Учебное пособие 1587
.pdf
Ai Aj 
, i j.
Допустимым разбиением назовем разбиение А, удовлетворяющее критериям:
S( Aj ) |
S |
||
|
|
|
|
E( Aj ) |
|
E для всех j, |
|
где S и E - соответственно верхние допустимые значения объема и длины внешних связей для конструктивной единицы данного уровня.
Проблема компоновки сводится к отысканию допустимого разбиения на минимальное число классов.
ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Для исследования сигнала по мере его прохождения от входа к выходу устройств (или схем) используют 2 подхода:
1.Моделирование устройства схемотехническими методами на физическом уровне (электрофизическое проектирование);
2.Функциональное (электроинформационное) моделирование (ФМ). При функциональном моделировании устройство разбивается на
отдельные блоки (или элементы), которые каким-то образом преобразуют сигнал (усиливают, ограничивают, сглаживают). Т.е. преобразование сигнала функциональное, можно рассчитать его форму и основные параметры.
Форма сигнала - это функциональная зависимость сигнала от времени x(t), либо представление сигнала в виде изображения по Лапласу х(р), либо зависимость х(j ), где j - комплексная частота.
ФМ должно отличаться большой скоростью, чтобы было возможно исследовать за короткое время большое число вариантов функциональных схем. Для увеличения скорости ФМ пренебрегают высокой точностью моделирования. Это вполне допустимо, поскольку ФМ является начальным этапом проектирования.
В ФМ приняты следующие допущения:
1.Развязка отдельных блоков - т. е. независимость характеристик блоков друг от друга;
2.Сигнал распространяется только в одном направлении: от входа к выходу каждого элемента.
Запрещено объединять выходы различных элементов, т.к. это приводит к неопределенности выходного сигнала.
Примеры задач, решаемых с помощью ФМ:
1.Исследование системы автоматического регулирования.
2.Исследование временных диаграмм работы аналогово-цифровых и логических схем.
3.Исследование процессов в радиочастотных устройствах.
Базовые элементы функциональных схем Существуют 4 основных типа элементов, называемых базовыми:
-генераторы сигналов;
-безынерционные (линейные и нелинейные);
-линейные инерционные;
-нелинейные инерционные.
Деление осуществляется по виду функции преобразования входного сигнала в выходной.
Генератор сигналов
х(t)
Независимые генераторы задают сигнал на выходе функц. схемы. Управляемые - формируют сигналы в зависимости от управляющего
воздействия u.
Функции преобразования:
х(t) - для независимого генератора;
x1(t) при u u1
x( ) .......... .... |
- для управляемого генератора. |
xn (t) при u |
un |
Пример управляемого генератора - пороговое устройство, выходной сигнал которого зависит от некоторого порогового значения.
Безынерционный линейный или нелинейный элемент
x |
f |
y |
|
|
|
Функция преобразования:
y = f(x),
где х - входной сигнал, y - выходной, f - линейная или нелинейная функция.
Частный случай - безынерционный элемент с памятью - триггер: y = f(x,s),
где s - состояние элемента.
Вид f может быть любым, например, f может ограничивать амплитуду входного сигнала, преобразовывать входной импульс в выходной импульс другой формы.
Примеры (можно найти в таблицах): а) Аналого-аналоговый элемент
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y=f(x) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Импульсно-аналоговый |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
A |
|
|
|
|
|
x |
|
|
y f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t)=k(A)t |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Аналогово-цифровой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fy |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ny(tn)=1001 Ny(t)=kx(t) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
tn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Инерционный линейный элемент |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x(t) |
|
|
y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1. |
|
|
|
|
h(t) |
|
|
h(t) - переходная характеристика |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x(p) |
|
y(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
k(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
k(p) - операторный коэффициент |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(j |
|
) |
|
y(j ) |
|
|
|
|||
3. |
|
|
k(j |
) |
k(j ) - комплексный коэффициент передачи. |
|
|
|
|
1. y(t) |
t x( )h(t )d |
|
0 |
2.y( p) k( p)x( p)
3.y( j ) k( j )x( j )
Примеры: частотные фильтры, линейные усилители, операционные усилители, выполняющие функции суммирования, дифференцирования, интегрирования.
