Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1498

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Методом интервалов расставим знаки производной (рис. 27). Из выделенных точек экстремумами являются те, в которых производная функции меняет знак.

Рис. 27. Знаки производной y (x) функции y (x 2)ex

Очевидно, такими точками являются:

x 1 – это максимум, до точки x 1 функция возрастает, а после убывает;

x 2 – это минимум, до точки x 2 функция убывает, а далее возрастает.

Величина локального максимума равна y 1 e 1 1 2 e 1 0,4, соответствующую точку максимума обозначим В(–1; 0,4).

Величина локального минимума равна y(2) e 2 (2 2) 4e12 6,6, соответствующую точку минимума обозначим C(2; 6,6).

5. Исследуем функцию по второй производной. Для определения точек перегиба надо найти те значения x, при которых y x = 0 или не существует.

1	(x 1)(x		2)	1	x2 x 2 1	2x 1 x2 x2 x 2 2x
1	(x 1)(x		2)	e x	x2 x 2 1	2x 1 x2 x2 x 2 2x
y e x					e x
y e x	x2				e x
	x2			x2	x2	x4
1	5x 2
e x		.
e x	x4	.
Нулем y x является точка x 2/5, а особой является x 0.

Методом интервалов укажем знаки y x						на числовой оси (рис. 28).

Рис. 28. Знаки второй производной y (x) функции y (x 2)ex

В точке x 2/5 производная y x поменяла знак, а значит, есть перегиб, значение функции в точке перегиба

y 2/5 e 5/ 2 2/5 2 0,13, обозначим точку перегиба через точку

D(–0,4;0,13).

6. Составим таблицу по всем особым точкам п. 4. и п. 5.:

Таблица 3

7. Построим график по таблице.

На координатную плоскость xOy, см. рис. 29, наносим те точки графика, которые соответствуют точкам локального максимума и минимума, точкам перегиба, отмечаем точки пересечения с осями, а также проведём асимптоту.

Рис. 29. График функции y (x 2)ex

Далее строим график, последовательно указывая поведение функции по столбцам на каждом из интервалов (у нас их пять). При правильном выполнении вычислений на концах интервалов функция состыковывается.

Например, на первом промежутке ( ; 1) функция выпукла, возрастает, проходит через точку А(–2;0) на оси Ox, слева стремится к асимптоте y x 3, а правой границей кривой является точка В(–1;0,4).

На промежутке ( 1; 2/5) функция выпукла и убывает, левой и правой границами кривой являются точки В(–1;0,4) и D(–2/5;0,13).

Аналогичным образом строят график исследуемой функции на оставшихся интервалах.

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называется точкой максимума и точкой минимума

функции?

2.Что называется точкой перегиба функции?

3.Какая функция является выпуклой в точке, выпуклой в ин-

тервале?

4.Укажите необходимое условие существования экстремума функции в точке.

5.Укажите достаточное условие существования экстремума функции в точке.

6.Укажите необходимое и достаточное условия существования перегиба функции в точке.

7.Установите соответствие между производными функций и количеством точек экстремума.

1. f (x)= 27 x3 ;

А) 0;

2. f (x)= 25 x;

Б) 1;

3. f (x)= 25x2 .

В) 2.

8. Вертикальной асимптотой графика функции y=

3x 5

являет-

ся прямая, определяемая уравнением:

2x+3

1. x= 0;

3. y=

;

2. y=

;

4. x=

x 7

9. Вертикальными асимптотами кривой

являются

x x 5

следующие две прямые:

1. x 7;

3. x 5;

2. x 0;

4. y 0.

10. Наклонной асимптотой графика функции y(x) 4x2 2x 2

2x 1

является прямая
1.	y 2x;	3.	y x 2;
2.	y 4x 2;	4.	график не имеет наклонных
2.	y 4x 2;	асимптот.
		асимптот.
11. Определить точки экстремума функции:
1. y(x) (x 2)e2x 1 ;		2. y x3 3x2 ;		3. y x 33			.
1. y(x) (x 2)e2x 1 ;		2. y x3 3x2 ;		3. y x 33		x2	.
12. Определить точки перегиба функции:
	1. y(x) (2x 1)e3x ; 2. y x 33				; 3. y ln(x2 16).
	1. y(x) (2x 1)e3x ; 2. y x 33			x2	; 3. y ln(x2 16).

Варианты расчетно-графических работ

Вариант № 1

Найти область определения функции: 1) cosx

; 2)

tgx

1 x

lg x

1 cos2x

;

Найти пределы функций: 1) lim

;

2) lim

6 x

x 0 4x2

2x ;

x 2

x2 4

3)lim

1 3x2

;

4) lim

x 4

5) lim (1 x)x2 1.

x x x2

x x 2

x 1

Исследовать функции на непрерывность:

x 0,

2) y

f (x) (x

0 x 1,

x 2,

x 1.

1 3

x 1

4. Найти производные данных функций:

1) y 3x2 33

2) y x2 3) (2x 1 ;

sin(3x 5)

y x arcsin x3

;

x 1 t2 ,

8) y (sinx)cosx ;

y log3 t;

x 1,

x 2.

