Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1225

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

887.77 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

1.5.	а)	³	1 ln x				dx ,

					x
	в)	³	x3dx				,
				x 1

1.6.		³		x3
	а)					dx ,
			x	8
					1
	в)	³		x 1					,
			x
					x 2
1.7.	а)	³x3			4 5x4 dx ,
	в)	³			dx					,
			x		1
								x 4

б)

г)

б)

г)

б)

г)

³4x4 8x3 3x 3 dx ,

x3 2x2 x

³5cos x 10sin x .

³x3x 2x2 dx ,

³3 2cos x sin x .

4x2

³(x2 2x 1) (x 1) dx , ³5 3cosdx x .

				1			2x2 2x 1
1.8.		³	e x			б) ³		dx ,

	а)				dx ,		x2 x3
			x	2

в)

x 2

dx ,

г)

x 3

1.9.

а)

x dx

б)

1 x2

в)

г)

1.10.

а)

³3(x2 x2ex3 ) dx ,

б)

в)

г)

x x 3

1.11. а)

cos

dx ,

б)

в)

1 x

г)

1.12. а)

x2dx

б)

1 x6

в)

x dx

г)

x 1

³8 4sin x 7 cos x .

³2x2 5x 1 dx ,

x3 2x2 x

³3 dxcos x .

³4x4 8x3 x 2 dx , x x 1 2dx

³2sin x 3cos x 3 .

³2x4 4x3 2x2 4x 1dx, x x 1 2

³5 4dxsin x .dx

³3x x2 2 dx , x x 1 2

³8 4dxcos x .

1.13. а)	³		sin ln x				dx ,

				x
в)	³			x dx		,

			x 1
1.14. а)	³				dx					,
			x
				1 ln 2 x
в)	³				dx				,
		3
					x 5
1.15. а)	³sin x cos3 xdx ,
в)	³				dx			,
		1			x 1

1.16.а) ³12ctg3x dx ,

в) ³x dxx 7 ,

1.17.а) ³ 4xdxx2 ,

в)

x 1

dx ,

x x 1

1.18. а)

ln 2 x

в)

x3dx

1.19. а)

³cos xsin3 x dx ,

в)

x2dx

1.20. а)

x dx

)

cos

в)

x 4

dx,

1.21. а)

exdx

б) ³

2x3 1

dx ,

x2 x 1

г) ³

3sin x 4cos x

б) ³

x3 3

dx ,

(x 1) (x2

г) ³

7sin x 3cos x

б) ³

3x 2

x3 2x2 x

г) ³

4sin x 3cos x

б) ³

x 2

dx ,

3 2x2 x

г) ³

4cos x 3sin x

б) ³

4 8x3 1

dx ,

x) (x

г) ³

2 sin x 3cos x

dx .

1 cos x

б) ³

4xdx

1) (x

г) ³

5 sin x 3cos x

б) ³

x3 x2

г) ³

4sin x 3cos x

б) ³

x3 4x

2 2x 1

dx ,

г) ³7 6sin x 5cos x dx . 1 cos x

б) ³ 6x 2x2 1 dx , x3 2x2 x

в)

x3dx

x 2

1.22. а)

x ( ln

в)

x dx

x 10

1.23. а)

³x52x2 dx ,

в)

x(x 1)

1.24. а)

cos8x dx

3 2sin 8x

в)

1 x 2

1.25.а) ³x5 ( 1 x6 ) dx , в) ³x dxx 2 ,

г) ³

cos x sin x

б) ³

2x3 2x2 4x 3

dx ,

x3 x2

г) ³

6sin x cos x

dx .

1 cos x

б) ³

x3 4x 5

1) (x 1)

г) ³

3cos x 4sin x

б) ³

2 2

dx ,

x(x 1)2

г) ³

3cos x

б) ³

x 5

dx ,

3 x2 x

г) ³

4sin 2x

6cos2x

Задача 2.

Вычислить.

3 x

2.1.

а)

³(2 5x)e 4xdx ,

б)

dx .

x2 2x 3

2.2.