Инерционный нелинейный элемент
x(t) y(t) A(x)
A(x) - это некоторый нелинейный оператор преобразования. Например, A - дифференциальное уравнение, которое наиболее часто используется для представления этого элемента. Система диф. уравнений чаще всего записывается в виде
dyi |
(t) |
gi |
( y(t)) |
dxi |
(t) |
fi |
(x(t)), i 1,..., n , |
|
dt |
dt |
|||||||
|
|
|
|
|||||
n - порядок системы.
В общем виде система диф. уравнений может быть записана как
Fi ( y(k ) (t), y(k 1) (t),..., y(t),t) 
i (x( p) (t), x( p 1) (t),..., x(t),t), k, p - порядок производных, i = 1,...,n.
Иногда нелинейный инерционный элемент представляют в виде комбинации (последовательного соединения) линейного и безынерционного:
x(t) |
|
|
|
y(t) |
|
|
|
|
f |
|
|
||
x(t) |
t |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y(t) |
f ( x( )h(t |
)d ) |
|
|
|
|
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
и |
|
|
|
|
|
|
x(t) |
|
|
|
y(t) |
|
|
f |
|
h(t) |
t |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y(t) |
f (x( ))h(t |
)d |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
0
(здесь вычисления точнее)
Такое представление дает приблизительную модель инерционного нелинейного элемента.
АЛГОРИТМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
Моделирование элемента состоит в вычислении у по входному значению сигнала х.
Генератор сигнала
Необходимо вычислить х(t) в заданные моменты времени tn. Т.е. непрерывная функция х(t) заменяется дискретной решетчатой функцией хn=х(tn). Довольно часто используются рекуррентные соотношения : хn+1= f(xn,xn-1,...).
Безынерционный статический элемент
Для статических элементов функция преобразования может быть вычислена в любой момент времени, для динамических - с некоторой задержкой по времени.
С помощью статических безынерционных элементов моделируются такие объекты, как ключи, ограничители, детекторы, смесители.
Моделирование элемента с памятью сводится к отысканию функции преобразования с учетом состояния элемента
y(t,s) = f(x(t),s).
Безынерционный динамический элемент
Сюда относятся импульсные, аналого-импульсные и импульсноаналоговые элементы. В них если x(t) = xi(t), то и выходной сигналy у(t) = yi(t), для определения которого необходимо знать весь x(t) на некотором интервале (t1,t2), проанализировать его на совпадение с каким-либо xi(t). Соответствующий yi(t) считается действующим с момента t1, поэтому задержка по времени отсутствует, в связи с чем элемент считается безынерционным.
Моделирование линейного инерционного элемента
Пусть элемент задан переходной характеристикой h(t).
y(t) 
x( )h(t 
)d
.
0
Вычисление y(t) обычно проводят на ЭВМ путем численного интегрирования, использующего метод скользящего суммирования. Интервалы (0,t) и (0, ) разбивается на отрезки t:
= k t , t = n t , t- = (n-k) t.
Отрезки t выбираются так, чтобы для интеграла можно было бы применить метод прямоугольников, т.е. x(t) и h(t- ) на t были бы постоянными. Тогда интеграл заменяется суммой
n |
|
|
n |
yn |
x(k t)h((n k) t) t |
t |
xk hn k |
k 0 |
|
k |
o |
yn относится к моменту времени tn
n 1
yn 1 t xk hn k 1
k 0
таким образом, в каждый момент времени ti можно посредством суммирования вычислить выходной сигнал уi.
Дискретизация и алгебраизация ОДУ
Пусть элемент во временной области моделируется ОДУ. Дискретизация состоит в замене производной ее конечными разностями
dy |
|
|
|
t tn 1 |
dy |
|
t |
tn |
yn 1 yn |
|
yn 1 |
yn 1 |
|
|
|||||||||||
dt |
|
|
dt |
|
t |
2 |
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dy
dt
n 1
i yi ,
i n k
i- коэффициенты, соответствующие различным способам дискретизации производной.
