Учебное пособие 1672

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

=Ql (l= 0,1,2,…,p),

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

ГGm Vmi

+ LGm mi +Pm qmi =(

amk

qk + a0 m

-mm Wo +

)

q + b

-Тm

+ M

k 1

+Pm qmi =(

k 1

amk Vmi + bmk

mi ) qk +Pm qmi -mm Wo Vmi

-Тm

+( a

+ G

)

+ ( b

+ M

)

0 m

Vm i

Тогда

1 k 1

amk qk = a11 q1 V1i

+( a21 q1 + a22 q2 )V2i +

q2 + …

( a31 q1 + a32 q2 + a33

q3 )V3i +…+ ( an1

q1 + an2

+ ann

qn )Vni

= ( a11 V1i + a21 V2i + …+ an1 Vni ) q1 +

qn =

+ ( a22 V2i

+ a32

V3i + …+ an,n

1 V3i

) qn 1 + ann

Vni

= q

+ q

ak 1

ak 2

ak 3

V + …

1 k 1

2 k 2

3 k 3

+ qn ann

Vni =

ak m Vki .

m 1

Очевидно, что

W l V l

W l

mm V l

mm W

= mm

m 1

b 1

120

ε l

Тm

o mi =

Тm

m 1

где V l

, W l , ε l

проекции векторов V

W ,

mi на ось Zil

системы Zi.

Если

= a0 m

Gm , bm = bоm + MGm ,

то система уравнений (1) принимает вид

[ qm

( ak m Vki + bkm

k i )+

m 1

+Pm qmi + am Vmi + bm

mi ]-

(4.3)

(W l

mm V l + ε l

Тm

)=0

(i=1,2, …,n).

m 1

Пусть

( a

k m

+ b

k i

im = - q

i l =

mm V l

i l =

Тm

m 1

( am Vmi + bm mi ).

m 1

Тогда

im q -

im Pm)- i

( i l

W l

i l ε l

(

)= 0,

m 1

121

или

im q

im Pm +

i l W l

i l ε l

)+ i =0.

(

m 1

Пусть

qˆ ={qi}

ςˆ ={

P ={Pi}

} ,

}

(l=1,2,3) ,

Wo ={Wo

} ,

εo

={ εo

а Ф, Ф1, Ф2, Ф3 – матрицы соответственно размерностей n n,

n 3 и n 3 с элементами		ij ,	i j ,		i l ,	i l . Тогда система (3)
			1		2	3
примет вид
	ˆ	ˆ		εˆ o + ςˆ = 0.			(4.4)
Ф qˆ +Ф1	P +Ф2Wo +Ф3			εˆ o + ςˆ = 0.			(4.4)
Как указывалось выше, для разомкнутой кинематической
	.
цепи можно положить qmi = 0 при m					i и можно принять, что

qii =1. Тогда

Если

то

1im = im т.е. Ф1 =I и

	ˆ	ˆ	+Ф3 εˆ o	+ ςˆ .			(4.5)
Ф qˆ = P +Ф2Wo			+Ф3 εˆ o	+ ςˆ .			(4.5)
-1	-1		-1	Ф3 ,	ˆ	-1	ςˆ ,
А=Ф	, В=Ф	Ф2, С=Ф		Ф3 ,	d = Ф		ςˆ ,

	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
qˆ					(4.6)
	=А P +ВWo +С εo + d .

Пользуясь (5), можно определить обобщенные силы ˆ

приводов по известным инерционным и кинематическим характеристикам звеньев механизма и действующим на них на-

122

грузкам, т.е. решить прямую задачу динамики ММ. Дифференциальное уравнение (6) удобно использовать при решении обратной задачи динамики.

3.5. Описание динамики ММ на основе уравнений Лагранжа II рода

Уравнения Лагранжа II рода часто используются для получения уравнений динамики систем с несколькими степенями подвижности, к которым можно отнести и манипуляционные механизмы.

Пусть m - число подвижных звеньев механизма, без учета базового звена, а n=m+1 общее число подвижных звеньев

ˆ ˆ

Х = { x } (i=0,1,2, …, m) –

блочная матрица размерности n;

xˆ = { ω1i , ωi2 , ωi3 , Vi1 , Vi2 , Vi3 }T –

матрица - столбец квазискоростей звена i; ωik , Vik (k=1,2,3) –

компоненты векторов угловой скорости звена i и линейной скорости центра масс звена i, определенные в главной центральной системе звена Zi . Тогда кинетическая энергия звена i примет вид

		Т		ˆ ˆ
		Ei =0,5( ˆi Ji	ˆi +mi Vi Vi ),
где ˆi = {	k	ˆ	k	}3;
где ˆi = {	i	} (k=1,2,3); Vi ={Vi		}3;
		123

Ji11 0 0

Ji = 0 Ji22 0 - 0 0 Ji33

тензор инерции звена i, определенный в системе Zi; mi – масса звена i.