3) y		2x4				;
3) y	b	2	x		4	;
	b		x
				1 e			x
6) y ln				1 e				;
6) y ln				x				;
				e

9) arctg(x y) 5x .

5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

1) 25,01; 2) arctg0,98.

6. Исследовать функции и построить график:

1)	y	9	;	2)	y e2x x2	.
		x2 9

Вариант № 2

Найти область определения функции:

1)arcsin

5x ;

2)ctg2x

x2 1

Найти пределы функций: 1) lim

arctgx2

;

x 0 2x

3) lim

x2 x 1

;

4) lim

2x 1

;

x x 2

x 4 2x

Исследовать функции на непрерывность:

sin2x,

x 1,

1 x 2, 2) y

1) f (x) x2 ,

3 2

x 2.

x 1

3x 4,

2) lim	3	x 2	;
	2	1
x 1	x

5) lim (ctgx)x2 .

x 0

x 1,

x 2.

4.	Найти производные данных функций:
		y 3x 2						x 1				y x 4 x				y ctgx
		y 3x 2						x 1				y x 4 x				y ctgx
	1)	3							;	2)				;	3)			;
	1)						2		;	2)				;	3)		x2 1	;
				x
	4)	y 5				;				5)		y (lgx)3 ;			6)	y tg(3x 5) ;
	4)	y 5		sinx		;				5)		y (lgx)3 ;			6)	y tg(3x 5) ;
	7)	x 5cost2 ,								8)		y x(x 5) ;			9)	x ln y y .
		y 7sint2 ;
5.	Вычислить приближенно с помощью дифференциала:
	1)	3			;					2)		sin310 .
	1)	3	63,98		;					2)		sin310 .
6.	Исследовать функции и построить график:
		y x ln x									y		2x
	1)	y x ln x					;			2)	y		2 x2 .
	1)						;			2)			2 x2 .

Вариант № 3

Найти область определения функции:

x 1

(x 1)3

ln(x2 1) arcsin(5 x )

1) x2 3x 2

;

cos2 x

Найти пределы функций:

1) lim

;

2) lim

;

x 1 x

2 (x

)

3x3

x 3

lim

;

4) limxx 1 ;

5) lim x

tgx .

x x3 x2 2

x 1

3. Исследовать функции на непрерывность:

x 1,

2) y

x 0,

x 3.

f (x)

x3 , 1 x 2,

4 3

x 3

x 2.

4. Найти производные данных функций:

3x2 1

y 5,4

3 2

;

y 5(x3 3x) (x2 1)

;

sin x

y ex sin3x;

5) y arctg

x 10

;

y cos(arcsin x);

7) x 1 1/t,

8) y (x 1)

x ;

9) 1 1 x y.

y 1 1/t;

5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

sin620.

15,97;

6. Исследовать функции и построить график:

;

y ln(1 x2).

x 4

Вариант № 4

1.	Найти область определения функции:
		tg(x )					3	3		arcsin(x 1)
							3		x
	1)					ln(x2 1) ; 2)			x			.
	1)					ln(x2 1) ; 2)						.
2.	Найти пределы функций: 1) lim										arcsin(4 x)		;
2.	Найти пределы функций: 1) lim												;
										x 4 sin(4 x)
			x x	2	1						x
	3) lim		x x		1		;	4) lim(3 x) (x 2) ;
	3) lim		2	4			;	4) lim(3 x) (x 2) ;
		x 2x		4						x 2
3.	Исследовать функции на непрерывность:

x x2

2) lim ;

x 0 1 x 1 x

		1
5) lim			tgx .

x	cosx

2

x2 3,

x 0,

2) y

, x 5,

x 4.

f (x) sin x,

0 x ,

1 2

x .

x 4

x ,

4. Найти производные данных функций:

x 2

;

x 2 4 x3 9

y (x3 x 3)ln x

cosx

y x

1 x

1 tg2x

y arcsin

x 1

;

1 x2

;

7) x sin(2t 5),							8)	y (tgx)x ;	9) ctg(x2 y2) 1.
	y cos2 (2t 5);
5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:
1)	3				;	2) cos310.
		27,02
6. Исследовать функции и построить график:
	1						y	4x
	y e		x
1)				;		2)		4 x2 .

Вариант № 5

1. Найти область определения:

;

x 1

sin(2x 5)

4 1 x2

arctgx

x 1

1 cos x2

2. Найти пределы функций: 1) lim

;

lim

;

x 0

x 4 x 8 2x

3x 4x2 1

3) lim

;

4) lim x(ln(x 2) ln x); 5)

lim xx

x x

x 0

3. Исследовать функции на непрерывность:

x/2,

x 2,

1) f (x)

2) y

x 5,

x 4.

x3 7,

2 x 3,

1 2

x 3.

x 4

2x 3,

4. Найти производные данных функций:

;

y x2 log3 x;

3) y arcsin2 x;

sin(ex )

y lg(x cosx) ;

y 10tgx ;

x 1

7) x et ,

y xx2 ;

y sin(x y) 0.

y lnt;

5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

;

cos620.

121,2

6. Исследовать функции и построить график:

y x2

y x e

;

x2 .