В результате дискретизации уравнение
dyi |
(t) |
gi |
( y(t)) |
dxi |
fi |
(x(t)), i 1,..., n |
|
dt |
dt |
||||||
|
|
|
|
||||
преобразуется в алгебраическое уравнение :
|
n |
n |
1 |
in 1 yn 1 |
i yi g( yp ) |
|
i xi f (xp ). |
i |
n k |
i n |
k |
При p = n+1 получается неявный метод численного интегрирования, при p=n - явный метод.
ЗАДАНИЕ: Самостоятельно показать явную и неявную схему численного нахождения yn+1.
Моделирование по комплексному коэффициенту передачи в частотной области
Моделируется линейный инерционный элемент
X(j ) = X1( ) + jX2 ( ) - входной сигнал;
K(j ) = K1( ) + jK2( ) - комплексный коэф. передачи;
Y(j ) = Y1( ) + jY2( ) - выходной сигнал.
Y(j ) = K(j )X(j ) = (K1+jK2)(X1+jX2) = K1X1+ jX1K2+ + jK2X2- K2X2 = (K1X1 - K2X2) + j(K2X1 + K1X2)
Y1 |
|
Y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть используется показательная форма |
||||||||||
X ( j ) |
|
X ( )e j x ( ) |
|
|
||||||
K ( j ) |
K ( )e j k ( ) |
|
|
|||||||
Y ( j ) |
K ( ) X ( )e |
j ( x ( ) k ( )) |
||||||||
|
|
|||||||||
K1 ( |
) |
K ( |
) cos |
k ( |
) |
|
||||
K1 ( |
) |
K ( |
)sin |
k ( |
) |
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
K ( ) |
|
K |
2 ( ) K 2 |
( ) |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
k ( |
) |
arctg |
K2 ( |
) |
|
|
|
|||
K1 |
( |
) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Y ( |
) |
K ( |
) X ( |
) |
|
|
|
|||
y |
x ( ) |
|
k ( |
|
). |
|
|
|
||
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ИНЕРЦИОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПО ЗАДАННЫМ K(р) И K(j ) ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ
X(t) |
|
Y(t) |
|
|
|
||
Известно, что Y(p) =K(p)X(p) |
|
h(t) |
|
|
|
K(p) |
|
Теперь необходимо, зная X(t) и K(p), определить Y(t). Моделируя X(t) на ЭВМ, используем X(tn)=Xn, т.е. заменяем непрерывный сигнал на дискретный. При этом считается, что на [tn,tn+1] X(t)=Xn. Тогда и непрерывный коэффициент передачи заменяется на дискретный K(z).
Если
|
a |
a z |
a z2 |
... |
a zk |
|
K (z) |
0 |
1 |
2 |
|
k |
|
1 |
b z |
b z2 |
... |
b zm |
||
|
||||||
|
|
1 |
2 |
|
m |
и известен переход от K(p) к K(z), то доказано, что
k |
|
m |
|
Yn |
ai X n i |
biYn 1 |
(*) |
i 0 |
|
i 1 |
|
Таким образом, каждое последующее Yn ищется по предыдущим значениям Yi и Xi. Чтобы определить коэффициенты аi и bi, необходимо знать формулы перехода от K(p) к K(z). Часто эта задача оказывается достаточно трудной, поэтому ограничимся представлением одного универсального способа перехода.
K ( p) |
|
A( p) |
|
|
|
A |
A p |
... |
|
A pr |
(**) |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
r |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
B( p) |
|
|
|
B |
B p |
... |
|
B pk |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
k |
|
|||||
Делим числитель и знаменатель на pk |
|
||||||||||||||||
|
|
A0 |
|
|
|
A1 |
|
... |
|
Ar |
|
|
|
|
|||
K ( p) |
|
pk |
|
p1 k |
|
pr k |
|
|
|
(***) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
B0 |
|
|
|
B1 |
... |
|
Bk |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
pk |
|
|
pk k |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
tn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Yn 1 |
Yn |
|
|
|
X (t)dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X (t) |
|
1 |
|
( X (tn |
1) |
|
X (tn )) |
- это формула трапеций и tn+1-tn= t. |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 tn |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
Yn 1 |
Yn |
|
|
|
|
|
( X (tn 1 ) X (tn ))dt Yn |
|
t( X n 1 |
X n ), |
|||||||||||||||
|
2 t |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
1 |
|
t( X |
|
|
|
|
|
|
1 1 X |
|
) (( 1) Y ) , |
|
|
||||||||||
|
|
n |
1 |
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||
n 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
что совпадает с формулой (*) при a0=1, a1=1, b1=-1. |
|||||||||||||||||||||||||
Таким образом, можно записать |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Ki (z) |
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
K |
( p) |
|
( |
|
|
|
) |
|
(K ( p)) K |
i |
(z) |
(K (z)) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ki (z) ( |
t |
1 z |
)i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теперь Ki(z) можно подставить в (***) и привести к виду
|
a |
a z |
... |
a zk |
, |
K (z) |
0 |
1 |
|
k |
|
1 |
b z |
... |
b zm |
||
|
|
1 |
|
m |
|
на основании которого ищется Yn по (*).
МОДЕЛИРОВАНИЕ УЗКОПОЛОСНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ИНЕРЦИОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
К таким элементам относятся: резонансные усилители, фильтры, т.е. частотно-избирательные устройства. Импульсная характеристика сигнала имеет вид:
h(t) H (t)(cos( pt 
h (t)),
H (t)e j h (t ) - комплексная огибающая импульсной характеристики; H(t) - амплитуда; h(t) - фаза; p – резонансная частота.
Прямой способ моделирования частотно-избирательных элементов трудоемок, т.к. требует огромного числа точек расчета. Поэтому моделируют комплексную огибающую. Для входного сигнала комплексная огибающая записывается в виде
Sx (u,t) sx (u,t) exp( j x (u,t)),
sx(u,t) - закон изменения амплитуды,
c (u,t) - закон изменения фазы сигнала,
0- начальная фаза,
x(u,t) 
c (u,t) 
0 
t .
Пусть c |
p |
, |
p - расстройка входного сигнала. Если Sx(t) - |
комплексная огибающая входного сигнала
Sx (t) sx (t)exp( j
t)
(t) H (t) exp( j h (t)) комплексная огибающая импульсной характеристики.
Sy(t) - комплексная огибающая выходного сигнала Y
Sy (t) |
1 t |
H ( )Sx (t )d . |
||
|
|
|||
2 0 |
||||
|
|
|||
H ( )
S x (t
S y (t)
S y1 ,n
S y2 ,n
H1 |
jH 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
) |
S x |
(t |
|
) |
jS x |
(t ) |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
S y |
(t) |
jS y |
2 |
(t) |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
( |
|
H1 |
(k t)S x |
((n k) t) |
H 2 |
(k t)S x |
|
((n k) t)) |
||||
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
||
k |
0 |
|
|
|
|
|
k |
0 |
|
|
|
|
t |
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
( |
|
H1 |
(k t)S x |
((n k) t) |
H 2 (k t)S x |
((n k) t)) |
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
k |
0 |
|
|
|
|
|
k |
0 |
|
|
|
|
Эти формулы строятся по аналогии с дискретной сверткой,
рассмотренной ранее. При |
x (t) h (t) 0 получаем Sx |
0, H |
2 0 , т.е. |
|
|
2 |
|
приходим к вещественной свертке.
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНЕРЦИОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Существует два способа моделирования нелинейных инерционных элементов:
1.описание элемента с помощью нелинейного дифференциального уравнения общего вида, решение его численными методами;
2.упрощенное описание элемента (нелинейная функция упрощается), либо упрощается функциональная схема элемента, т.е. строится схема замещения.
Моделирование может быть идеальным или реальным.
Идеальное моделирование не учитывает особенностей самого элемента.
Вэтом случае рассматривают входной сигнал, преобразующую функцию, формирующую выходной сигнал. Т.е. здесь формальный математический подход.
Реальное моделирование проводится с учетом свойств элемента, на основе чего строится функциональная схема.
В реальном моделировании обычно полное преобразование сигнала разбивается на отдельные элементарные преобразования, что отражается на функциональной схеме. Функциональная схема может реально отражать или не отражать структуру самого устройства. Идеальное моделирование менее точно, чем реальное, но обладает большей скоростью.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СХЕМ (ФС)
Можно выделить 2 этапа моделирования ФС: