Учебное пособие 1562

2.1.1 Переход от трехфазной модели к двухфазной

При моделировании переходных процессов в трехфазных асинхронных двигателях обычно используется двухфазная модель машины с координатами и неподвижными относительно статора. Вращающееся поле создается двумя катушками. В виду перпендикулярности плоскостей катушек друг к другу, взаимная индуктивность между ними отсутствует. Чтобы избавиться от изменяющихся с углом поворота ротора взаимных индуктивностей, ротор как бы останавливают, а токи в обмотках ротора изменяют во времени так, чтобы получилось то же самое вращающееся магнитное поле.

Рис. 2.1.1

Однако, такой переход возможен, если токи в обмотках изменяются со сдвигом по фазе на 2/3π, даже если и не по синусоидальному закону, и магнитная система машины линейна.

На рис.2.1.1 приведены условные изображения обмоток трехфазного двигателя и двухфазного. Полагаем, что ось совпадает с осью А. На рис. 2.1.2 векторы магнитных индукций катушек трехфазной и двухфаз-

Если подставить значения BA, BB, BС в первое уравнение (синусоидальные функции), то получим B= 3/2 Bm sin t. Чтобы максимальное значение B было равно Bm, следует взять коэффициент 2/3, тогда:

Аналогично можно преобразовать потоки сцепления, токи и т.д.

В системе (2.1.1) уравнения статора преобразуем к осям , . Для этого умножим первое на 2/3 , второе и третье на –1/3 и сложим все уравнения:

учитывая (2.1.3) получим:

Поступая аналогично, запишем вторую формулу:

Система уравнений (2.1.6) описывает статор эквивалентной двухфазной машины. Для ротора запись несколько сложнее. Катушки ротора вращаются относительно статора (рис. 1.1), поэтому векторы B2 и B2 ротора

закону (2.1.7) , то получится такое же поле, что и от вращающегося ротора. Что бы получить уравнения для ротора, умножим четвертое уравнение в (2.1.1) на 2/3cosγ, пятое на 2/3cos(γ+2π/3), шестое на 2/3cos(γ-2π/3) и

сложим их:

Т.к. γ являтся функцией времени, то воспользуемся соотношением:

учтем, что

d

dt

-скорость вращения ротора, тогда

Аналогично для второго уравнения, умножая на синусы соответствующих выражений:

Чтобы привести потоки сцепления к осям αβ, умножим первые три строки в системе (2.1.2) на соответствующие коэффициенты и сложим:

Сложим все косинусы при каждом из токов i2a, i2b, i2c, тогда:

следовательно

Аналогично поступим с потоком Ψ1β, после вычислений имеем:

Преобразования для потоков сцепления ротора несколько сложнее. Воспользуемся формулами (2.1.5) и в (2.1.2) последние три строки сложим, умножив их на косинусы соответствующих углов:

Чтобы получить уравнение момента двигателя в координатах αβ, в формуле (2.1.4) сделаем следующие преобразования: первая квадратная скобка есть ток i2β умноженный на 3/2, во второй и третьей скобках синусы представим как разность или сумма некоторого угла и ±2/3π. В результате получим:

2.1.2 Сводка формул двухфазной модели

Напряжения фаз А, В, С связаны с напряжениями фаз α и β следующими формулами:

Токи фаз α и β преобразуются в токи фаз А, В, С:

Уравнения для статора:

Считается, что приведенные значения индуктивности ротора L2΄ = L2n2 и взаимной индуктивности между статором и ротором L12΄ = L12n примерно равны максимальной взаимной индуктивности Lm, только L2΄ отличается от Lm на индуктивность рассеивания:

'2 (L'2 LM )i'2 LM i1,

Однако, простое применение полученной системы уравнений приводит к ошибке. Дело в том, что для вывода момента на валу двухфазного двигателя использовалась формула (2.1.4) момента на валу трехфазного двигателя, но мощность двухфазного не равна мощности трехфазного двигателя. Действительно, мгновенная мощность двухфазного двигателя равна:

а мощность трехфазного двигателя:

т.е. как и в формуле для момента, мощность трехфазного двигателя в 1.5 раза больше мощности двухфазного двигателя. Поэтому можно рекомендовать полученную систему уравнений, но помнить, что потребляемая двигателем мощность должна быть в 1.5 раза больше, чем рассчитываемая, а механическая мощность на валу ωМ определяется верно. Такая модель физически не верна, т.к. в двигателе не выполняется закон сохранения энергии: потребляемая мощность меньше выдаваемой. Второй способ: уменьшить момент на валу в 1.5 раза, момент сопротивления в 1.5 раза и момент инерции в 1.5 раза. Механическая мощность так же уменьшится в 1.5 раза и к.п.д. двухфазного двигателя будет таким же, что и трехфазного, т.е. двухфазный двигатель составляет 2/3 трехфазного.

Поэтому, и в том и другом случае, если двухфазная модель включается в более сложную схему в виде части (макроэлемента), следует в формулах перехода от двухфазной системы координат к трехфазной вводить коэффициент 3/2.

Врассмотренной модели двигатель имел только одну пару полюсов р

=1. Если число пар полюсов р = 2, то поворот ротора на 180о, по отношению к взаимной индуктивности, равносилен повороту на 360о, т.е. полному повороту. Поэтому в трехфазной модели перед углом γ следует поставить множитель p. Если обозначить скорость ротора Ω, то

d , dt

во всех же формулах, где были производные косинусов или синусов, появится множитель р.

В трехфазной модели вместо угла γ должно быть рγ, а в формуле для момента вместо L12 должно быть pL12.

2.1.3 Статика асинхронного двигателя

Один из самых сложных вопросов математического моделирования - это определение параметров модели. Данные, приводимые в справочниках или даже заводские, очень часто не сходятся между собой. Поэтому следует проверять хотя бы установившееся состояние.

Будем считать, что в двухфазной модели асинхронного двигателя в установившемся состоянии напряжения и токи изменяются по гармоническому закону, например, для токов статора:

где Jm – мнимая часть комплексного тока, причем, сдвиг во времени между токами 90о, ω – частота питающего напряжения. В виду симметрии, модули токов i1α , i1β равны между собой и на комплексной плоскости в сумме дадут вектор İ1. Аналогично напряжения u1α , u1β на комплексной плоскости образуют вектор Ù1, а токи i2α, i2β – ток İ2. Таким образом, подставив токи и напряжения в уравнения:

на комплексной плоскости получим:

сложим правые и левые части, тогда:

сложив эти два уравнения, получим:

Учтем, что мгновенное значение uα = Um sin ωt, а uβ = -Umcos ωt, то в комплексной форме

аналогично и для токов, поэтому

Кроме того, скольжение

1s,

/p

следовательно

Чтобы получить уравнение для момента, учтем, что в установившемся состоянии токи i′2α и i′2β сдвинуты на один и тот же угол θ относительно токов i1α и i1β, т.е.

тогда

Пример: Асинхронный короткозамкнутый двигатель имеет следующие номинальные параметры: мощность на валу P2 = 5.5 кВт; напряжение

запишем в проекциях на действительную и мнимую оси:

кроме того, введем уравнение выходной мощности:

Это уравнение получается из уравнения для момента

где φ1, φ2 – фазы токов статора и ротора, представив синус разности через синусы и косинусы углов, а затем через отношения сторон треугольников комплексных токов. Ниже приведена страница расчета параметров асинхронного двигателя в программе MathCAD: