Учебное пособие 1441

Это и есть уравнение траектории. В общем случае – это эллипс, оси которого ориентированы произвольно относительно координатных осей Х и У. Ориентация эллипса зависит от амплитуд a и b и разности фаз . Найдем траектории в некоторых частных случаях:

расстояние от начала координат О равно =x2 y2 .

9

Подставляя значения х и у, получим:

Таким образом, результирующее движение является гармоническим колебанием с частотой и амплитудой a2 b2 .

рис.7.). И в этом случае точка колеблется по отрезку прямой. 3. При = /2 уравнение траектории точки при-

Это означает, что точка при своем движении описывает эллипс.

Когда = /2 материальная точка вращается по эллипсу по ходу часовых стрелок, а при = - /2 - в противоположном направле-

нии. Стрелками указаны направления движения точки по эллипсу (рис.8.).

1.6. Затухающие колебания

Рассмотрим колебания механической системы в условиях действия сил сопротивления. Как показывает опыт, в первом приближении сила сопротивления пропорциональна скорости колеблющейся частицы.

10

Тогда закон движения частицы запишется в виде:

mx =-kx– rx , (23)

где r – коэффициент сопротивления; k – коэффициент упругости, характеризующий возвращающую силу.

Уравнение (23) может быть приведено к стандартному виду, представляющему дифференциальное уравнение затухающих колебаний

где 0=km .

Сростом коэффициента затухания

βпериод затухающих колебаний увеличивается, стремясь к бесконечности при кри-

тическом коэффициенте затухания βкр =0. При β βкр процесс носит апериодический характер. Выведенная из положения

равновесия система возвращается к нему, не совершая колебаний (рис.10).

Основные характеристики затухающих колебаний:

11

1) время релаксации - время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз:

ляет натуральный логарифм отношения двух соседних амплитуд, т.е.

где N – число колебаний, совершаемых за время релаксации; T-период колебаний.

3) добротность колебательной системы

где Е – энергия системы в момент времени t; ∆Е – убыль энергии за следующий период колебаний.

1.7. Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденными называются такие колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы. С учетом вынуждающей силы закон движения материальной точки запишется в виде

m x = -kx – rx + F0 cos t. (31)

После преобразования получим неоднородное дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания.

где ƒ0 = F0/m.

Общее решение данного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

12

Общее решение однородного уравнения имеет вид

где = 02 2 , А0 и α – произвольные постоянные.

Эти колебания достаточно быстро затухают, и вынужденные колебания будут определяться частным решением

x2 = A cos( t – φ). (34)

Здесь А - амплитуда установившихся вынужденных колебаний. Она равна:

характеризует отставание вынужденных колебаний системы от колебаний вынуждающей силы.

Слагаемое (33) играет значительную роль на начальной стадии процесса установления колебаний. График вынужденных колебаний представлен на

рис.11.

В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы, амплитуда и начальная фаза которых определяются

выражениями (35) и (36).

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При некоторой частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.

Чтобы определить резонансную частоту, нужно найти максимум функции (35) или, что то же самое, минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе. Продифференциро-

13

Уравнение (37) имеет три решения: =0 и рез = 02 2 2 Решение, равное нулю, соответствует статическому состоянию системы, отрицательное не имеет смысла и отбрасывается. Таким образом, для резонансной частоты получаем одно значение

Амплитуда колебаний при резонансе равна

Резонансные кривые при различных значениях коэффициента затухания представлены на рис.12. Чем меньше β, тем выше и правее лежит резонансный максимум и ближе резонансная частота к собственной частоте колебаний.

Если → 0, то все резонансные кривые приходят к одному и тому же зна-

чению ƒ0/ 0², так называемому стати-

ческому отклонению (смещению). Исполь-

зуя выражения для ƒ0

и 0, получаем x0 = F0/k, т.е. смещение системы под действием силы F0.

