Учебное пособие 1850

В силу условия неразрывности для несжимаемой жидкости через верхнюю границу АС должно втекать такое же количество жидкости.

На границе пограничного слоя скорость жидкости VX Vo , где Vo – составляющая скорости потенциального

потока.

Поэтому втекающая через поверхность АС жидкость внесет следующее количество движения:

Подсчитаем количества движения жидкости, вносимые и уносимые через участки АВ и СD.

Через участок АВ вносится следующем количество движения:

Следовательно, через участки АВ и СD в направлении оси x уносится следующее количество движения:

Таким образом, общее изменение количества движения жидкости в объеме АВСD равно:

Вычислим импульсы внешних сил за тот же промежуток времени dt в направлении оси х.

На объем АВСD в направлении оси х будут действовать силы давления, приложенные к левой верхней и правой граням объема, и сила трения, приложенная к нижней грани ВD.

51

Силы трения, приложенные к левой и правой граням, дают проекцию на ось х, равную нулю, а на верхней грани АС силы трения отсутствуют в силу самого определения внешней границы пограничного слоя.

Сумма проекций на ось х сил давления, действующих на грани АВ, АС, СD, равна

осью х. Их импульс за время dt :

dPdx dxdt.

На границе ВD действует сила трения, направленная влево, величину которой, отнесенную к единице площади, обозначим через 0 .

Импульс силы трения за время dt равен:

0 dxdt

Как известно, изменение количества движения жидкости равно импульсу сил.

Следовательно,:

Полученное соотношение пригодно для изучения как ламинарного, так и турбулентного движения жидкости внутри пограничного слоя, так как при его выводе не делалось никаких предположений о природе касательного напряжения

0 .

Входящие в интегральное соотношение пограничного слоя величины V0 , dPdx и плотность можно рассматривать как известные величины, и тогда неизвестными будут только

VX ,и 0 .

52

Таким образом, для решения задачи необходимо иметь еще два соотношения. Например, VX VX y и 0 0 .

4.3. Расчет ламинарного пограничного слоя для плоской пластины

Допустим, что плоский поток, текущий со скоростью V0 const , обтекает пластину длиной l (рис. 4.3).

Сверху и снизу пластины будет образовываться пограничный слой, толщина которого является функцией координаты х, отсчитываемой от передней кромки пластины.

Задача сводится к следующему.

Зная кинематический коэффициент вязкости жидкости, скорость V0 набегающего потока и длину пластины l , определить закон изменения толщины пограничного слоя,

53

соотношению пограничного слоя для установившегося течения:

пограничного слоя.

Можно показать, что давление P внутри пограничного слоя по нормали к поверхности тела не изменяется, и, следовательно, P const и dPdx 0 и внутри пограничного

слоя.

Таким образом, интегральное соотношение принимает

вид:

Для того чтобы вычислить толщину пограничного слоя и силу сопротивления, приложенную к пластине, требуются еще два дополнительных соотношения, в качестве которых можно взять закон распределения скорости VX по толщине пограничного слоя и уравнение, связывающее касательное

54

VX a by cy2 dy2

где a,b,c, d – неизвестные пока коэффициенты.

Этот метод впервые был предложен немецким ученым Польгаузеном.

Для определения коэффициентов a,b,c, d обратимся к

граничным условиям.

Граничные условия будут двух видов:

кинематические, налагаемые на скорости на границах пограничного слоя, и динамические, налагаемые на силы внутреннего трения. Составим эти граничные условия.

Так как на нижней границе пограничного слоя скорость равна нулю, то VX y 0 0 .

На верхней границе пограничного слоя VX становится равной скорости потенциального потока V0 ,следовательно,

VX y V0

На верхней границе пограничного слоя сила внутреннего

dy y

Четвертое граничное условие можно получить из дифференциальных уравнений пограничного слоя, получаемых из общих уравнений движения жидкости, уравнений НовьеСтокса.

коэффициенты a,b,c, d и получить следующее выражение для определения скорости в пограничном слое:

55

Итак, первое необходимое дополнительное соотношение найдено.

Второе дополнительное соотношение найдем, используя закон Ньютона для внутреннего трения при ламинарном течении:

dVX

Используя значение VX , получаем:

3 V0

0 2

Подставляя VX и 0 в интегральное соотношение, после преобразований его можно записать в виде:

После интегрирования имеем соотношение

Так как при x 0 толщина пограничного слоя 0 , то следовательно, C 0 .