Вводя диагональную матрицу инерционных характеристик звена порядка 6 6 в главной системе координат звена Zi

i = diag{ Ji11 , Ji22 , Ji33 , mi , mi , mi},

можно записать кинетическую энергию звена i в виде

T
ˆ	ˆ
Ei =0,5 xi	i xi ,

а кинетическую энергию всего механизма – в виде

	n		ˆ Т	ˆ
	T		ˆ Т	ˆ
E =0,5	ˆxi	ˆ		Ф X ,
E =0,5	ˆxi	i xi =0,5 X		Ф X ,
i	0
где
Ф = diag { 0 ,		1 ,	2 , …,	n } –

блочная диагональная матрица инерционных характеристик механизма порядка 6n 6n.

Пусть обобщенные координаты механизма в каждой кинематической паре являются угловыми или линейными перемещениями и образуют вектор обобщенных перемещений

qˆ ={q0 , q1 , q2 , …qr}T,

124

где р=r+1 – число приводов механизма, совпадающее с его

числом степеней подвижности. Связь матрицы X с матрицей qˆ можно записать в виде

ˆ		(5.1)
X	= С qˆ ,	(5.1)

где С – матрица порядка 6n р.

Соотношения (1) связывают обобщенные скорости и квазискорости звеньев манипулятора и называются системой уравнений связей манипуляционного механизма.

С учетом системы уравнений связей (1), кинетическая

энергия ММ преобразуется к виду
ˆ Т	ˆ		Т		Т	Т		Т
E=0,5 X	Ф X	=0,5(С qˆ	) Ф(С qˆ )=0,5 qˆ			С ФС qˆ	=0,5 qˆ		А qˆ ,
где А =СТФС – матрица порядка р				р, зависящая непосредст-

венно от времени и матрицы обобщенных координат манипулятора qˆ , также зависящих от времени.

Система дифференциальных уравнений динамики относительно обобщенных координат ql (l=0,1,2,…,p) в форме уравнений Лагранжа II рода имеет вид

где Ql – обобщенная сила (сила или момент), совершающая работу на обобщенном перемещении ql.

Подстановка в (2) выражения для Е дает

125

А qˆ	+	P		Ds qˆ	) eˆs	= Q ,
А qˆ	+	( qˆ		Ds qˆ	) eˆs	= Q ,
			Т		*	ˆ
	S	1

где eˆ*s - р -мерная матрица, компонент которой с номером s

равен единице, прочие компоненты равны нулю; Ds – матрица порядка р р, элементами которой являются символы Кристофеля первого рода

d	jl	=[j, l, s]= 1	да js	даls	да jl	, (j=0,1,2,…r).
	s
		2	дql	дqj	дqs

Для построения матрицы С матрицу ˆxi удобно предста-

вить в блочной форме в виде

							ˆ	T	,
					ˆxi = { ˆi , Vi }				,
где ˆi ={	k	Т		ˆ	k	}3.
где ˆi ={	i	} 3	,	Vi ={Vi		}3.

Для этих же целей матрицу С также удобно представить в блочной форме

С = { U0 , L0 , U1 , L1 , L2 , …, Um , Lm}T ,

	ˆ
Ui , Li , - матрицы порядка 3 р , такие, что ˆi =Ui qˆ ,	Vi =Li qˆ .

Структура матриц Ui и Li определяется рекуррентными соотношениями для матриц угловых и линейных скоростей звеньев ММ.

Для вращательной i-1, i кинематической пары, согласно соотношениям (2.6.4 - 2.6.5) [7],

ˆi =Ki ˆi 1 + qieˆi ,

126

ˆ i 1 ) - Dri,i

ˆ i

=Ki (Vi 1 + Dri 1,i

где Ki матрица перехода Zi-1

Zi.

