Учебное пособие 1590

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

Кафедра теоретической механики

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ СТЕРЖНЕЙ, ПОДДЕРЖИВАЮЩИХ ПРЯМОУГОЛЬНУЮ ПЛИТУ (равновесие пространственной системы сил)

Контрольные задания и методические указания по теоретической механике

для самостоятельной работы студентов 1-го курса строительных специальностей

Воронеж — 2011

УДК 531.8 ББК 22.2

Составители

А. В. Черных, В. В. Черных

Рецензент:

А. Я. Зверев, д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник Центрального аэрогидродинамического института им. Н. Е. Жуковского

Печатается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного архитектурно-строительного университета

Определение реакций стержней, поддерживающих прямоугольную плиту (равновесие пространственной системы сил) : контрол. задания и метод. ука-

зания по теоретич. механике для самост. работы студ. 1-го курса строит. спец. / Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т ; сост. : А. В. Черных, В. В. Черных. — Воронеж, 2011. — 17 с.

Приводится описание контрольных заданий для студентов, изучающих раздел «Статика» курса теоретической механики. Даются рекомендации по решению задач на равновесие пространственной системы сил.

Предназначены для студентов первого курса дневной формы обучения строительных специальностей.

Ил. 11. Табл. 1. Библиогр.: 5 назв.

УДК 531.8 ББК 22.2

2

ВВЕДЕНИЕ

Определение усилий в стержнях, поддерживающих прямоугольную плиту, выполняется студентами первого курса при изучении раздела «Статика» курса теоретической механики.

Вариант задания дает преподаватель. Числовые данные, соответствующие номеру задания, берутся из прил. 1, рисунок — из прил. 2.

Выполненное задание оформляется на отдельных листах писчей бумаги, листы нумеруются и сшиваются. Иллюстрации выполняются карандашом или чернилами, желательно в цвете, все векторы обязательно подписываются. Рисунки могут располагаться как в самом тексте, так и в виде отдельных листов стандартных размеров формата А4. Там, где это требуется, необходимо изобразить систему координат.

По ходу решения следует давать краткие пояснения.

На титульном листе указывается название задания, фамилия, инициалы студента, номер варианта, номер группы, дата.

При сдаче работы студент должен дать исчерпывающие пояснения по тексту, уметь ясно излагать основные теоретические положения и отвечать на контрольные вопросы по темам «Пространственная система сил», «Момент силы относительно оси», «Равновесие произвольной пространственной системы сил» [1, § 28—30; 3, гл. 5, п. Б].

1. СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЯ

Найти реакции стержней, поддерживающих тонкую горизонтальную однородную плиту весом G, при действии на нее силы Р, расположенной в плоскости плиты. Стержни лежат в вертикальных плоскостях и опираются на шар- нирно-неподвижные опоры.

2. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ

Порядок решения задач остается тем же, что и в случае плоской системы сил. Установив, равновесие какого тела рассматривается, надо изобразить все действующие на него внешние силы (и заданные, и реакции связей) и составить условия равновесия этих сил. Из полученных уравнений определяются искомые величины.

Для получения более простых систем уравнений рекомендуется оси проводить так, чтобы они пересекали больше неизвестных сил или были им перпендикулярны (если это не усложняет вычисления, проекций и моментов других сил).

3

Новым элементом в составлении уравнений, в отличие от произвольной плоской системы сил, является вычисление моментов сил относительно координатных осей.

В случаях, когда из общего чертежа трудно увидеть, чему равен момент данной силы относительно какой-нибудь оси, рекомендуется изобразить на вспомогательном чертеже проекцию рассматриваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную этой оси.

Напомним определение момента силы относительно оси [1, с. 73—74; 3, с. 48].

Чтобы вычислить момент силы F относительно оси ( например, Z ), следует спроецировать эту силу на плоскость (х, у), перпендикулярную оси Z, а затем вычислить момент ее проекции Fxy на эту плоскость относительно точки О

пересечения оси Z с плоскостью.

Момент силы относительно оси будет иметь знак «плюс», когда с положительного направления оси поворот, который стремится совершить сила F , виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 1), и знак «минус» в противном случае (поворот по ходу часовой стрелки).

Рис. 1. Определение момента силы относительно оси

Таким образом, для того чтобы вычислить момент силы относительно оси Z, надо:

1)провести плоскость ху, перпендикулярную оси Z (в любом месте);

2)спроецировать силу F на эту плоскость и найти величину Fxy ;

3)опустить из точки пересечения оси с плоскостью (точка О) перпендикуляр на линию действия Fxy и найти его длину h;

4)вычислить произведение mz = Fxyh;

5)определить знак момента.

При вычислении моментов надо иметь в виду следующие частные случаи: 1) если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю

(так как Fxy = 0);

4

2)если линия действия силы пересекает ось, то ее момент относительно оси также равен нулю (так как h = 0);

3)если сила перпендикулярна оси (лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси), то ее момент относительно оси равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на расстояние между линией действия силы

иосью.

В тех случаях, когда при вычислении момента возникают затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, рекомендуется разложить силу на две взаимно перпендикулярные составляющие, параллельные координатным осям, а затем воспользоваться теоремой Вариньона.

Кроме того, можно вычислять моменты аналитически по следующим формулам:

mz F yFz zFy,

my F zFx xFx,

mz F xFy yFx,

где x, y, z — координаты точки приложения силы.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Тонкая горизонтальная плита АBCD весом G = 3,8 кН поддерживается шестью стержнями, расположенными вдоль диагоналей граней или вдоль ребер прямоугольного параллелепипеда. На плиту действует горизонтальная сила

Р = 4,1 кН.

Определить усилия в стержнях, если а = 6 м, b = 4 м, с = 3 м (рис. 2). Решение. Рассматриваем равновесие сил, приложенных к плите. Прикла-

дываем к плите в центре симметрии прямоугольника ABCD задаваемые силы. Заменяем действие связей, т.е. шести стержней, их реакциями. Считаем стержни, как это принято, растянутыми и направляем их реакции от узлов (см. рис. 2).

Для сил, действующих на плиту, составляем шесть уравнений равновесия. Начало координат помещаем а точку О пересечения линий действия трех неизвестных реакций S1, S2, S3, чтобы исключить эти реакции из уравнений моментов.

Уравнения моментов:

5

Из (3):

S5 S6 acosa 0,335 кН. bcos

Из (1):

1

S4 2G S5 sin 2,05 кН.

Из (4):

1

S1 cos P S5 cos 4,919 кН.

Из (5):

S3 S6 0,250 кН.

Из (6):

S2 G S1sin S3 sina S4 S5 sin S6 sina 0,3 кН.

Числовые значения найденных реакций указываем в таблице.

Из табл. следует, что стержни 2, 5, 6 растянуты, стержни 1, 3, 4 — сжаты. Для проверки расчетов составим уравнение моментов, например, относительно оси у1 , которая проходит через точки А1 и D1 параллельно оси Y. Положительное направление оси у1 от точки А1 к точке D1. Момент силы S6 относи-

тельно этой оси будет равен нулю.

Miy1 Pc S1ccos S2a S3asina S4a S5ccos 0,5Ga

4,1 3 4,919 0,894 3 0,3 6 0,25 3,6 2,05 6 0,394 0,894 3 3,8 3 0.

3. СВЯЗИ. РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ

Твердое тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений, называется свободным.

Тело, ограничивающее свободу движения данного твердого тела, является по отношению к нему связью.

Твердое тело, свобода движения которого ограничена связями, на-

зывается несвободным.

7

Все силы, действующие на несвободное твердое тело, можно разделить на

активные силы и реакции связей.

Реакцией связи называется сила или система сил, выражающая механическое действие связи на тело.

Одним из основных положений механики является принцип освобож-

даемости твердых тел от связей, согласно которому несвободное твердое тела можно рассматривать как свободное, на которое, кроме задаваемых сил, действуют реакции связей.

