Учебное пособие 1623

Подставляя

найденные

значения

в

формулу

(1),

получим

k =

1

. Кривизна будет наибольшей,

когда знаменатель

3

(1+ x2 )

2

будет наименьшим, т. е. при

x = 0 .

Таким

образом,

наибольшая кривизна равна k =1.

3.4. Найти вершины кривых: а)

x +

y =

a;

б)

ρ = a sin3 ϕ , R

−?

3

min

Решение. а) Функция задана неявно

F (x, y) = x + y − a = 0 .

Находим

производные:

F

'

=

1

x

−1

2 ,

F

'

=

1

y

−1

2 ,

x

2

y

2

(

)

1

a 3

x +(

a −

x )2

2 1−2( a − x )

1

2

'

2

x

kx

= −

.

2 (x +(

a − x )2 )3

Отсюда

x +(

a −

x )2 = 0 ,

x + a − 2

ax + x = 0 ,

a2 + 4x2

= 0

-

корней

нет;

1− 2 ( a −

x )

1

= 0 ,

2

x

x − a + x = 0

, 2 x =

a

, x = a ,

y = a − x ,

y =

a

,

y = a .

x

4

2

4

кривизны в точке a ,

a

Поскольку

функция

имеет

4

4

экстремум,

т. к. при переходе через точку x = a

производная

меняет знак, то это вершина кривой.

4

ρ ' = a sin2 ϕ cos

ϕ ,

б)

Находим

производные:

a

ϕ

ϕ

2 ϕ

3

3

ρ '' =

sin

2

−sin

3

3

2 cos

3

3

и по формуле (4) кривизну

a2 sin6 ϕ

+ 2a2 sin4 ϕ cos2 ϕ

− a2

sin4 ϕ

2 cos2 ϕ

−sin2 ϕ

k =

3

3

3 3

3

3

3

=

4 ϕ

ϕ

2 ϕ

3

2

sin

+ a

2

sin

4

cos

2

a

3

3

3

a

2

3sin

4 ϕ

+ 2sin

4

ϕ

cos

2

ϕ

−sin

4

ϕ

cos

2 ϕ

+sin

4 ϕ

3

3

3

3

3

3

=

=

3a2 sin3 ϕ

3

=

1

ϕ

+cos

2 ϕ

sin

4

3a

3

3

k'

=

1

1 cos

ϕ

4 +cos2

ϕ − 2 sin ϕ cos

ϕ sin

ϕ

=

ϕ

3

3 3

3

3

3a

3

3

=

1

ϕ

−3sin

2

ϕ

, 5

−sin

2

ϕ

≠ 0 .

cos

5

3

9a

3

3

Т. к. sin

ϕ

<

5

, cos ϕ

= 0 , ϕ =

3π

.

3

3

3

2

3π

При

переходе

ϕ

через

значение ϕ =

производная

2

Решение. Находим производные:

y ' = −

1

,

y '' =

2

и их

значения

в точке

M :

y ' = −1,

y '' = 2

x2

x3

и радиус кривизны

R = (1+

y '2 )32

= 2

2 =

2 . Построим гиперболу и окружность

y ''

2

(рис. 2.4).

Очевидно, что точка

M и центр окружности O '

Решениe. а) Находим производные: y′ = −e−x , y′′ = e−x , их

значения

в точке:

y′ = −1, y′′ =1

и

радиус

кривизны

R =

(1+1)

32

= 2 2 .

1

Координаты

центра кривизны

кривой

находим по

формулам (5) ξ = x −

1+ y′2

y′ = 2 , η = y −

1+ y′2

= 3.

y′′

y′′

Отсюда, уравнениеокружностибудет (x − 2)2 + ( y −3)2 = 8 .

б) Находим

производные: x = a(1−cos t) ,

y = a sin t ,

x = a sin t , y = a cos t .

Определяем

параметр

t

в точке М:

2a = a(1−cost) ,

cost = −1,

t =π .

Вычисляем

при t = −1

значения производных: x = 2a ,

y = 0 ,

x = 0 ,

y = −a . По

3

R =

(x2

+ y2 )

2

=

(2a)3

= 4a .

| xy − yx |

| 2a(−a) |

(x −πa)2 + ( y + 6a)2 =16a2 .

3.7.

Написать уравнение эволюты кривой и

построить кривую и её эволюту: а)

y =

3

x2 ; б) x23 + y23 = a23

;

в) x =cost ,

y = 2sin t ; г) ρ = aekϕ .

2

Решение. а) По формулам (5) находим координаты центра

кривизны

кривой

ξ = x −

3x(1+9x2 )

= −9x3

,

3

1

9

ξ

2

η =

+

3

. Таким образом, эволютой параболы является

3

2

9

y

1

1

a2

1

3

3

производные:

y′ = −

,

y′′ =

.

Подставляя

x

3

x4 y

производные вформулы (5), получим

2

y

3

1

2

2

1

1+

y

1

x

3

= x +3x3 y 3 , η = y +3x

y

.

ξ = x +

3

3

13

1

a

2

x

4

3

x

y

13

+ y

13

3

13

− y

13

3

ξ +η = x

,ξ −η = x

,

Если повернуть оси координат на 45° и по формулам

ξ = ξ +η

,

η = −ξ −η

выразить новые координаты через

1

2

1

2

примет вид

ξ23

+η23

= (2a)23 . Таким образом, эволютой

1

1

Если D < 0 , то M 0 — узел, т. е. двойная точка

(рис.

2.10).

Если D = 0 , то M 0 — точка возврата первого рода

(рис.

y0′′ отлична от

нуля, например

x0′′ > 0 , тогда

налицо точка

возврата. Если

′′′ ′′

′′ ′′′

,

то

M 0

—

точка возврата

x0 y0

− x0 y0 + 0 ≠ 0

первого рода; если

x0′′′y0′′ − x0′′y0′′′= 0 , то

M 0

— точка возврата