а)

³(x 2)sin

dx ,

б)

x 1

dx.

³(3x 1) cos2xdx ,

2x 5

2.3.

а)

б)

dx .

2x2 3x 5

2.4.

а)

³(5x 3)e3x 1dx ,

б)

x 2

dx.

x2 x 4

2.5.

а)

³ln(4x 3)dx ,

б)

dx .

3x2 5x 7

2.6.

а)

³ ( 3x 2)sin 5xdx ,

б)

x 4

dx .

2x2 x 1

2.7.

а)

³(4x 3) e 2x 3dx ,

б)

1 x

dx .

x2 4x 8

2.8.

а)

³ln(4x

1) dx,

б)

3x 2

dx .

x2 3x 3

2.9.а)

2.10.а)

2.11.а)

2.12.а)

2.13.а)

2.14.а)

2.15.а)

2.16.а)

2.17.а)

2.18.а)

2.19.а)

2.20.а)

2.21.а)

2.22.а)

2.23.а)

2.24.а)

2.25.а)

³(7 2x) cos7xdx ,

³arctg5xdx ,

³arcsin 2x dx ,

♣ x		∙
³♦		3÷ sin 3x dx ,
	5
♥		≠

³arctg 3x dx ,

³ln( x2 3) dx ,

³(3 7x) e 8xdx ,

³arccos(2x 1) dx ,

³(8 3x)cos(5x 1)dx ,

³x 52 3x dx ,

³ln(3 5x) dx ,

³arcsin 83x dx ,

³xsin(3x 5) dx,

³x ln(2x 3) dx ,

³ln(5 x2 ) dx ,

³(x 2)e 2xdx ,

³arcsin(1 x) dx ,

б)

5x 3

dx .

5x2 x 2

2x 3

dx .

x2 x 3

dx.

5x2 2x 1

4x 1

dx .

x2 2x 5

2 x

dx.

x2 x 7

3x 4

dx .

2x2 3x 9

³x2 3xx 4 dx .

³		5x 1
				dx .
		3x2 2x 1
³		x 3
				dx .
		2x2 2x 1
³		x 7
			dx .
	x2 5x 9

³4x2 x x 5 dx .

³	7x 2
	5x2 x 3 dx .

³ x 4 dx . x2 2x 5

³ 5 x dx . x2 2x 7

³ 3 2x dx . x2 x 2

³ 8x 5 dx .

3x2 x 1

³ x 2 dx . x2 2x 2

1 cos x

Задача №3.				Вычислить.
3.1. ³arctg		3x 1 dx.			3.2. ³(2x 5) cos4xdx.	3.3. ³(3x 4)e3xdx .
3.4. ³ln( x2 4)dx.				3.5. ³(1 2x)e2xdx. 3.6. ³(4 16x)sin 4xdx.
3.7. ³arctg		4x 1dx.			3.8. ³(4x 2) cos2xdx.	3.9. ³(5x 2)e3xdx.
3.10. ³e 2x (4x 3)dx.					3.11. ³(2 3x)sin 2xdx.	3.12. ³ln( x2 4)dx.
3.13. ³e 3x (2 x)dx. 3.14. ³arctg 3x 2 dx.						3.15. ³(5x 11)sin 4xdx.
3.16. ³e 2x (2 9x)dx. 3.17. ³e 3x (2 9x)dx.						3.18. ³	x cos xdx	.

							sin 3 x
3.19. ³(x 5)sin 3xdx.					3.20. ³(4x2 1) ln x dx. 3.21. ³(4x 7) cos3xdx.
3.22. ³	xdx		. 3.23. ³(2 4x)sin 2xdx. 3.24. ³(2x 1)ln x dx.

sin 2 x

3.25. ³(3x 2) cos5xdx.

Задача №4. Найти неопределенные интегралы.

