Учебное пособие 1352

После преобразований это условие можно представить в виде:

. (1)

Будем считать, что абсолютное перемещение призмы 1 ( ) совершается вправо по оси . Определим абсолютные перемещения других тел, выражая их через . Блок 3 и шкив 4 закреплены на призме, следовательно, их относительные перемещения равны нулю, а абсолютные - соответствуют перемещению призмы

ми силами системы, которые заставляют вращаться блок 3. Выразим переме-

. (4)

Подставив полученные перемещения тел системы в уравнение (1), получим:

( ) .

Отсюда следует уравнение движения призмы по горизонтальной гладкой поверхности

Знак минус показывает, что это движение осуществляется в противоположную сторону оси .

3.6. Принцип Даламбера

Принцип Даламбера позволяет перейти от задачи динамики механической системы к задаче статики и решить ее с помощью уравнений равновесия. Для материальной точки принцип Даламбера эквивалентен основному закону

21

динамики. Уравнение движения материальной точки массой относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и реакций связей имеет вид

, (3.35)

где – равнодействующая активных сил;

– равнодействующая реакций связей;– ускорение точки относительно инерциальной системы отсчета.

Рассмотрим систему материальных точек. К каждой точке системы приложим, наряду с активной и реактивной силами, силу инерции согласно

Просуммируем уравнения (3.37) по всем точкам системы и получим уравнение ее равновесия в виде

Умножим каждое из уравнений системы (3.37) векторно на радиус-вектор соответствующей точки

нат (главный момент активных сил); ∑ ( ) – главный момент реакций свя-

зей; ∑ ( ) – главный момент сил инерции системы. Применим принцип Даламбера к движению твердого тела.

Если тело совершает поступательное движение, то главный вектор сил инерции равен произведению массы тела на ускорение его центра масс, приложен к центру масс тела и направлен противоположно ускоре-

центр масс , то наряду с главным вектором сил инерции (3.40) на тело действует главный момент сил инер-

22

где – момент инерции тела относительно оси вращения, который определя-

Движения твердого тела можно рассматривать как сумму двух простых движений: поступательного движения вместе с центром масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс.

Следовательно, главный вектор сил инерции твердого тела равен произведению массы тела на ускорение его центра масс (3.40)

.

Главный момент сил инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно к плоскости движения тела, определим по формуле:

∑ ( ) ,

где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела.

3.7.Задача Д4. Применение принципа Даламбера

копределению реакций связей

Взадаче Д4 следует применить принцип Даламбера для определения натяжения нити на всех участках механической системы и ускорения центра масс тела или углового ускорения тела, указанного в таблице Д4.

Таблица Д4

ной 10 Н. Качение тел происходит без проскальзывания, трением скольжения груза можно пренебречь.

Пример выполнения задачи Д4

Механическая система (рис. Д4) состоит из груза 1, сплошного цилиндрического катка 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней и (ради-

23

ус инерции шкива ). Тела системы соединены друг с другом нерастяжимыми нитями, намотанными на шкив 3.

Под действием постоянной силы система приходит в движение из со-

Решение.

Механическая система совершает плоское движение. Обозначим эту плоскость . Для определения реакций связей воспользуемся принципом Даламбера. Построим расчетную схему (рис. Д4), на которой покажем внешние силы, действующие на тела механической системы: активные силы, реакции связей, а также силы инерции и моменты сил инерции.

инерции катка относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения.

Выразим и через поступательное ускорение первого тела . Для этого воспользуемся зависимостью между скоростями тел системы

Продифференцируем уравнения и получим

лучим:

Для определения ускорения и реакций нитей и рассмотрим динамическое равновесие тел, входящих в систему. Для каждого тела составим расчетную схему (рис. Д4 а, б, в).

учитывать момент силы трения, запишем уравнение равновесия для оси, про-

Подставим вычисленные ранее значения сил инерции и получим систему уравнений:

25

Если учесть исходные данные задачи то система упростится

Решая систему, получим результат. Ответ:

3.8.Основы аналитической механики

Ваналитической механике изучается равновесие и движение несвободных механических систем. Несвободной (или связанной) механической системой называется система тел, на перемещения или на скорости которой наложены дополнительные условия (ограничения). Ограничения уменьшают число степеней свободы механической системы и могут быть записаны аналитически с помощью уравнений связей. Например, если известно, что при движении

В зависимости от вида уравнения (3.41), связи бывают:

стационарные и нестационарные. Стационарными связями называются такие связи, уравнения которых в явном виде не зависят от времени. В приведенном выше примере связь стационарная. Для тела, лежащего на полу движущегося лифта, пол является нестационарной связью.