Вариант № 6

lg(x 3)

; 2)

3x2

tg(2x 5)

1. Найти область определения: 1) x2 1

x2 4x 4

arctgx

2. Найти пределы функций: 1) lim

;

lim

;

x 2 x

3x 2

x 0

sin2 x

4x 1 x2

3) lim

;

lim

;

lim(ctgx2)x

x 0 arcsin x

3 4x

x 0

3. Исследовать функции на непрерывность:

cos3x,

x 0,

2) y

x 2,

x 2.

f (x) x 1,

x 1,

x 1.

2 3

x 2

ln x,

4. Найти производные данных функций:

y 11

;

y (3

1) (5

arcsin x

1 ln x

;

y x cos2(x 1);

y 2log2 5 ;

1 ln x

7) x tcost,

y xlnx ;

9) 8x y x y .

y t(1 sint);

5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

;

cos460.

168,02

6. Исследовать функции и построить график:

x2 1

;

y x e x

Вариант № 7

1. Найти область определения функции:

1)	x2 4x 3 arctgx ;						2) sin x ln( x).
								2x2 x 1									arctgx
2. Найти пределы функций: 1) lim														;	2) lim				;
																		2
											3 x 2							2
							x 1				3 x 2				x 0 x x
	sin(x				)2					4
	sin(x				)2					4
3)lim			4			;	4)lim x		2					;	5) lim tgx			x
										(2x		2	1)
												2
				2															2 .
x	x	2					x								x	0


4			16												2
			16

3. Исследовать функции на непрерывность:

x2 ,

x 0,

f (x) tgx,

x /4,

x 2,

x 2.

2 3

x /4.

x 2

4. Найти производные данных функций:

1 x3

y 0,84

y (x2 1) (x 4)

5; 2)

;

1 x3 ;

0,3

;

5) y x e x

;

6) y log3(tgx);

x arccost,

8) y xx ;

9) 5x y x y.

y t2 5;

5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

;

sin460.

26,98

6. Исследовать функции и построить график:

y x e2x 1

2 2x ;

Вариант № 8

1. Найти область определения функции:

2) ctgx 8 x2 .

1) lg(x 5) 10

;

2. Найти пределы функций: 1) lim

x2 2x 3

;

lim

2x3 4x 5

;

x 3

x x

3) lim

arctgx2

4) lim

3x 1 x3

;

4 .

;

lim(sin(x 2))x

x 0 arcsin x

4 3x

x 2

3. Исследовать функции на непрерывность:

sin2x,

x /4,

x 6,

x 6.

f (x) ctgx,

x /2,

x /2.

1 3

x 6

x 1,

4. Найти производные данных функций:

x 3;

y (x 1) (x2

5);

;

y 1,3x 3

y arctg

;

y 2

;

y (cos2x)3 ;

sinx

7) x 2t ,

y ln x lnx ;

ctg(x2 y2) 1.

y ln2t ;

5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

1) 532,03; 2) arctg1,1.

6. Исследовать функции и построить график:

		x2 1
1) y ln(x2 2x 2);	2) y				.
		x	2
				2

Вариант № 9

1. Найти область определения функции:

arcsin

cos3x

;

3 x2

5 .

x 6

2. Найти пределы функций:

lim

x2 x

;

2) lim

x5 x 1

;

1 x 1 x

x 0

x 2x

x 1 x 2

limctg(x 2)

;

lim

;

5) lim(ctgx)x .

x 2

x 0

3. Исследовать функции на непрерывность:

2x2 1,

x 0,

x 6,

x 6.

f (x) cos2x,

0 x /2,

x /2.

1 3

x 6

x 2,

4. Найти производные данных функций:

sin x

; 2)

;

y (1

x) (1 x3)

y 0,1x 3 5,2

1 cosx

lnx

y log32 sin x2 ;

y x arctg

x 1

y 2

;

x tsint,

y tgx 8x ;

y 5xy 1 .

y 1 t;

5. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:

1) 31,02 ; 2) arcsin0,54.

6. Исследовать функции и построить график:

1)	y	1 2x	;	2)	y (x 4) e2x	.
		x2 x 2

Вариант № 10

1. Найти область определения функции:

1)	x 2	1	;	2)			lg(3 x2)	.
						1 x
		9sinx

					80

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 118 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.24 Mб5Учебное пособие 1492.pdf
#
30.04.20221.24 Mб3Учебное пособие 1493.pdf
#
30.04.20221.25 Mб2Учебное пособие 1494.pdf
#
30.04.20221.25 Mб6Учебное пособие 1495.pdf
#
30.04.20221.25 Mб17Учебное пособие 1496.pdf
#
30.04.20221.25 Mб8Учебное пособие 1498.pdf
#
30.04.20221.25 Mб5Учебное пособие 1499.pdf
#
30.04.2022206.67 Кб3Учебное пособие 15.pdf
#
30.04.2022302.53 Кб5Учебное пособие 150.pdf
#
30.04.20221.25 Mб14Учебное пособие 1500.pdf
#
30.04.20221.25 Mб2Учебное пособие 1501.pdf