Учебное пособие 1968

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ СОЛЕНОИДА. Для соленоида, длина которого значительно превышает его диаметр, поле внутри него почти однородно, а снаружи очень мало.

Применим к соленоиду закон полного тока, выбрав контур интегрирования abcd, как показано на рис. 5.5.

Из соображений симметрии ясно, что линии вектора В внутри соленоида направлены вдоль его оси. Циркуляция вектора В по такому контуру определяется только интегралом по стороне ad и равна Bl.

Стороны ab и cd не вносят вклад в циркуляцию, поскольку вектор индукции В перпендикулярен им.

Вкладом в циркуляцию стороны bс можно пренебречь, так как поле вне соленоида мало.

По закону полного тока циркуляция по замкнутому контуру равна μ0nlI, где п — число витков на единицу длины соленоида, I — сила тока в соленоиде. Тогда из формулы (5.11) получаем:

(5.13)

Произведение пI называют числом ампер-витков на единицу длины соленоида.

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и у п р а ж н е н и я

1.Чем отличается вектор индукции магнитного поля В от вектора напряженности электрического поля Е, ведь с каждым из этих векторов связана сила, действующая на заряд?

2.Как зависит величина магнитного поля от расстояния до создающего его элементарного тока?

3.Что такое циркуляция вектора индукции магнитного поля и в каком случае она равна нулю?

4.Нарисуйте линии индукции магнитного поля, создаваемого соленоидом конечной длины.

5.Как определить направление магнитного поля, зная направление создающего его электрического тока?

41

Глава 6. Сила Ампера

ЗАКОН АМПЕРА. Если проводник с током помещен в магнитное поле, на каждый элементарный носитель тока действует магнитная сила Лоренца. Действие суммарной силы передается проводнику в целом. Найдем эту силу. Для этого рассмотрим элемент проводника dl с объемом dV, как показано на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Направления движения электронов в металле, магнитного поля и силы Ампера

Пусть проводимость проводника определяется перемещением электронов. Тогда с учетом того, что направленное движение электронов характеризуется скоростью u, на каждый электрон в проводнике будет действовать сила

(6.1)

В элементе объема dV находится dN = ndV электронов, где п — их концентрация. Умножая (6.1) на число электронов, получим величину силы, действующей на элемент проводника:

(6.2)

где S — поперечное сечение проводника. Поскольку плотность тока в соответствии с (4.1) j = u = neu, а сила тока I = jS, то выражение (6.2) можно преобразовать к виду

(6.3)

в котором направление элементарного участка проводника dl выбрано по направлению технического тока (противоположно направлению движения элек-

42

тронов). Формула (6.3) выражает закон Ампера. Интегрируя выражение (6.3) по всей длине проводника, можно найти полную силу, действующую на проводник с током.

РАБОТА СИЛЫ АМПЕРА. МАГНИТНЫЙ ПОТОК. При перемещении контура с

током в магнитном поле совершается работа. Для получения общей формулы работы амперовых сил рассмотрим частный случай. Пусть имеется контур с подвижной перемычкой длиной l, находящийся в однородном магнитном поле.

Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости (рис. 6.2). В однородном поле на каждый участок перемычки действует постоянная сила (6.3).

Рис. 6.2. Перемещение проводника с током в магнитном поле

Модуль силы, действующей на всю перемычку, выражается равенством

(6.4)

а направление (на рис. 6.2 — вправо) определяется правилом левой руки. При перемещении перемычки вправо на величину dx эта сила совершает работу

(6.5)

где dS — площадь описываемая перемычкой при перемещении. Поскольку

(6.6)

есть изменение магнитного потока при перемещении контура, то в общем случае элементарная работа

(6.7)

а при конечных перемещениях

(6.8)

Если при перемещении ток поддерживается постоянным, то

(6.9)

43

Сила Ампера является физической основой действия электродвигателей. Основой любого электродвигателя является замкнутый плоский контур с током, помещенный в магнитное поле, как правило, однородное. Как известно из механики, движение любой системы полностью определяется суммой сил и суммой моментов сил, действующих на ее части.

Рассчитаем вначале сумму сил Ампера, действующих на произвольный замкнутый контур в однородном магнитном поле. Применим принцип суперпозиции. Учитывая, что в однородном поле константа В может быть вынесена за знак интегрирования и что a + b,c a,c b,c , имеем

(6.10)

Интеграл представляет собой сумму замкнутой цепочки элементарных векторов dl, и поэтому он равен нулю. Следовательно, равна нулю и результирующая сила Ампера.

МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ. Суммарная сила Ампера в неоднородном магнитном поле отлична от нуля. Вычисления по формуле (6.10) для В const в общем случае весьма сложны. Особый интерес представляет случай плоского контура, когда его размеры достаточно малы. Такой контур называется элементарным. Нетрудно показать, что сила Ампера в этом случае может быть выражена через вектор

магнитного момента контура:

Момент силы, действующей на контур с током, для однородного поля не равен нулю. Пусть контур имеет вид прямоугольника со сторонами а и b, как показано на рис. 6.4. Ось вращения 00' параллельна сторонам b и проходит через середины сторон а. Вектор В направлен вертикально вверх. Угол между нормалью к контуру и вектором В равен α (рис. 6.4). Силы, действующие на стороны длиной а, перпендикулярны им и индукции поля и, следовательно, направлены по оси 00'. Поскольку плечо этих сил относительно 00' равно нулю, равен нулю и их момент. Стороны длиной b перпендикулярны В, и на каждую

из них действует сила F IbB с плечом a2 sin . Суммарный момент М этих сил равен IbBasin .

44

Отсюда для плотности энергии (энергии в единице объема) получаем

(6.18)

Как и в случае электрического поля, мы можем заключить, что энергия магнитного поля также локализована в пространстве, которое поле занимает, и может быть отнесена к самому магнитному полю. Для неоднородного магнитного поля можно считать его близким к однородному в малых объемах, а полную энергию поля вычислить как интеграл по объему:

(6.19)

Это выражение позволяет вычислять энергию магнитного поля различных конфигураций.

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и у п р а ж н е н и я

1.В металле электроны находятся в постоянном тепловом движении. Почему без подключения проводника к источнику ЭДС на такой проводник в магнитном поле не действует сила Ампера?

2.Сила Лоренца, действующая на свободно движущийся электрон, не совершает работы. Сила Ампера есть совокупность сил Лоренца, действующих на отдельные электроны. Почему же сила Ампера может совершать работу?

3.Как при заданной силе тока энергия, накопленная соленоидом, зависит от его геометрических размеров?

4.Как определить направление силы Ампера?

Глава 7. Магнитное поле в веществе

ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА ДЛЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВЕЩЕСТВЕ.

Если в магнитное поле поместить то или иное вещество, то в результате поле изменится. Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, то есть содержит элементарные магниты, которые под действием магнитного поля ориентируются тем или иным образом. В результате внешнее магнитное поле В0 и поле элементарных магнитов вещества В' складываются, образуя результирующее поле:

(7.1)

Здесь под В' и В имеются в виду поля, усредненные по малым объемам вещества. Поле В', как и внешнее поле В0, не имеет источников (магнитных зарядов) в том смысле, что нет таких точек в пространстве, в которых линии этих полей начинались бы или заканчивались. Все линии полей магнитной индукции

46

являются замкнутыми, и поэтому для результирующего поля В, в том числе при наличии вещества, справедлива теорема Остроградского-Гаусса

(7.2)

которая математически формулирует тот факт, что все входящие в произвольную замкнутую поверхность линии магнитной индукции затем ее покидают, то есть дважды пересекают такую замкнутую поверхность. Иначе говоря, полный поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ МАГНИТНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ. ДИАМАГНЕТИКИ И

ПАРАМАГНЕТИКИ. Существуют различные механизмы намагничивания для разных типов веществ. Изменение магнитного поля в веществе описывается с по-

мощью относительной магнитной проницаемости μ:

(7.3)

В диамагнитных веществах μ < 1, а в парамагнитных — μ > 1. Как для диамагнетиков, так и для парамагнетиков величина μ практически не зависит от индукции и слабо отличается от единицы. Поэтому в большинстве технических приложений в таких средах можно считать μ = 1.

Для удобства описания магнитного поля в веществе вводят вспомогательный вектор напряженности магнитного поля Н. Он имеет размерность А/м и связан с вектором индукции магнитного поля В соотношением

(7.4)

Для вектора напряженности закон полного тока приобретает особенно простой вид:

(7.5)

Таким образом, циркуляция вектора Н по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром.

Отметим, что название вектора Н — «напряженность магнитного поля» — носит исторический характер и не отражает его истиной природы, поскольку силовой характеристикой магнитного поля является индукция магнитного поля В.

УСЛОВИЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА МАГНЕТИКОВ. Рассмотрим поведение маг-

нитного поля на границе раздела двух однородных магнетиков.

