Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1733

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 242 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

dx =

d (ax + b); nxn-1dx = dx n ;

cos xdx = d (sin x );

sin xdx = -d (cos x);

= d (ln x ;)

= d (tg x );

cos2 x

= -d (ctg x);

= d (arctg x );

sin2 x

1+ x2

= d (arcsin x); ex dx = d (ex

1- x2

их возможные комбинации и обозначая мысленно выражение в скобках за новую переменнуюt, интегралы сводятся к табличным.

2.1. Найти интегралы: а) òe

-2x

dx;

б) ò

;

cos2 4x

2 x

в) ò(2 - 3x)5 dx; г) ò

dx; д) ò

; е) ò

dx.

3 6 -5x

1- 6x

3 - 2e2x

Решение. а) Вносим (-2) под знак дифференциала и делим

на (-2), тогда интеграл равен

òe-2x dx = -

òe-2 x d (-2x )

= -

e-2 x + C.

б) Приводим к одному аргументу 4х

d (4x)

tg 4x + C.

cos2 4x

в) Запишем

под

знаком

дифференциала

такое

же

выражение, что и в скобках

ò(2 -3x)5 dx = - 13ò(2 -3x )5 d 2( -3x ) =

=- 1 (2 -3x)6 + C = - 1 (2 - 3x)6 + C.

3 6 18

г) Преобразуем интеграл следующим образом

= ò(6 -5x)-

dx = -

ò(6 - 5x)-

d (6 - 5x )

= -

(6 -5x )

+ C.

6 -5x

д) Запишем под знаком дифференциала выражение

такое же, что и в знаменателе, тогда

= -

d (1- 6x)

= -

1- 6x

+ C.

- 6x

1- 6x

е) Преобразуем интеграл следующим образом

2 x

(

-2e2 x

= -

)

2 x

3 - 2e

2 x

3 - 2e

4 3 - 2e

= -

(3 - 2e2 x )

= -

3 - 2e

+ C.

3 - 2e

2 x

2.2. Найти интегралы: а) ò

cos x

dx; б) ò

;

1+ 4sin x

x (1

+ ln x)

e x dx

sin x

x2dx

в) ò

; г) ò x

dx; д)

dx; е) ò

cos5 x

9 + x6

Решение. а) Вносим косинус под знак дифференциала и

преобразуем интеграл к табличному

d (4sin x)

cos x

dx = ò

d sin x

+ 4sin x

1 + 4sin x

(1+ 4sin x)

1+ 4sin x

+ C.

1+ 4 sin x

б) Выполнив преобразование дифференциала, получим

= ò

d ln x

= ò

d (1+ ln x)

= ln

1+ ln x

+ C.

x (1

+ ln x)

1+ ln x

1 + ln x

в) Вносим x под знак дифференциала

e x

dx = 2òe x d x = 2e x + C.

г) Преобразовав дифференциал, получим

ò x2ex3 dx =

òex3 dx3 =

ex3 +C.

д) Вносим синус под знак дифференциала и преобразуем

sin xdx

= -ò

d cos x

= -òcos

-5

xd cos x

cos

-4

x + C.

cos

е) Вносим x2

под

знак

дифференциала и

преобразуем к

табличному виду

x2dx

dx3

arctg

+ C.

32 + (x3

)

9 + x

2.3. Найти интегралы: а) ò

; б) ò

xdx

;

(arcsin x)

1 - x

1 + x

в) ò

x +1

dx; г) ò

sin 2xdx

; д) òe

sin2 x

sin 2xdx;

+ 2x

+ cos

+ 3

е) ò

x3dx

; ж)

1- tg x

dx; з)

arctg

dx.

(

)

1- x

1+ tg x

+ x

x 1

Решение. а) Преобразуем

дифференциал

приведем

интеграл к табличному виду

= ò

d arcsin x

(arcsin x)3

1 - x2

(arcsin x)3

= ò(arcsin x)-3 d arcsin x = -

+ C.

2 (arcsin x)

б) Вносим

под

знак

дифференциала

преобразуем

интеграл к табличному

xdx

dx2

+ C.

x2 + 1+ (x2

1+ x4

1+ (x2

2) 2

в) Выполнив преобразования, получим

x +1

dx =

2x + 2

dx =

+ 2x + 3

d (x2 + 2x + 3)

+ 2x + 3

+ C.

+ 2x

+ 3

г) Вносим sin 2x под знак дифференциала и преобразуем

sin 2xdx

d cos2 x

-1/ 2

= -ò

= -ò(1+ cos

d (1+ cos

x)=

1+ cos

= -2 1+ cos2 x

1/ 2

+ C.

(

)

д) Вносим под знак

дифференциалаsin 2x

следующим

образом

òesin2 x sin 2xdx = òesin2 x d sin2

x = esin2 x

+ C.

е) Вносим x3

под

знак

дифференциала

преобразуем

интеграл к табличному

x3dx

dx4

arcsin x4 + C.