4.1. ³	x cos x sin x					dx.
4.1. ³						dx.
		(x sin x)2
4.4. ³		tg(2x 1)			dx.
4.4. ³					dx.
	cos2 (2x 1)
4.7. ³		x cos x		dx.
4.7. ³	x2 2sin x			dx.
	x2 2sin x
4.10. ³		2	x	dx.
4.10. ³		x(x 1)		dx.
		x(x 1)
4.13. ³		1	x	dx.
4.13. ³		x(x 1)		dx.
		x(x 1)

4.2. ³ x2 cos x dx. x3 3sin x

4.5. ³8x arctg 2xdx. 1 4x2

4.8. ³(x sin x)3 dx.

4.11.³1 ln( x 1)dx.

4.14.³1 ln( x 1)dx.

4.3. ³(arcsin x)2 1 dx. 1 x2

4.6.³ x3 xln xdx.

4.9.³4arctgx xdx.

1x2

4.12.³ x arctg3xdx.

19x2

4.15.³1 xln xdx.

4.16. ³

(arcsin x)4

dx. 4.17. ³

(arccosx)3

dx. 4.18. ³

x2 ln x2

dx.

1 x2

4.19. ³

tg(x 1)

dx.

4.20. ³

xdx

4.21. ³

1 cos x

dx.

x4 x2 1

cos (x 1)

(x sin x)

4.22. ³tgx ln cos xdx.

4.23. ³

sin x cos x

dx.

4.24. ³

dx.

(cosx sin x)5

4.25. ³

Задача №5. Найти неопределенные интегралы.

5.1 ³

3x5 12x3 7

dx.

5.2. ³

5x3

7x 9

dx.

5.3. ³

x3 5x

dx.

(x 3)(x

1)x

(x 1)(x 1)(x 2)

5.4. ³

x3 x 2

dx.

5.5. ³

9x3 4

dx.

5.6. ³

2x3 4

dx.

1)(x 1)(x 2)

2 3x

5.7. ³

dx.

5.8. ³

dx.

5.9. ³

3x4 5x2 2

dx.

x(x

1)(x

3x 2

5.10. ³

dx.

5.11. ³

2x3

dx.

5.12. ³

dx.

x(x

1)(x

x2 x

5.13. ³

dx.

5.14. ³

dx. 5.15. ³

dx.

(x 3)(x 1)x

(x 1)(x 1)(x

5.16. ³

x3 17

5.17. ³

2x3 1

5.18. ³

25x3 1

dx.

5.19. ³

2x5

8x3 3

5.20. ³

2x3 x

5.21. ³

2x3 x2

7x 12

dx.

x(x 4)(x 2)

x(x 3)(x 1)

5.22. ³

x3 2

dx.

5.23. ³

5x3

dx.

5.24. ³

x3 4

dx.

5.25. ³

2x3

dx.

4x 3

Задача №6. Найти неопределенные интегралы.

6.1. ³		5x 4		dx.	6.2. ³		x 2	dx.
	(x 2)(x 1)3						(x 2)x3

6.4. ³	2	x	dx.		6.5. ³		x2 7x		dx.
	x 3 x3					(x 2)(x 1)3

6.3. ³(x 2)(x 1)3 dx.

6.6. ³	x 2	dx.
	(x 2)(x 2)3

2x 1

6.7. ³(x 1)(x 2)3 dx.

6.10. ³	x 1				dx.
	(x 2)(x 1)3

6.13. ³	x 4				dx.
	(x 2)(x 1)		3

6.16. ³	2x 1				dx.
	(x 1)(x	2)	3

6.19. ³	3x 1			dx.
	(x 1)(x	2)3

6.22. ³	3x 1				dx.
	(x 2)(x 1)		3

6.25. ³	2x 1				dx.
	(x 2)(x 1)		3

6.8. ³			x 3	dx.
6.8. ³	(x 2)x3			dx.
	(x 2)x3
6.11. ³			x 1					dx.
6.11. ³		(x 2)(x				2)3		dx.
		(x 2)(x				2)3
6.14. ³			2x 1		dx.
6.14. ³		(x 2)x3			dx.
		(x 2)x3
6.17. ³			x 2				dx.
6.17. ³		(x 1)(x				2)3	dx.
		(x 1)(x				2)3
6.20. ³			2x 1					dx.
6.20. ³			(x 2)(x 1)3					dx.
			(x 2)(x 1)3
6.23. ³			3x 1				dx.
6.23. ³		(x 1)(x				2)3	dx.
		(x 1)(x				2)3