Таким образом,

4,64 x .

V0

Из полученного соотношения следует, что внешняя граница пограничного слоя представляет собой параболу второй степени.

Толщина пограничного слоя и растет с увеличением х и убывает с ростом скорости V0 набегающего потока.

Более точные методы дают следующую зависимость для закона изменения толщины пограничного слоя:

56

действующую на одну сторону пластины шириной b . На единицу поверхности пластины действует сила

откуда полная сила трения, действующая на одну сторону пластины равна:

57

Следовательно, для случая ламинарного пограничного слоя коэффициент трения плоской пластины равен:

1,3 CXтр Re

Аналогично можно провести расчет для турбулентного течения на пластине и для смешанного течения.

Результаты этих расчетов приведены в рекомендованной литературе.

4.4. Пограничный слой на криволинейной поверхности

При обтекании криволинейной поверхности скорость V0 на внешней границе пограничного слоя будет величиной

переменной, зависящей от координаты х.

Как следует из уравнения Бернулли, давление на внешней границе пограничного слоя, а стало быть, и в пограничном слое также будет функцией координаты х.

Рассмотрим поток, обтекающий криволинейную поверхность, например, профиль крыла (рис. 4.4).

Обозначим через V и P соответственно

скорость и давление набегающего потока вдали от профиля крыла (на бесконечности).

На верхней поверхности профиля скорость вначале возрастает (до некоторой точки М), а затем убывает.

Рис. 4.4 На основании уравнения Бернулли давление, наоборот, будет вначале убывать, а затем возрастать.

58

В точке М скорость будет максимальной, а давление – минимальным.

Следовательно, частицы жидкости в пограничном слое около рассматриваемой криволинейной поверхности будут двигаться при наличии градиента давления dPdx как отрицательного, так и положительного по знаку.

Этот факт существенно отличает пограничный слой около криволинейной поверхности от пограничного слоя вдоль плоской пластинки, где dPdx 0 .

Учитывая эту особенность пограничного слоя около криволинейной поверхности, можно выяснить причины отрыва потока от обтекаемого тела и образования вихрей, срывающихся с обтекаемой поверхности.

При течении вязкой жидкости касательная и нормальная составляющие скорости в точках поверхности обращаются в нуль.

На некотором небольшом удалении от поверхности течение жидкости мало отличается от течения идеальной жидкости, при котором нормальная составляющая скорости на поверхности тела обращается в нуль, а касательная отлична от нуля. Имея это в виду, приходим к выводу, что изменение касательной составляющей скорости вдоль нормали к поверхности тела должно иметь вид, изображенный на рис. 4.4 (точка А). Таким образом, при течении вязкой жидкости частицы в пограничном слое притормаживаются силами вязкости и притом тем в большей степени, чем ближе траектория частицы проходит к поверхности тела.

Кроме этого, мы установили: градиент давления dPdx

для случая криволинейной поверхности отличен от нуля и, что важно, в кормовой части тела перепад давления направлен в сторону, противоположную основному движению жидкости dPdx 0 , так как в этой части давление возрастает по

потоку.

59

Поэтому, попадая в область задней части тела, где давление возрастает, частицы начинают получать ускорение в направлении, противоположном основному их движению.

Это дополнительное притормаживание, очевидно, особенно сильно скажется на частицах, движущихся в непосредственной близости от тела, так как их кинематическая энергия в сравнении с другими частицами и так уменьшена силами вязкости.

В результате касательная скорость ряда частиц обратится в нУЛЬ на некоторой линии SD (рис. 4.4), а в области DSE касательная скорость изменит знак, т.е. возникает возвратное движение жидкости в пограничном слое.

Возникновение этого возвратного движения приведет к отрыву частиц жидкости от поверхности тела и к образованию вихрей.

Два столкнувшихся слоя жидкости, сорвавшись с поверхности тела, свертываются и образуют вихри.

Точка поверхности тела, начиная от которой поток срывается с обтекаемого тела, называется точкой отрыва пограничного слоя. Условно принимают, что

слева от точки отрыва S производная:

справа от точки S производная

в самой точке S производная

Таким образом, точка S отрыва пограничного слоя характеризуется равенством нулю производной

60