 12

Если у0 = 0 и у1 = 0, то, очевидно, функция у=0 реализует минимум функционала

x1

v y2dx

x0

57

так как v [у (х)] 0, причем v = 0 при у = 0.

Если же хотя бы одно из у0 и у1 не равно нулю, то минимум функционала на непрерывных функциях не достигается, что и понятно, так как можно выбрать последовательность непрерывных функций уn(х), графики которых состоят из все более и более круто спускающейся из точки (х0, у0) к оси абсцисс дуги кривой, затем из отрезка оси абсцисс, почти совпадающего со всем отрезком (х0, х1), и, наконец, возле точки x1 круто поднимающейся к точке (х1, у1) дуги кривой (рис. 13). Очевидно, что на кривых такой последовательности значения функционала сколь угодно мало отличаются от нуля и, следовательно, нижняя грань значений функционала равна нулю, однако эта нижняя грань не может достигаться на непрерывной кривой, так как для любой непрерывной кривой у = у (х), отличной от тождественного нуля, интеграл

x1

y2dx 0

x0

Эта нижняя грань значений функционала достигается на разрывной функции (рис. 14.)

Рис. 13 Рис. 14

y x0 y0 y x0 0,x0 x x1

y x1 y1

Функция F линейно зависит от y/:

58

F x, y, y' M x, y N x, y y'

говоря, не удовлетворяет граничным условиям, следовательно, вариационная задача, как правило, не имеет решения в классе непрерывных функций.

не зависит от пути интегрирования, значение функционала v постоянно на допустимых кривых. Вариационная задача теряет смысл.

Пример 2

1

v y x y2 x2 y' dx

0

y(0)=0, y(1)=a.

59

Уравнение Эйлера имеет вид M N 0 или у-х=0.

x y

Первое граничное условие у(0)= 0 удовлетворяется, но второе граничное условие удовлетворяется лишь при а = 1. Если же , то экстремали, удовлетворяющей граничным условиям, не существует.

Пример 3

Уравнение Эйлера превращается в тождество 1 1. Подынтегральное выражение является точным дифференциалом, и интеграл не зависит от пути интегрирования:

x1

v y x d yx x1y1 x0 y0

по какой бы кривой мы ни интегрировали. Вариационная задача не имеет смысла.

F зависит лишь от у':F = F (у').

Уравнение Эйлера имеет вид Fy’y’ y’’= 0, так как

Fy=Fxy’=Fyy’=0. Отсюда у" = 0 или Fy’y’= 0. Если у" = 0, то

у = С1x+С2— двухпараметрическое семейство прямых линий. Если же уравнение Fy’y’(у') = 0 имеет один или несколько действительных корней у' = ki, то у = kiх+С, и мы получаем однопараметрическое семейство прямых, содержащееся в полученном выше двухпараметрическом семействе у = С1x + С2. Таким образом, в случае F=F(у') экстремалями являются всевозможные прямые линии у=С1x+С2.

Пример 4. Время t[у(х)], затрачиваемое на перемещение по некоторой кривой у=у(х) из точки А(х0, у0) в точку В (х1, у1),

60