Резонансная амплитуда связана с добротностью Q колебательной системы следующим соотношением:

14

т.е. амплитуда колебаний при резонансе в Q раз больше статического смещения. Таким образом, добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем острее и выше резонанс.

1.8.Примеры решения задач

1.Построить график гармонического колебания

x = A cos ( t + ).

Приравнивая аргумент функции нулю, определяем момент времени t1: t1 + = 0. Отсюда t1 = - / .

Строим график функции x = A cos t , сдвигая его влево по оси времени на t1 = - / .

Аналогично строится функция x = A cos ( t - ). В этом случае график функции x = A cos t сдвигается вправо по оси на t1 = / . Полученные графики показаны на рисунке

2. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки amax = 0.493 м/с2, период колебаний Т = 2 с и смещение точки от положе-

ния равновесия в начальный момент времени х0 =0.025 м.

Дано: amax = 0.493 м/с2, Т = 2 с, х0 =0.025 м.

Найти: A, ω, .

Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид x = A Sin(ωt + ). Чтобы записать уравнение необходимо

15

определить все величины, входящие в формулу. Зная период, находим циклическую частоту ω = 2 / Т, ω = 1/c. Для определения амплитуды выразим ускорение колеблющейся точки a = d2t/dx2 = - A ω2 Sin(ωt + ). Тогда amax =A ω2, отку-

да можно найти амплитуду A = amax / ω2 = 0.05 м. Для определения начальной фазы используем смещение в момент времени t = 0: х0 = A Sin . Отсюда = arcsin (х0/ A) = arcsin (1/ 2) = /6. Подставляя рассчитанные значения, получаем ответ:

x = 0.05 Sin( t + /6 ) (м).

3. Найти уравнение траектории точки, если она движется по закону: , . Изобразить примерный вид этой траектории.

Решение. Из уравнений двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний видно, что координаты точки удовлетворяют условиям

С учетом условий (1) уравнение (2) определяет дугу параболы (см. рисунок), вдоль которой осуществляется периодическое движение точки.

16

4. Тонкое кольцо радиуса R совершает малые колебания относительно оси О. Найти их период.

Решение. Данную систему рассматриваем как один из примеров физического маятника, период малых колебаний которого вычисляется по формуле .

Ось О колебаний перпендикулярна плоскости кольца. В этом случае момент инерции кольца относительно оси О и расстояние до центра масс соответственно равны: Период малых колебаний

.

5. Логарифмический декремент затухания тела, колеблющегося с частотой 50 Гц, равен 0.01. Определить: 1) время, за которое амплитуда колебаний тела уменьшится в 20 раз; 2) число полных колебаний тела, чтобы произошло подобное уменьшение амплитуды.

Дано: = 50 Гц, = 0.01, A0/ А = 20.

Найти: t, N.

Решение. Амплитуда затухающих колебаний А =

A0 e t , где A0 – амплитуда колебаний в момент t = 0; - коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания = Т (Т = 1/ - период колебаний, - частота). Тогда

= и амплитуду можно записать в виде A = A0 e t , отку-

N = t/T =t . Вычисляя, получаем: 1) t = 6 с; 2) N = 300.

17

2.УПРУГИЕ ВОЛНЫ

2.1.Основные понятия. Уравнение волны

Волной называется процесс распространения колебаний

внепрерывной среде. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется

фронтом волны.

Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Поверхность, являющаяся геометрическим местом точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической.

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах направление колебаний совпадает с направлением распространения волны, в поперечных – эти направления перпендикулярны.

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие деформации растяжения и сжатия, поперечные – в средах, в которых возможны упругие деформации сдвига. Т.е. продольные волны могут возникать

влюбой среде (газ, жидкость, твердое тело), поперечные – только в твердых телах.

График зависимости смещения частиц среды от расстояния х до источника колебаний для фиксированного момента времени представлен на рис. 13.

Минимальное расстояние между частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны.

18