Пусть, например, на гладкой неподвижной горизонтальной плоскости покоится шар (рис. 3, а). Плоскость, ограничивая движение шара, является для него связью.

Если мысленно освободить шар от связи (рис. 3, б), то для удержания его в покое к нему в точке касания с плоскостью нужно приложить силу N , равную

весу шара G по модулю И противоположную ему по направлению. Сила N и будет реакцией плоскости. Тогда шар, освобожденный от связи, будет свобод-

ным телом, на которое действуют задаваемая сила G и реакция плоскости N . Гладкая плоскость не противодействует перемещению тела вдоль плоско-

сти под действием задаваемых сил (рис. 4, а), но не допускает его перемещения В направлении, перпендикулярном плоскости. Поэтому действие плоскости на тело выражается нормальной реакцией N (рис. 4, б).

Реакция гладкой плоскости направлена перпендикулярно плоскости.

Если к концу В нити АВ, прикрепленной в точке А, подвесить груз весом

G (рис. 5, а), то реакция T нити будет приложена к грузу в точке В, равна по модулю его весу G и направлена вертикально вверх (рис. 5, б). Реакция нити направлена вдоль нити.

Пусть балка весом G в точке В опирается на гладкую поверхность, а в точках А и D — на гладкие горизонтальную и вертикальную плоскости (рис. 6). Тогда реакции опорной поверхности и опорных плоскостей будут иметь указанные на рис. 6 направления.

Для определения каждой реакции нужно знать три ее элемента: модуль, направление и точку приложения.

8

Гладкая горизонтальная плоскость препятствует перемещению шара вертикально вниз и не препятствует его горизонтальному перемещению. В этом случае реакция плоскости направлена вверх (см. рис. 3, б). Так же определяется направление реакции нити (рис. 5).

Гладкая поверхность, на которую опирается балка точкой В (рис. 6), препятствует перемещению балки по нормали к поверхности вниз и не препятствует перемещению вдоль оси балки. Поэтому реакция этой поверхности направлена по нормали к поверхности вверх.

а) б)

Аналогично, если балка опирается на ребро в точке D (точечная опора), то реакция в точке D направлена перпендикулярно оси балки (рис. 7).

Шаровой шарнир (рис. 8) представляет собой шар, который может вращаться как угодно внутри сферической полости. Центр шара остается неподвижной точкой, через которую проходит линия действия реакции R.

Для определения этой силы ее раскладывают на составляющие X0,Y0, Z0 . Определив эти составляющие, находят R:

R x02 y02 z02 .

9

Подпятник (рис. 9) представляет собой совокупность цилиндрического шарнира и упорной плоскости. Подпятник закрепляет одну из точек твердого тела так, что она не может совершать никаких перемещений в пространстве. Линия действия реакции R подпятника проходит через эту точку. Реакцию подпятника находят аналогично реакции шарового шарнира.

Рис. 9

Определение модулей и направлений реакций различных связей — основное содержание задач статики.

В курсе теоретической механики обычно рассматривают только действие внешних сил на абсолютно твердое тело. Однако при расчете различных конструкций иногда необходимо определять внутренние силы, возникающие в растянутых и сжатых стержнях. Для определения внутренних усилий в стержнях воспользуемся так называемым методом сечений, дающим возможность принимать внутренние силы за внешние. Рассмотрим сущность этого метода.

Пусть стержень АВ, весом которого пренебрегаем, растягивается двумя равными по модулю силами P1 и P2 , приложенными к его концам (рис. 10). Рассечем мысленно стержень, разделив его на две произвольные части AD и DB. На часть AD действуют две уравновешивающиеся силы: внешняя сила P1 и

внутреннее усилие S1, заменяющее действие отброшенной части стержня.

Рис. 10

Из второй аксиомы следует, что внутреннее усилие S1 направлено по оси стержня и равно по модулю силе P1. Внутреннее усилие S1, выражающее действие отброшенной части DB на рассматриваемую AD, является по отношению к

10