Тогда

Ui qˆ = KiU(i-1) qˆ + Mi

qˆ ,

Li qˆ =Ki( L(i 1) qˆ

+ Dri 1,i U(i-1) qˆ )- Dri,i

Ui qˆ ,

где Mi – матрица порядка 3

р, у которой mk i = ek

(k=1,2,3), а

все прочие элементы – нулевые. Отсюда следует

Ui =Ki Ui-1+ Mi ,

(5.3)

Li = Ki [ L(i 1) + Dri 1,i U(i-1)]- Dri,i Ui .

Если ˆ о ,

- матрицы, характеризующие кинематику ба-

Vо

зового звена, то для звена 1

=К1 ˆ

+ q

eˆ

)- D

=К1(V + D

ri 1,i

ri,i

Матрицы

, V не зависят от компонентов матрицы qˆ с

номерами, превышающими 0 и поэтому матрицы Uo и Lo строятся формально. Можно положить, например, что элементами этих матриц являются безразмерные величины

Uq = ωk / q		(k=1,2,3),
o	q

если базовое звено движется вращаясь и

lqkq =Vok / qq ,

если базовое звено движется поступательно.

127

Здесь q – номер какого либо из компонентов qˆ , отличного от нуля.

Тогда

ˆ		=U0	ˆ	ˆ	ˆ
	о	=U0	q ,	V	=L0 q
	о			o

и формулы (5.3) становятся применимыми для всех i от 0 до m.

Если кинематическая пара, соединяющая первое и базовое звенья ММ, поступательная, то согласно соотношениям (2.6.1

– 2.6.2) [7],

	ˆ	ˆ	ˆi 1 )+ qi eˆi .
ˆi =Ki ˆi 1 , и Vi = Ki (Vi 1-Dp			ˆi 1 )+ qi eˆi .
Тогда

	Ui qˆ =KiU(i-1) qˆ ,

Li qˆ	= Ki[ L(i 1) qˆ	-DpU(i-1) qˆ	]+Mi qˆ .
Отсюда следует
Ui =KiUi-1 , Li=Ki[ L(i		1) -DpU(i-1)]+ Mi .		(5.4)

Если в этих соотношениях определить Uo и Lo так, как описано выше для вращательных пар, то они становятся применимыми при всех i.

Определение элементов матрицы С по рекуррентным соотношениям (3) и (4) значительно упрощает процесс программирования решения задач динамики ММ на основе рассматриваемого метода.

128

MGi .

С учетом блочной структуры матрицы С матрицу А удобно вычислять по формуле

А=СТФС= CiT Фi Сi ,

i 1

где Ci = {Ui , Li }T – блок матрицы С первые три строки которого занимает Ui , а три нижние строки – матрицы Li .

Поскольку к звеньям ММ приложены две группы сил:

ˆ	ˆ	и силы и моменты сил
внешние силы Gi	и их моменты MGi	и силы и моменты сил

	ˆ				ˆ
приводов P , можно представить обобщенные силы Q в виде
			ˆ	ˆ	ˆ
			Q = P + QG ,
ˆ	={gG1	, gG2	, …, gGp} – определяется только внешними
где QG	={gG1	, gG2	, …, gGp} – определяется только внешними

силами, действующими на механизм.

Если i-1, i кинематическая пара является поступательной, то qGi= Рi* , где Рi* - сила, приведенная к центру i-1, i пары.

Если i-1, i кинематическая пара является вращательной, то qGi= М i* , где М i* - приведенный к оси i-1, i кинематической

пары момент, определенный силами ˆi и моментами

Вектор ˆ по определению является вектором обобщенных

сил приводов ММ. Тогда система уравнений динамики ММ примет вид

		P			ˆ	ˆ
		T		*	ˆ	ˆ
A qˆ	+	( qˆ	Ds qˆ ) eˆs		= P + QG .
	S	1
			129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.68 Mб2Учебное пособие 1668.pdf
#
30.04.20221.69 Mб2Учебное пособие 1669.pdf
#
30.04.2022309.35 Кб4Учебное пособие 167.pdf
#
30.04.20221.7 Mб3Учебное пособие 1670.pdf
#
30.04.20221.7 Mб4Учебное пособие 1671.pdf
#
30.04.20221.7 Mб2Учебное пособие 1672.pdf
#
30.04.20221.7 Mб2Учебное пособие 1673.pdf
#
30.04.20221.7 Mб5Учебное пособие 1674.pdf
#
30.04.20221.71 Mб7Учебное пособие 1675.pdf
#
30.04.20221.72 Mб6Учебное пособие 1676.pdf
#
30.04.20221.72 Mб2Учебное пособие 1677.pdf