Учебное пособие 1874

параболы помещается в точке (, ), ее осью служит прямая х = . При а > 0 вершина наинизшая точка параболы, при а < 0 наивысшая.

Пример. Построить графики функций: а) у=2х*+4х—6;

б) y x2 4x .

Решение. а) Преобразуем квадратный трехчлен:

Проведем теперь исследование квадратного трехчлена, т. е. выясним его свойства в зависимости от числовых значений коэффициентов а, b, с в его выражении (5.2.1).

Обозначим в равенстве (5.2.2) величину b2 - 4ac через d:

d = b2 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена. Свойства трехчлена (5.2.1) (и расположение его графика) определяются знаками дискриминанта d и старшего коэффициента а.

Парабола расположена в нижней полуплоскости

(у < 0; рис. 45,6).

3) a > 0, d > 0. Вершина О' лежит ниже оси Ох, парабола пересекает ось Ох в двух точках x1, x2 (рис. 45, б).

76

4) а < 0, d > 0. Вершина О' лежит выше оси Ох, парабола снова пересекает ось Ох в двух точках x1, x2 (рис.

45, г).

5)а > 0, d = 0. Вершина лежит на самой оси Ох, парабола расположена в верхней полуплоскости (рис. 45, д).

6)a < 0, d = 0. Вершина снова лежит на оси Ох, но парабола расположена в нижней полуплоскости (рис. 45, е).

Выводы. Если d < 0, то график функции весь лежит либо выше (при а > 0), либо ниже (при а < 0) оси абсцисс. Функция у = ax2 + bх + с с d < 0 знакопостоянна. Если d = 0, то положение отличается лишь тем, что вершина параболы лежит на оси Ох (функция знакопостоянна, но в одной точке обращается в нуль). Если d > 0, то функция знакопеременная (график частью лежит ниже, частью выше оси Ох). Квадратный трехчлене d > 0 имеет два корня (нуля) x1, x2 . При а > 0 он отрицателен в интервале между корнями

(рис. 45, е) и положителен вне этого интервала. При а < 0 он положителен в интервале между корнями) (рис. 45, г) и отрицателен вне этого интервала.

Все эти сведения будут использованы в теории квадратных уравнений и при решении квадратных неравенств.

77

ad bc = 0, то числитель и знаменатель в записи формулы, задающей функцию, пропорциональны и при всех значениях х d/c функция сводится к постоянной: y = а/с. Этот случай естественно исключить.

5.3. Преобразование симметрии. Сжатие и растяжение графика.

Если имеется график функции y = f(x), то нетрудно построить графики функций y = f(x), y = f( x), y = f( x). Эти графики будут симметричны с графиком функции y = f(x) относительно оси Ох, оси Оу, начала координат соответственно. Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) y = f(x); точки этого графика будут симметричны сточками графика функции y = f(x) относительно оси Ох (каждой точке (х, f (х)) отвечает точка (х, f(x)), симметричная с ней).

79

2) y = f( x); в этом случае область определения функции y = f( x) состоит из точек оси Ох, симметричных с точками области определения функции

3) y = f( x); точки этого графика будут соответственно расположены симметрично точкам (х, f (х)) графика у = f (х) относительно начала координат.

На рис. 47 показан график некоторой функции y = f(x) и графики функций y = f(x), y = f( x), y = f( x).

По графику функции y = f(x) можно также построить график функции

положительного после преобразования симметрии, рассмотренного только что).

Ясно, что график функции y = af(x) получится из графика функции у = f(x) умножением всех ординат на одно и то же число (так получались, например, графики функций y ax2 по графику функции у = x2). Если > 1 (например, = 2, как на рис. 48), то можно сказать, что график растягивается в

координатами (х, у) можно поставить в соответствие точки графика y = f(ax) с теми же ординатами у и абсциссами х/ в а раз меньшими, чем абсциссы х графика y = f(x). Так, в случае = 2 мы будем получать равные значения функций y = f(x) и y = f(2x), выбирая для второй вдвое меньшие абсциссы, чем для первой. При 0 < < 1 действие деления абсцисс х на приведет не к

80

уменьшению (сжатию), а к увеличению [(растяжению) абсцисс. На рис. 49 показаны график некоторой функции y = f(x) (заданной на сегменте [a, b]) и графики функций y = f(2x), y = f(x/2). Заметим, что сама область оси Ох, в которой задана функция y = f(x), соответственно растягивается или сжимается.

Рассмотренные преобразования могут осуществляться одновременно в разных сочетаниях. Так, чтобы по графику функции y = f(x) построить график функции y 3 f x , следует

выполнить преобразования: 1) сжатия в направлении Ох в два раза, 2) растяжения в направлении оси Оу в три раза, 3) отражения относительно оси Ох.