6.9. ³				x 1		dx.
6.9. ³	(x 1)(x 2)3					dx.
	(x 1)(x 2)3
6.12. ³				x			dx.
6.12. ³				(x 1)(x 2)3			dx.
				(x 1)(x 2)3
6.15. ³				x 3			dx.
6.15. ³		(x 2)(x			2)3		dx.
		(x 2)(x			2)3
6.18. ³				3x 1			dx.
6.18. ³		(x 2)(x			1)3		dx.
		(x 2)(x			1)3
6.21. ³				2x 3			dx.
6.21. ³			(x 2)(x 1)3				dx.
			(x 2)(x 1)3
6.24. ³				5x 4			dx.
6.24. ³			(x 2)(x 1)3				dx.
			(x 2)(x 1)3

Задача №7. Найти неопределенные интегралы.

7.1. ³

x 1

dx.

7.2. ³

dx.

(x2

x 1)(x2

1)2 (x2 9)

7.3. ³

x 1

dx.

7.4. ³

dx.

(x2

x 1)(x2

(x 1)2

(x2 4x 5)

7.5 ³

x 1

dx.

7.6. ³

x 1

dx.

(x2 x

1)(x2

3)2 (x2 2x 2)

7.7. ³

7.8. ³

x 1

x 1 2 x2 9 dx.

dx.

(x2 x 1)(x2 x 2)

7.9. ³

dx.

7.10. ³

dx.

(x 3)2 (x2 2x 2)

(x2 x 1)(x2 1)

7.11. ³

x 2

dx.

7.12. ³

x 2

dx.

(x 1)2 (x2

(x 1)

2 (x2

4x 5)

7.13. ³

x 2

dx.

7.14. ³

dx.

(x 1)2 (x2 x 1)

(x 1)

2 (x2

4x 5)

7.15. ³

2x 6

dx.

7.16. ³

4x 3

dx.

(x 1)2 (x2

1)2 (x2 9)

7.17. ³

dx.

7.18. ³

4x 1

dx.

(x2 x 1)(x2

(x 1)2 (x2

7.19. ³

x 1

dx.

7.20. ³

2x 3

dx.

x2 (x2 x 2)

x2 (x2 9)

7.21. ³

x 1

dx.

7.22. ³

x 2

dx.

(x 1)2 (x2

(x2 4x 5)

x 1)

7.23. ³

x 1

dx.

7.24. ³

x 2

dx.

(x2 x 1)(x2

x2 (x2 x

7.25. ³

x 2

dx.

3)2 (x2 2x 2)

4. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

4.1. Площадь криволинейной трапеции. Понятие определенного интеграла

К понятию определенного интеграла приводят многие задачи геометрии, механики и физики.

Пусть функция y f (x) непрерывна на отрезке [a,b], причем f(x) >0. Рассмотрим фигуру, ограниченную осью Ох, графиком y f (x) , и двумя

прямыми: x = a и x = b.

Эта фигура называется криволинейной трапецией, отрезок [a,b] оси Ох – ее основанием (рис. 5).

у0

М0

х0=a

[n-1

xn=b

...

Рис. 5

Найдем площадь этой фигуры. Разобьем отрезок [a,b] на n частей произвольным образом. Через точки деления x1, x2, , xn 1 проведем прямые,