1-(x4

)

1- x

ж) Преобразуем подынтегральную функцию

1 - tg x

dx = ò

cos x - sin x

dx = ò

d (cos x + sin x)

= ln

cos x + sin x

+ C.

1+ tg x

cos x + sin x

cos x +sin x

з) Преобразуем дифференциал следующим образом

arctg

dx = 2ò

d x =

2ò

x =

x (1+ x)

1+ x

1+ ( x 2

= 2òarctg

xd arctg

x = (arctg

x )2

+ C.

1.3. Интегрирование методом замены переменной

1°.

Пусть

требуется

найти интеграл f (x)dx , причем

непосредственно подобрать первообразную для f ( x ) мы не можем. Сделаем замену переменной в подынтегральном

выражении x = j(t) , j(t) непрерывная функция, имеющая

обратную производную x =	dt	=	1	. Тогда dx = j¢(t )dt.

	dx		j¢(t )

Вэтом случае имеет место следующее равенство

òf (x)dx = ò f (j (t ))j¢(t )dt.

Если	полученный	интеграл	с	новой	переменно
интегрирования t будет найден, то преобразовав				результат	к

переменной x , получим искомое выражение.

Общего правила выбора требуемой подстановки , нет поэтому некоторые частные правила рассмотрим на примерах.

2°. Тригонометрические подстановки.

Если интеграл содержит радикал a2 - x2 ,

то обычно

полагают x = a sin t Ú x = a cost; отсюда

a2 - x2

= a cost Úasin t.

Если интеграл содержит радикал

x2 - a2 , то полагают

x =

; отсюда

x2 - a2 = a tg t.

cos t

Если интеграл содержит радикал

x2 + a2 , то полагают

x = a tg t; отсюда

x2 + a2 =

cos x

3°. Некоторые другие подстановки:

Интегралы

вида òR (ex )dx,

где R

—

некоторая

рациональная

функция,

приводятся

рациональному

алгебраическому виду подстановкой ex = t, x = ln t,

dx =

)dx

Интегралы

вида òR (ln x

где R

—

некоторая

рациональная

функция,

приводятся

рациональному

алгебраическому виду подстановкой ln x = t, dx = dt. x

Интегралы

вида ò

приводятся

(ax2

+ b)

рациональному виду подстановкой x =

dx = -

3.1. Найти интегралы: а) ò x (2x + 3)

dx; б) ò

;

- 2

в) ò

tg x

dx; г) òsin

x +1

; д) ò

1 -ln x

dx; е)

x +1

dx.

sin 2x

x +1

xln x

x +1

Решение. а) Сделаем замену переменной 2x + 3 = t,

x =

t - 3

dx = 1 dt, тогда будем иметь

I = òx (2x + 3)9 dx = 14 ò(t - 3)t 9dt = 14 ò(t10 - 3t 9 )dt =

=	1 æ t11			-	3	t	10	ö	+ C =	1	t	10	æ		t	-	3 ö		+ C.
		ç						÷					ç					÷
	4		11		10					4				11			10
		è						ø					è					ø

	Переходя к переменной x, получим
	1	10	æ 2x + 3			3	ö		1	10
I =		(2x + 3)	ç		-		÷	+ C =		(2x + 3) (2x - 27 /10 )+ C.
	4			11		10			44
			è				ø

б) Сделаем

замену

переменной

= t,

x =

, dx = -

t 2

тогда получим

I = ò

= -ò

= - - ò

x x

- 2

2 1 1-

1 - 2t

d (

2t )

= -

arccos (

+ C).

1- (

2 )

Переходя к переменной x, будем иметь

I =

arccos

+ C.

в) Преобразуем подынтегральную функцию

I = ò

ln tg x

dx =

ln tg x

dx =

ln tg x

sin x

sin 2x

sin x cos x

cos2 x

cos x

сделаем

заменуtg x = t,

= dt ,

тогда

получим

cos2

ln t

I =

dt.

Сделаем

еще

одну

заменуln t = z,

= dz,

тогда

будем

иметь I =

ò zdz =

z2 + C. Перейдем теперь к переменной x

I =

ln2 t + C =

ln 2 tg x +C.

г)

Сделаем замену

переменной x +1 = t2 , dx = 2tdt,

тогда

получим

tdt

I = òsin

x +1

= 2òsin t

= 2òsin tdt = -2 cos t +C.

x +1

Переходя

переменнойx,

будем

иметь

I = -2cos

x +1 + C.

