Учебное пособие 1282

ЗАНЯТИЕ № 6

СИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ. ПРИВЕДЕНИЕ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ

Литература: [2], c. 213-219; [5], c. 102-111, 119-122; [7], c. 181-182; [15], с. 93-97.[16],c. 41-45.

Контрольные вопросы и задания

1.Какая матрица называется симметричной?

2.Что называется собственным значением и собственным вектором матрицы?

3.Как находятся собственные значения и собственные векторы?

4.В каком базисе симметричная матрица имеет диагональный вид (теорема с доказательством)?

5.При изучении каких задач используются симметричные матрицы и процесс их диагонализации?

Примеры решения задач Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного своей матрицей

Решение. Записываем характеристическое уравнение:

Корни этого уравнения: 1 2 1 и 3 1.

Составляем систему для определения координат собственных векторов:

188 8

18

7 x1 12x2 6x3 010x1 19 x2 10x3 0 .12x1 24x2 13 x3 0

Подставляем в систему 1 2 1:

6x1 12x2 6x3 010x1 20x2 10x3 0 .

12x1 24x2 12x3 0

Разделив первое уравнение на 6, второе на 10, а третье на 12, замечаем, что эта система эквивалентна одному уравнению

x1 2x2 x3 0 .

Следовательно, система имеет два линейно независимых решения, соответствующих координатам двух собственных векторов, например:

Подставим теперь в систему 3 1:

8x1 12x2 6x3 010x1 18x2 10x3 0 .

12x1 24x2 14x3 0

Прибавив первое уравнение ко второму, замечаем, что эта система эквивалентна системе

199 8

19

Найденные собственные векторы a1 , a2 , a3 образуют базис, в

котором матрица A линейного оператора имеет следующий диагональный вид:

Отметим, что все собственные векторы, соответствующие собственному значению 1, определяются равенством a 1 a1 a2 , где и – произвольные числа не равные

одновременно нулю. Все собственные векторы, соответствующие собственному числу 1, определяются равенством a 1 a3 , где 0 – произвольное число.

Пример 2. Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором базисе симметричной матрицей

Решение. Записываем характеристическое уравнение:

Частному решению этой системы соответствует собственный вектор a2 2, 0, 1 . Заметим, что a1 a2 0 a1 a2 . Третий собственный вектор находим как векторное произведе-

ние: a3 a1 a2 2, 5, 4 .

Ортонормированный базис будут составлять векторы:

Задачи и упражнения для самостоятельного решения Решить задачи: [7], 4.134, 4.136, 4.172-4.175, 4.184.

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.

211 8

21

ЗАНЯТИЕ № 7

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ.РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ.УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ.

Литература: [1], с. 51-60; [2], с. 59-66, [16], c. 41-45.

Контрольные вопросы и задания

1. Напишите общее уравнение прямой и частные случаи этого уравнения.

2.напишите уравнение прямой с угловым коэффициен-

том.

3.Как вычисляется угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки?

4.Как можно преобразовать общее уравнение прямой в нормальное уравнение?

5.Как находится угол между двумя прямыми на плос-

кости?

6.Напишите условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

7.По какой формуле определяется расстояние от точки до данной прямой на плоскости?

Примеры решения задач

Пример 1. Уравнение прямой 4x-3y+12=0 представить в различных видах: с угловым коэффициентом, в отрезках, в виде нормального уравнения.

Решение. Для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом разрешим данное уравнение относительно у , полу-

чим y 43 x 4 - это уравнение прямой с угловым коэффици-

222 8

22

Пример 4. Через точку пересечения прямых 3х-2у+5=0 и х+2у- 9=0 проведена прямая, параллельная прямой 2х+у+6=0. Составить ее уравнение.

Решение. Найдем сначала точку М пересечения данных прямых. Для этого решим систему уравнений:

Получаем М(1,4) – точка пересечения этих прямых. Угловой коэффициент прямой 2х+у+6=0 k1 = -2, следовательно угловой коэффициент прямой, параллельно данной k2 =k1 = -2. Запишем уравнение искомой прямой. По формуле y y0 k(x x0 ) получаем у-4=-2(х-1), т.е. 2х+у-6=0.

Пример 5. Найти расстояние между параллельными прямыми

3х+4у-20=0 и 6х+8у+5=0.

Решение. Возьмём на первой прямой произвольную точку А. Пусть, например, х=0, тогда у=5, т.е. А(0,5).

По формуле d Ax0 By0 C . найдем расстояние от точки до

A2 B 2

второй прямой, получим:

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

1) Доказать, что условие принадлежности трех точек М1

(х1 , у1), М2 (х2 , у2 ) и М3 (х3 , у3 ) одной прямой можно записать в виде:

244 8

24

x1 y1 1

x2 y2 1 0 x3 y3 1

2) Решить задачи [6], №№ 215, 223, 227, 234, 266, 312, 322. Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.

ЗАНЯТИЕ № 8

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКАК

КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Литература: [1], c. 129-139; [15], с. 106-110, [16],c. 45-48, c. 60-61.

Контрольные вопросы и задания

1.Какой вид имеет общее уравнение кривой второго по-

рядка?

2.Какой вид имеют канонические уравнения эллипса, окружности, гиперболы, параболы?

3.Запишите преобразование координат при повороте системы координат на угол .

4.Запишите преобразование координат при параллельном переносе системы координат.

5.Каков алгоритм приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с помощью преобразования системы координат?

Примеры решения задач Пример. Привести к каноническому виду уравнение

29x2 24xy 36y2 82x 96y 91 0 ,

изобразить на чертеже оси координатных систем и геометрический образ, определяемый данным уравнением.

255 8

25