Для этого мы воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса (7.2) и теоремой о циркуляции (7.5). Найдем с помощью соотношения (7.2) условие для нормальных к поверхности раздела компонент вектора В. Представим себе бесконечно тонкий параллелепипед, расположенный на границе раздела магнетиков, как показано на рис. 7.1. Потоком вектора В через малые боковые грани пренебрегаем. Тогда поток

(7.6)

47

Рис. 7.1. Взаимное расположение поверхностей и векторов индукции на границе раздела магнетиков при расчете потока

В силу (7.2) B = 0. Отсюда следует условие на границе раздела магнетиков для нормальных составляющих магнитной индукции:

(7.7)

Воспользуемся теперь теоремой (7.5) о циркуляции вектора напряженности магнитного поля H для определения поведения его тангенциальных составляющих на границе раздела магнетиков. Для этого выберем бесконечно тонкий прямоугольный контур, как показано на рис. 7.2. Вкладом в циркуляцию малых боковых сторон контура можно пренебречь. Если на границе раздела сред токов проводимости нет (I = 0), то

(7.8)

Рис. 7.2. Взаимное расположение поверхностей и векторов напряженности на границе раздела магнетиков при расчете циркуляции

Отсюда следует условие на границе раздела магнетиков для тангенциальных составляющих напряженности поля:

(7.9)

48

С учетом связи (7.4) между В и Н можно переписать это соотношение в

виде

(7.10)

Таким образом, на границах раздела магнетиков происходит преломление силовых линий поля в соответствии с уравнениями (7.7) и (7.10).

ФЕРРОМАГНЕТИЗМ. МАГНИТНЫЙ ГИСТЕРЕЗИС. Существуют сильно магнит-

ные вещества, для которых μ >> 1. Кроме того, они в отсутствие внешнего поля могут обладать спонтанной, то есть самопроизвольной намагниченностью. Это так называемые ферромагнетики (от лат. ferrum — «железо»). К ним относятся железо, кобальт и многие их сплавы. Характерной особенностью ферромагнетиков является сложная нелинейная зависимость В (Н), показанная на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Характерный вид петли магнитного гистерезиса

Значение В на этой кривой зависит не только от величины Н, но и от предыдущей истории намагничивания. Это явление называется магнитным гистерезисом. Так, если в начале B = 0, то с ростом H намагничивание идет вдоль линии 0-1 (основная кривая намагничивания). При последующем уменьшении внешнего поля до Н = 0 сохраняется остаточная индукция В0. Для полного размагничивания образца требуется приложить магнитное поле противоположного направления Нс, носящее название коэрцитивной силы. При циклическом изменении внешнего магнитного поля в одном, а затем противоположном направлении кривая В (Н) описывает так называемую петлю гистерезиса (линия 12341). Можно показать, что площадь петли гистерезиса равна работе, затрачиваемой на перемагничивание образца:

(7.11)

49

При перемагничивании ферромагнетик выделяет тепло, эквивалентное по величине работе (7.11).

Определение μ из уравнений (7.3) или (7.4) возможно только для диамагнетиков и парамагнетиков. Для ферромагнетиков в любой точке петли гистерезиса μ вычисляется по формуле

(7.12)

Относительная магнитная проницаемость в ферромагнетиках может достигать значений 104—105. С ростом температуры ферромагнетика его способность намагничиваться уменьшается, а при температуре Т = Тc (температуре Кюри) ферромагнитные свойства исчезают.

ДОМЕННАЯ СТРУКТУРА ФЕРРОМАГНЕТИКОВ. Магнитные свойства ферро-

магнетиков определяются наличием в них областей размером 1—10 мкм спонтанного (самопроизвольного) намагничивания. Эти области называются доменами. Поле отдельного домена ферромагнетика не зависит от внешнего магнитного поля. При включении внешнего магнитного поля домены, ориентированные по полю, растут за счет доменов, ориентированных против поля. В более сильных полях происходит одновременная переориентация магнитных моментов в пределах всего образца. Этот процесс является необратимым, и после выключения поля ферромагнетик остается намагниченным. При дальнейшем увеличении поля магнитные моменты всех доменов оказываются ориентированными в направлении H, и дальнейший рост результирующего поля В происходит только за счет роста H (точки 1 и 3 на рис. 7.3). Это явление носит название насыщения. Гистерезисные явления можно понять, приняв во внимание трение на границах доменов, которое затрудняет их выстраивание в одном направлении (по внешнему полю).

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и у п р а ж н е н и я

50