Учебное пособие 1898

iA II iB II 21 iC II .

Перед уравниванием второй группы условных уравнений, имеющей одно полюсное условие, вычисляют новую невязку по углам, исправленным первичными поправками, т.е.

Для нахождения вторичных поправок из второй группы запишем полюс-

ное уравнение с новым свободным членом W

П

Чтобы не нарушить условия фигур, которые уже выполняются после введения первичных поправок, потребуем для вторичных поправок

Тогда из выражения (160) получим

Этому условному уравнению соответствует уравнение коррелат вида

aa k W 0.

П П

Так как для нашего случая имеем ai Ai Bi , то нормальное уравнение коррелат примет вид

Найдем коррелату kП из уравнения (163)

и далее вторичные поправки в связующие углы с учетом выражения (163) как

81

Найденные по формуле (165) вторичные поправки вводят в углы, исправленные первичными поправками, и в результате получают уравненные значения углов, т.е.

изводят окончательное решение треугольников, т.е вычисляют длины сторон всех треугольников. Наметив ходовую линию через все определяемые пункты (KPRO…QK), вычисляют координаты этих пунктов, используя уравненные углы и вычисленные длины сторон.

§32. Уравнивание геодезического четырехугольника

Вгеодезическом четырехугольнике (см. рис.4, а) измерено 8 углов и возникают 4 условных уравнения: уравнение фигуры, два уравнения сумм углов противолежащих треугольников и полюсное уравнение (за полюс примем пересечение диагоналей):

где свободные члены (невязки) вычисляют по формулам

Применяя принцип упрощенного уравнивания, в первую группу отнесем первые три (a, b, c) уравнения системы (166), так как коэффициенты при поправках i в этих уравнениях равны ± 1 (табл. 10).

Таблица 10.

Коэффициенты нормальных уравнений первой группы условных уравнений

82

Далее находим коррелаты

Подставив полученные коррелаты в коррелатные уравнения поправок (114), найдем первичные поправки

Так как в этих формулах присутствует общий член k1, то разобьем первичные поправки на две части:

Введя первичные поправки в измеренные углы, получим первично исправленные углы, т.е. i i i (i = 1, 2, …, 8), по которым вычислим новую

невязку полюсного условного уравнения

83

Наложив дополнительное условие для вторичных поправок

iA iB ,

из уравнения d системы (166) получим

Далее находим (аналогично центральной системе) выражение для вторичных поправок и коррелаты полюсного уравнения геодезического четырехугольника

Введя вторичные поправки в первично исправленные углы, получаем уравненные значения углов, т.е.

i i i .

Зная координаты исходных пунктов P и K (см. рис. 4, а), по вычисленным длинам сторон и уравненным значениям углов вычисляют координаты искомых пунктов R и Q.

§ 33. Уравнивание цепи треугольников между двумя исходными сторонами (базисами)

В этом случае (см. рис.4 в) возникают N условных уравнений фигур, условное уравнение дирекционных углов, базисное условное уравнение и два условных уравнения координат, т.е. всего (N+3) условных уравнений:

84

где невязки вычисляются по формулам:

В соответствии с принципом упрощенного уравнивания в первую группу

Умножив последнее уравнение системы (174) на 3 и вычтя из него все предыдущие уравнения, получим

N

2Nk 3W Wi 0,

i 1

85

где знак «+» перед Wi берется для i - го треугольника, если он лежит вправо от ходовой линии, и знак «–» – если влево.

Обозначив

основании коррелатных уравнений поправок (257) имеем первичные поправки:

Введя первичные поправки из (179) в измеренные углы, найдем первично исправленные углы, по которым вычислим новую невязку базисного условного уравнения

С учетом дополнительного условия для вторичных поправок

iA iB ,

86

т.е. чтобы вторичные поправки не нарушали условия фигур, запишем условное уравнение базисов

Введя вторичные поправки (181) в первично исправленные углы, получаем уравненные значения углов. Затем вычисляют приращения координат по ходовой линии и невязки Wx и Wу, которые распределяют с противоположным знаком на соответствующие приращения пропорционально длинам линий di, т.е.

По исправленным приращениям координат вычисляют координаты определяемых пунктов.

