Учебное пособие 1722

Решение ищем по формулам Крамера. Находим определитель системы

Так как определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение x = DDx , y = DDy , z = DDz .

= (−4)2 +52 + (−3)2 = 5 2.

Таким образом, H = VS = 5342 = 175 2 .

82

3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

3.1. Координаты точки на прямой и на плоскости. Длина и направление отрезка

1°. Координатой точки М на оси х называется положительное или отрицательное число, отложенное, соответственно, вправо или влево от начала координат в выбранном масштабе.

Декартова или прямоугольная система координат

представляет совокупность двух взаимно-перпендикулярных осей; оси абсцисс Ох и оси ординат Оу (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Декартовыми координатами точки М называются проекции радиус-вектора ОМ на оси координат (х, у).

Направленным отрезком на оси называется отрезок, у которого определены начало М1 (х1 ) и конец М2 (х2 ). Здесь

х1, х2 − координаты начала и конца отрезка.

2°. Величина отрезка на оси равна его длине М1М2 = М1М2 ,если направление отрезка совпадает с осью; в противном случае величина отрезка равна его длине со знаком минус М1М2 = − М2 М1 . Через координаты величина отрезка определяется по формуле

а длина или расстояние между двумя точками

83

координатами своего начала М1 (х1, у1 )и конца М2 (х2 , у2 ), равна

Если начало отрезка совпадает с началом координат, то формула (3) примет вид

3°. Пусть ϕ и ψ - углы, составляемые отрезком с

положительными направлениями осей координат Ох, Оу, тогда направление отрезка определится заданием косинусов этих углов

1.1. Построить на числовой оси точки А(-4), В(5), и С(1), найти величины отрезков АВ, ВС и АС на оси, длину отрезка ВС и проверить равенство АВ + ВС - АС.

Решение. На оси х в выбранном масштабе откладываем от начала координат соответственно точки А,В и С (рис .3.2). Величины отрезков находим по формуле (1)

Рис. 3.2

АВ = хВ − хА = 5 −(−4)= 9, ВС = хС − хВ =1−5 = −4, АС = хС − хА =1−(−4)= 5.

Длину отрезка ВС находим по формуле (2) d = BC = xC − xB = −4 = 4 .

84

Подставляя найденные величины отрезков на оси в доказываемое равенство, получим 9+(-4) = 5, 5 = 5.

1.2.Даны точки А(-1,-3) и В(4,2). Найти длину отрезка

иего направление.

Решение. Длину отрезка, заданного координатами своего начала и конца находим по формуле (3)

d = AB = (4 +1)2 +(2 +3)2 = 50 = 5 2.

Направляющие косинусы находим по формулам (5)

cosϕ = 54 +21 = 12 = 22 ; cosψ = 25 +23 = 22 .

Отсюда угол с положительным направлением оси Ох равен ϕ = 45D , а оси Оу равен ψ = 45D .

1.3. Найти точку, удаленную от оси Оу и от точки А(1,2) на 5 единиц.

Решение. Геометрическим местом точек удаленных от оси Оу и точки А будет прямая параллельная оси Оу и отстоящая от оси на расстоянии 5 единиц (рис. 3.3), т. е. х = 5 . Пусть точка M(5, у) искомая точка, тогда по формуле (3)

5 = (5 −1)2 +(y −2)2 , откуда 25 =16 +(y −2)2 или (y −2)2 = 9.

Рис. 3.3

85

М1 (5,5), М2 (5, −1).

1.4.Найти центр и радиус окружности, описанной

около треугольника с вершинами А(2,1), В(−3, 2),С(−1,1).

Решение. Обозначим координаты центра окружности О за х, у, а радиус за R, тогда по формуле (3) будем иметь

R2 = (x −2)2 +(y −1)2 , R2 = (x +3)2 +(y −2)2 , R2 = (x +1)2 +(y −1)2 .

Вычитая из первого третье уравнение, находим, что x = 12 .

Подставляя x = 12 во второе и третье и вычитая из второго

параллелограмм.

Решение. Известно, что четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, есть параллелограмм.

Докажем равенство противоположных сторон АВ и CD (ВС и DA) Найдем длины этих сторон

dAB = (xB − xA )2 +(yB − yA )2 = (−2 −1)2 +(1−5)2 = 5,

dCD = (xD − xC )2 +(yD − yC )2 = 32 +42 = 5.

Следовательно, АВ = CD.

86

Аналогично:

dBC = (7 +2)2 +(−2 −1)2 = 3 10,

dDA = (1−10)2 +(5 −2)2 = 3 10, то есть ВС = DA.

Поскольку противоположные стороны равны, то четырехугольник ABCD есть параллелограмм, что и требовалось доказать.

3.2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника и многоугольника. Центр тяжести

1°. Координаты точки М(х,у), делящей отрезок

M1M2 в отношении М1М = λ,(рис. 3.1) находятся по формулам ММ2

Если точка М делит отрезок М1М2 пополам, то λ =1 и координаты равны

M1 к M2 и к M3 , площадь обходится против часовой стрелки,

то число S положительное, в противном случае — отрицательное. Поскольку площадь треугольника — величина положительная, то правая часть формулы (3) берется по абсолютной величине.

87

Если площадь треугольника равна нулю, то из формулы

(3) следует равенство

соответственно с массами m1, m2 ,....mn , определяются по формулам

Решение. Считаем, что точки A и B расположены на оси х, тогда для отыскания точки С можно воспользоваться

длину биссектрисы АЕ, вычислить площадь треугольника и координаты центра тяжести, полагая его однородным.

Решение. Так как медиана AD делит отрезок ВС пополам (рис. 3.4), то λ =1 и координаты точки D находятся по формулам (2)

хD = 6 2+1 = 72 , уD = 6 −2 4 =1.

Биссектриса АЕ делит сторону ВС на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам, т. е. ACAB = ECBE = λ.

Рис. 3.4 89

Найдем длины отрезков АВ и АС

AB = (6 +2)2 +62 =10; AC = (1+ 2)2 +(−4)2 = 5.

Отсюда λ=2 и координаты точки Е

хЕ = 16++22 = 83 ; уЕ = 61−+224 = − 23 .

Длина биссектрисы АЕ

Площадь треугольника находим по формуле (3), полагая координаты точки Аза х1, у1, точкиВза х2 , у2 ,С −за х3 , у3

Координаты центра тяжести находим по формулам (7)

2.4.Даны три последовательные вершины

параллелограмма А(1,1), В(2, 2),С(3, −1). Найти четвертую

вершину.

Решение. Диагонали параллелограмма в точке пересечения Е делятся пополам (рис. 3.5).

Рис. 3.5.

90