Учебное пособие 1238

причем для стохастических эквивалентных элементов с распределением наработки 1( ) [3]:

) элементов, находящихся в нагруженном резерве. Такая система работоспособна, если работают по крайней мере из

а для стохастических эквивалентных элементов с функцией распределения 1( ) [3]:

Последовательные и параллельные системы изображе-

ны на рис.2 (структурные схемы надежности).

9

Параллельная система

e1

e2

...

en

Рис. 2. Варианты структуры систем

1.2.Важнейшие распределения наработки

Втеории надежности большое значение имеют некоторые теоретические распределения наработки, хорошо аппроксимирующие реальные распределения. Основными статистическими характеристиками распределения случайной наработки являются [1]:

функция распределения( ),

плотность вероятности( ),

вероятность безотказной работы F (t) ,

математическое ожидание( ),

дисперсия D2(X),

интенсивность отказов( ).

Эти характеристики для наиболее часто используемых распределений приведены в настоящем разделе.

10

1. Усеченное слева нормальное распределение

При этом обозначено A 1 / 1 . Нетрудно убе-

диться, что согласно такому определению (0) = 0 и (∞) = 1, в то время как для нормально распределенной случайной

величины F (0) ( ) 0 , то есть наработка с положитель-

ной вероятностью принимает отрицательные значения. Именно поэтому нормальное распределение «усекают» слева относительно 0 [3].

11

2. Распределение Вейбулла-Гнеденко

Если случайная величина X / , 0, 0 экс-

поненциально распределена с параметром = 1, то случайная величина имеет распределение Вейбулла-Гнеденко [3]:

Последовательная система, образованная из независимых элементов, имеющих одинаковое распределение Вей- булла-Гнеденко, также имеет распределение ВейбуллаГнеденко [1].

12

3. Распределение Эрланга

В частном случае = 1 распределение Эрланга превращается в экспоненциальное распределение с парамет-

ром [3].

3. Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение относится к наиболее используемым распределениям, поскольку упростить исследования и вообще провести вычисления часто можно лишь для «не стареющих» систем с экспоненциально распределенной наработкой.

Экспоненциальное распределение не подходит для моделирования сильных изменений интенсивности отказов в течение времени [1].

13

Интенсивность отказов для гамма-распределения является возрастающей при > 1 и убывающей при < 1 [3].

14

6. Логарифмически нормальное распределение

Если величина = ( )имеет нормальное распределение с математическим ожиданием µ и дисперсией 2, то называется логарифмически нормально распределенной случайной величиной [3].

D2 ( X ) e2 2 (e 2 1)

Логарифмически нормальное распределение малопригодно для описания распределения наработки, тем не менее, оно используется в качестве распределения времени восстановления [1].

15

Обратное гауссовское распределение [3] используется тогда, когда работоспособность системы зависит от нормально распределенного параметра, изменение которого во времени приводит к постепенному отказу [1].

16

2. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ НАРАБОТКИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ИСПЫТАНИЙ

На практике при анализе надежности систем, вообще говоря, не знают (полностью или частично), каковы функции распределения наработок и времени восстановления. Информацию об этих распределениях получают при оценивании результатов измерения или наблюдения с помощью соответствующих статистических методов [1].

Основной задачей далее является аппроксимация полученного эмпирического распределения некоторым теоретическим с целью определения требуемых характеристик надежности анализируемой системы.

К настоящему времени разработаны несколько методов подобной аппроксимации, в основе которых лежит понятие полной выборки [1]. Под полной (простой) выборкой порядка случайной наработки с функцией распределения

ты которого являются независимыми одинаково распреде-

выборка порядка . Ее можно получить, если зарегистрировать наработки статистически эквивалентных систем, которые работают независимо друг от друга в одинаковых условиях.

Если упорядочить компоненты конкретной выборки по возрастанию, получим реализацию соответствующей упоря-

17

функцию распределения . Определим кусочно-постоянную функцию с помощью формулы [1]

при этом ( )называется эмпирической функцией распределения.

Первый вариант аппроксимации заключается в сравнении графиков эмпирической и теоретической функции распределения «на глаз». При сравнении двух прямых, используют соответствующее преобразование координат.

Более строго: полагая, что рассматривается двухпараметрическое семейство распределений наработки { ( ; , ); , }, в общем случае график ( ; , ) как функции от не позволяет сделать утверждение относительно того, к какому типу распределений принадлежит функция . Однако после преобразования координат, переводящего функцию ( ; , ) в прямую, сравнительно нетрудно вынести решение о применимости или неприменимости соответствующего теоретического распределения для описания анализируемой наработки «на глаз» по визуальной близости двух прямых. При этом соответствующее преобразование координат нетрудно определить из условия [1]:

18