голономные (геометрические) и неголономные (кинематические). Голономными связями называются такие связи, уравнения которых не

содержат производных от координат по времени. Такие связи налагают ограничения только на координаты точек системы

( )

Неголономные – такие связи, которые накладывают ограничение на скорости точек системы. Уравнения неголономных связей называют неинтегрируемыми.

Например, для колеса, катящегося по поверхности без проскальзывания, выполняется условие

26

удерживающие и неудерживающие связи. Удерживающие связи препятствуют перемещению тела и записываются в виде равенств. Неудерживающие связи препятствуют перемещению тела только в некотором направлении и допускают перемещения в других направлениях. Уравнения неудерживающих связей записываются в виде неравенств. Например, уравнение связи

говорит о том, что точка может двигаться внутри сферы. идеальные и неидеальные. Идеальными называются связи, для кото-

рых сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы

где – реакция соответствующей связи;– возможное перемещение точки механической системы;

– угол между направлением реакции связи и возможным перемещением точки. Принцип возможных перемещений будет рассмотрен ниже.

27

Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений в сочетании с принципом Даламбера позволяет получить общее уравнение равновесия механической системы, не содержащее неизвестных реакций связей, что существенно облегчает решение многих задач механики. Возможными перемещениями механической системы называют совокупность элементарных перемещений точек системы из занимаемых в данный момент положений, которые допускаются наложенными на систему связями. Возможные перемещения отличаются от действительных тем, что их материальные точки системы не совершают, но могли бы совершить, не нарушая наложенных на них связей.

Пусть материальная точка движется по некоторой поверхности. Ее возможные перемещения в любой момент времени лежат в плоскости, касательной к поверхности и лишь одно из них, касательное к траектории, является действительным (рис. 3.4, рис. 3.5).

Рис. 3.4 Рис. 3.5

Любой системе можно сообщить бесконечное множество перемещений. Однако для любой из них можно указать некоторое число независимых между собой возможных перемещений.

Например, для находящейся на плоскости точки, любое возможное перемещение можно получить через элементарные независимые перемещения и . Число независимых возможных перемещений механической системы, на которую наложены голономные связи, равно числу степеней свободы этой

Сформулируем принцип возможных перемещений. Пусть механическая система находится в равновесии. Активные и реактивные силы, действующие на каждую её точку, уравновешены .

Придадим системе любое возможное перемещение и вычислим работу всех сил на этом перемещении. Так как силы, приложенные к точке, уравновешены, то сумма работ этих сил на любом возможном перемещении системы

При равновесии механической системы с идеальными и стационарными связями сумма работ всех активных сил системы на любом возможном ее перемещении равна нулю. Данное утверждение называют принципом возможных перемещений, который был разработан Д.Бернулли в 1717 г.

Пусть механическая система, совершает движение под действием активных сил и реакций связей. Для каждой точки системы можно записать дифференциальное уравнение вида . Воспользуемся принципом Даламбера, для чего приложим ко всем точкам системы силы инерции

Уравнения равновесия и движения механической системы в обобщенных координатах

Обобщенные координаты – это независимые параметры, с помощью которых можно однозначно определить положение механической системы в любой момент времени. У механических систем с голономными (геометриче-

29

скими) связями число обобщенных координат равно числу степеней свободы. Обобщенные координаты обозначаются буквами

где – число степеней свободы системы.

Обобщенные координаты могут иметь любой физический смысл и любую размерность. В механике они могут иметь размерность длины, угла, площади, объема и т.д.

Например, плоский математический маятник имеет одну степень свободы . В качестве обобщенной координаты можно принять: угол отклонения маятника , длину дуги или площадь сектора (рис. 3.6).

При движении механической системе обобщенные координаты системы изменяются во времени. Производные обобщенных координат по времени называют обобщенными

скоростями ̇ ̇ ̇, где ̇ , ( ).

Малые положительные приращения обобщенных координат называются обобщенными возможными перемещениями и обозначаются символами

Пусть система имеет степеней свободы, и ее положение определяют обобщенных координат (3.47). Если связи, наложенные на систему стационарные, то радиус-векторы частиц системы зависят от обобщенных координат

обобщенной координате . Особенностью обобщенной силы является то, что

30