Преобразования сжатия (растяжения) в направлениях осей Ох и Оу встретятся, например, при построении графиков некоторых тригонометрических функций.

5.4. Построение графиков функций у = | f(x) |, y = ( |х| ), y = | f( |x| ) |.

Если дан график функции y=f(x), то легко можно получить и графики функций у = | f(x) |, y = ( |х| ), y =

| f( |x| )|;

1) у = | f(x) |; ясно, что область определения у этой функции та же, что и у функции у = f (х). Если для данного х значение f x 0 , то ординаты обоих графиков совпадают, графики имеют общую точку. При

f(х) < 0, в силу определения модуля (п. 6), |f(x)| = f(x) и точки графиков симметричны относительно оси Ох. Таким образом, все точки графика функции y = f(x), лежащие выше оси абсцисс и на ней, принадлежат также и графику функции y = |f(x)|, все точки графика функции y = f{x), лежащие ниже оси абсцисс, нужно зеркально отразить относительно этой оси, чтобы получить точки графика функции y = |f(x)|, соответствующие тем же абсциссам (рис. 50).

2) Для построения графика функции y = f(|x|) заметим, что при всех х >= 0 будет |х| = х и, значит, f (|x|) = f (х). Таким образом, все точки графика функции y = f(x), расположенные в правой полуплоскости, будут принадлежать также и графику функции у = f(|x|). Далее, функция y = f(|x|) четная (п. 4.4).

81

графику функции y = f(x) нужно сохранить без изменения часть данного графика, расположенную в правой полуплоскости, и зеркально отразить ее относительно оси ординат (при этом часть графика

y = f(x), расположенную в левой полуплоскости, нужно отбросить). Соответствующая иллюстрация дается на рис. 51.

3) Для построения графика функции у = | f (| х |)| следует последовательно перейти от графика функции у = f (х) к графику функции y = f(|x|), а затем от него к графику y = | f ( |x| ) |. Пример показан на рис. 52.

Пример 1. Построить графики следующих функций: а) у = х—1;

б) y = |х—1|; в) у = |х| 1; г) y = || x | - 1|.

Решение. Каждая из заданных функций определена на всей оси абсцисс. В качестве основного возьмем график функции у = х 1 и из него подходящим преобразованием получим все другие требуемые графики.

а) График линейной функции у = х 1 изображен на рис. 53, а.

б) Для построения графика функции у = |х 1| следует часть графика функции у = х 1, лежащую ниже сси Ох, зеркально отразить в оси Ох (рис. 53,6).

в) В соответствии с общим правилом построения графика функции

y = f(|x|) по графику функции y = f(x) поступаем так: берем график функции у = х 1; часть его, лежащую левее оси Оу, отбрасываем, а часть, лежащую правее оси Оу, зеркально отражаем в оси Оу. В результате получаем график функции (рис. 53, б).

82

г) Пользуясь уже имеющимся графиком функции у = |х| 1, получаем график у =| |х| 1|, как показано на рис. 53, г.

83

которых нам знакомы или легко могут быть построены. В этом случае можно применить прием графического сложения ординат этих графиков (для краткости говорят просто о сложении графиков). Покажем этот прием на примерах.

у = х3 и у = 2x + 2, графики которых нам хорошо знакомы. Они изображены на рис. 56 тонкими линиями: это прямая у = 2x + 2 и кубическая парабола у = х3. Далее производится суммирование ординат: к ординатам точек кубической параболы прибавляются (с учетом знака!) ординаты точек прямой. При выполнении этой операции удобно пользоваться мерительным циркулем; следует использовать наиболее важные и характерные точки каждого из графиков (в нашем примере вершину О(0, 0) параболы, точки пересечения прямой с осями и т. д.).

Итогом построения служит график, показанный жирной линией. Мы можем многое сказать о функции: она имеет максимум и минимум, обращается в нуль в одной точке и т. д. Положение этих характерных точек ее графика мы могли бы найти приближенно по чертежу.

Пример 2. Построить график функции y 2x 2x .

Решение. График данной функции можно получить сложением графиков показательной функции y 2 x (п. 4.13) и линейной функции у = 2х (п. 4.9).

Это сделано на рис. 57.

График пересекает ось Ох в точках х = 1, х = 2, являющихся нулями функции y 2x 2x .

Обратим еще внимание на то, что прямая у = 2х является асимптотой графика (так как при х, стремящемся к

минус бесконечности, разность между значениями функций y 2x 2x и у = 2х стремится к нулю). Из построения видно, что функция имеет точку минимума, найти ее точное положение для нас затруднительно.

функция определена для всех значений х и является четной. Она обращается в

85