д) Сделаем замену ln x = t,

= dt,

тогда получим

I = ò

1- ln x

dx = ò

1-t

dt.

x ln x

Чтобы избавиться от радикала сделаем еще одну замену переменной 1-t = z2 , t =1- z2 , dt = -2zdz, тогда будем иметь

I =

2z2 dz

-1+1

dz = 2

= 2

ç1

ò z2 -1

	1		ö	æ	1		z -1	ö
			÷dz = 2	çz +		ln		÷	+C.
z	2	-1			2		z +1
			ø	è				ø

Теперь перейдем к переменной х

1-t -1

I = 2ç 1-t +

÷ + C =

1- t +1

= 2 1- ln x + ln

ln x + 2 1- ln x - 2

+ C.

ln x

е) Сделаем замену

переменнойx = t2 ,

dx = 2tdt, тогда

получим

I = ò

x +1

dx = 2ò

t 2 +1

tdt = 2ò

t3 + t

dt.

x +1

t +1

Деля числитель на знаменатель, выделим целую часть в

подынтегральной функции

t3 + t

= t

- t + 2 -

Таким образом

t +1

æ t3

I = 2

çt

- t + 2 -

÷dt =

2 ç

+ 2t - 2 ln

t +1

÷+ C.

òè

t +1

Переходя к переменной x, окончательно получим

æ x

I = 2ç

+ 2 x

- 2 ln

x +1

÷ + C.

x2dx

3.2. Найти интегралы: а) ò

;

б)

;

- x

в) ò

x2 - a2

dx .

Решение. а) Сделаем замену x = sin t, тогда dx = cos tdt

1- x2 = cos t.

Подставим

эти

выражения

под

знак

интеграла, проинтегрируем и перейдем к старой переменной

dx =

sin2 t cos t

dt = òsin2 tdt =

ò(1- cos 2t )dt =

1- x

cos t

	1	æ	1	ö		1	(t - sin t cos t )+ C =
=		çt -		sin 2t ÷	+ C =
=	2	çt -	2	sin 2t ÷	+ C =	2
	2	è	2	ø		2

(t - sin t

1- sin2 t )+ C =

(arcsin x - x

1 - x2 )+ C.

б) Сделаем з а м е н у x = tg t, тогда dx =

cos2 t

x2 +1 =

Переходим

под

знаком

интеграла

к новой

cos t

переменной

cos tdt

= ò

= ln

+ C

= ln

sin t

+ C =

x x

tg t cos

sin t

1 +cos t

= ln

tg t

+ C

= ln

+ C.

1+ 1+ x2

в) Сделаем замену x =

тогда dx =

a sin t

dt и

cos t

cos2 t

x2 - a2

= a tg t. Преобразуем интеграл к новой переменной

- a

a tg t cos t × a sin t

1- cos

2 t

dx = ò

dt = aò tg tdt = aò

dt =

a cos

cos

1- cos2 t

= a

= a (tg t - t )+ C = a ç

- t

÷+ C =

ò cos

cos t

x2 - a2

- a arccos

+ C.

e2 x -3ex

e3x

3.3. Найти интегралы: а) ò

dx; б) ò

dx;

(

3 x

)

1+ e

в)

;

г)

;

д)

exdx

ò(ax2 + b)3/ 2

ò e2x - 6ex

ò x2 3x2 + 2

+13

Решение. а) Делаем замену ex = t,	тогда dx =	dt	и
		t
интеграл примет вид

e2 x -3ex

t 2 -3t dt

t -3

tdt

dx = ò

= ò

dt = ò

- 3

+1 t

(

+1 t

t 2

)

- 3 arctg t =

ln (t

+1)- 3 arctg t + C =

t2 +1

(

)

e2 x +1

-3 arctg ex +C.

б)

Делаем

замену e3x

= t,

тогда dx =

интеграл

примет вид

3 t

e3 x

dx =

ò(1

+ t )

-2

d 1(+ t ) =

1+ e3 x

)

(1+ t )2

(

= -

+ C = -

+ C.

3(1+ t )

3 1+ e3x

)

(

в)

Воспользуемся

подстановкой x =

, dx = -

тогда

t 2

получим

tdt

= -ò

= -

ò(3

+ 2t

)

-1/ 2

d (3 + 2t

+ 2

3 + 2t

= -

3 + 2t2 + C = -

3x2 + 2

+ C.

г)

Используем подстановку x =

dx = -

, тогда

будем

иметь

t 2

tdt

= -ò

= -

ò(a + bt 2 )-3/ 2 d (a + bt2 )=

(ax2 + b)

3/ 2

(a + bt 2 )

3/ 2

<<< < Предыдущая 12 / 242 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.9 Mб4Учебное пособие 1729.pdf
#
30.04.2022311.71 Кб3Учебное пособие 173.pdf
#
30.04.20221.9 Mб3Учебное пособие 1730.pdf
#
30.04.20221.92 Mб9Учебное пособие 1731.pdf
#
30.04.20221.92 Mб2Учебное пособие 1732.pdf
#
30.04.20221.92 Mб4Учебное пособие 1733.pdf
#
30.04.20221.93 Mб4Учебное пособие 1734.pdf
#
30.04.20221.93 Mб4Учебное пособие 1735.pdf
#
30.04.20221.93 Mб8Учебное пособие 1736.pdf
#
30.04.20221.93 Mб12Учебное пособие 1737.pdf
#
30.04.20221.93 Mб6Учебное пособие 1738.pdf