§ 34. Вставка пунктов в угол

Методика выполнения уравнительных вычислений этой системы (рис. 9) сходна с уравниванием цепи треугольников между двумя базисами. В то же время данную систему можно представить как неполную центральную систему с добавлением второго базиса.

Рис.9.Схема к уравниванию вставки пунктов в исходный угол

В рассматриваемой системе вместо условия горизонта (как в центральной системе) возникает условие суммы исходного (твердого) угла, а вместо полюсного условия – условие базиса, подобное этому условию в цепи треугольников между двумя базисами.

Условное уравнение исходного угла запишется как

N

Ci 360 1 2 ,

i 1

отсюда уравнение поправок примет вид

N

iC W 0, (182)

i 1

где

При упрощенном уравнивании в первую группу относят уравнения геометрического вида – условные уравнения фигур (треугольников) и условное уравнение исходного угла, во вторую группу – условное уравнение базиса.

Решением уравнений первой группы определяют первичные поправки углов треугольников. Далее по исправленным первичными поправками углам составляют базисное уравнение, которое решают в той же последовательности, что и при уравнивании сети треугольников между двумя базисами (см. § 34).

§ 35. Окончательные вычисления в геодезических сетях сгущения

Произведя уравнивание типовой фигуры сети сгущения и найдя уравненные значения углов, производят окончательное решение треугольников, т.е. определяют длины их сторон, вычисляют координаты всех пунктов сети, составляют список координат этих пунктов и отчетную схему сети.

Окончательное решение треугольников производят по уравненным значениям углов на основе теоремы синусов, как и при проведении предварительных вычислений (см. § 27). Длины сторон треугольников вычисляют до 0,01 м, погрешность порядка 0,02 – 0,03 м при контроле вычислений обусловливается только погрешностями округления.

Для определения координат пунктов сети намечают на схеме (см. рис. 92, в) ходовую линию между исходными пунктами (MKOP…QR), включающую все определяемые пункты. В свободной сети (см. рис. 4, г) ходовая линия представляет собой полигон (KPRO…QP). Выписав в ведомость координат уравненные углы и вычисленные длины по ходовой линии (из ведомости окончательного решения треугольников), вычисляют дирекционные углы сторон ходовой линии, приращения координат и координаты всех определяемых пунктов сети. Контролем выписки углов и вычисления дирекционных углов является отсутствие угловой невязки. При вычислении приращений координат допуска-

88

ется невязки порядка 0,02 – 0,03 м, которые могут появиться из-за погрешностей округления.

В списке координат пунктов созданной геодезической сети сгущения, кроме координат пунктов, приводят характеристики построенных наружных знаков и центров, выписывают дирекционные углы на все смежные пункты и горизонтальные проложения.

Пункты геодезической сети наносят по координатам на отчетную схему, которую обычно составляют в масштабах 1:10 000 или 1:25 000, в зависимости от протяженности сети.

89

Глава 8. УПРОЩЕННОЕ УРАВНИВАНИЕ СЪЕМОЧНЫХ СЕТЕЙ

Съемочное плановое обоснование строится в виде одиночных теодолитных ходов, проложенных между исходными пунктами, в виде полигонов, сетей микротриангуляции, систем ходов с узловыми точками, систем полигонов и т.п. Высотное съемочное обоснование обычно совмещают с точками планового обоснования и строят как одиночными ходами между исходными пунктами, так и в виде систем ходов с узловыми точками, систем полигонов и их комбинаций.

Рассмотрим случаи упрощенного уравнивания ходов и систем ходов высотных и плановых съемочных сетей.

§ 36. Уравнивание одиночного нивелирного хода

Одиночный нивелирный ход между двумя исходными пунктами содержит единственное избыточное измерение. В этом случае имеем одно условное уравнение поправок

n

hi Wh 0, (183)

i 1

где hi – поправка в i - ое превышение хода (i = 1, 2, …, n);

n

Wh hi Hкон Hнач , i 1

здесь Нкон и Ннач – высоты (отметки) исходных (конечного и начального) пунктов.

Искомые поправки отыскивают путем распределения полученной невязки с обратным знаком пропорционально обратным весам измеренных превышений.

Обозначив обратные веса измеренных превышений как

С учетом выражения (185) получим

90