параллельные оси Оу. Криволинейная трапеция при этом разбивается на n частей. Обозначим длины элементарных отрезков через xk :

	x0	x1 x0; x1		x2 x1;... xk	xk 1 xk ;... xn 1	xn xn 1.
[k :	В каждом из элементарных промежутков возьмём произвольную точку
[k :	x0 δ [0 δ x1; x1 δ [1 δ x2 ;... xk				δ [k δ xk 1;...xn 1 δ [n 1 δ xn.
	x0 δ [0 δ x1; x1 δ [1 δ x2 ;... xk				δ [k δ xk 1;...xn 1 δ [n 1 δ xn.
	Вычислим значения функции f(x) в этих точках:
			f [0 , f [1 ,... , f [k ,..., f [n 1 .			xk
	Каждую элементарную полоску с основанием					xk	заменим
прямоугольником			с тем	же самым	основанием xk и	высотой f ([k )
( k	0,1, 2,	,n 1). Площадь каждого такого прямоугольника равна					f ([k ) xk .
	При этом криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой,
площадь которой равна сумме площадей элементарных прямоугольников:
		Sn	f [0 x0 f [1 x1 ... f [k xk ... f [n 1 xn 1
	n 1
или	Sn ¦ f [k xk .
	k	0

Ясно, что площадь Sn ступенчатой фигуры не равна площади

криволинейной трапеции, а является лишь приближенным значением искомой площади. Очевидно, что это приближение будет тем более точным, чем меньше

длина частичных интервалов (и больше n).	Полоски	становятся	уже, т.е.
ломаная линия будет теснее примыкать к кривой y f (x).
За площадь криволинейной трапеции	принимают	предел, к	которому

стремиться Sn , когда разбиение отрезка [a,b] делается сколь угодно мелким (если такой предел существует):

lim

или

lim

n 1

f ([

) x

(4.1)

ο0

max x

k 0

Здесь max xk - наибольшая длина элементарного отрезка.

Операция, приведшая к формуле (4.1) называется интегрированием функции на отрезке. Сумма:

n 1
I ¦ f ([k ) xk	(4.2)
k 0	f (x) при данном разбиении
называется интегральной суммой для функции	f (x) при данном разбиении

отрезка [a,b] на частичные и данном выборе промежуточных точек [k .

Интегральных сумм для данной функции и данного отрезка можно составить бесконечно много, так как они зависят от способа разбиения отрезка [a,b] и от выбора точек [k .

Если частичные	отрезки становятся сколь	угодно	мелкими, т.е.
max xk ο 0, а число	n элементарных отрезков в	разбиении	стремиться к

бесконечности, то интегральная сумма будет каким-то образом изменяться. Определение. Если существует предел интегральной суммы (4.2) при

max xk ο 0 и если этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные, ни от выбора промежуточных точек [k , то этот предел называется

определенным интегралом от функции f (x) на отрезке [a,b] и

обозначается: ³ f (x)dx .

Здесь а – нижний предел интегрирования. Таким образом, записываемое в виде

интегрирования, b – верхний предел определенный интеграл - это число,

b		n 1
³ f (x)dx	lim	¦ f ([k ) xk .	(4.3)
a	max xk ο0 k 0		f (x) τ 0 :
Геометрический смысл	определенного интеграла при		f (x) τ 0 :

определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

4.2. Свойства определенного интеграла

Из определения вытекают следующие свойства.

	b
1.	³dx b a .
	a
	b	b	a
2.	³ f (x)dx	³ f (x)dx , а если a	b, то ³ f (x)dx 0 .
	a	a	a

3.Функция f (x) непрерывная на отрезке [a,b] , интегрируема на этом

отрезке.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

b	b
³Af (x)dx A³ f (x)dx .
a	a
5. Если функции f (x) и g(x)	интегрируемы на [a,b] , то определенный

интеграл их алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых

b	b	b
³	> f (x) g(x) dx ³ f (x)dx ³g(x)dx .
a	a	a

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022884.01 Кб8Учебное пособие 1220.pdf
#
30.04.2022884.01 Кб2Учебное пособие 1221.pdf
#
30.04.2022884.82 Кб10Учебное пособие 1222.pdf
#
30.04.2022885.2 Кб2Учебное пособие 1223.pdf
#
30.04.2022886.3 Кб5Учебное пособие 1224.pdf
#
30.04.2022887.77 Кб2Учебное пособие 1225.pdf
#
30.04.2022888.85 Кб5Учебное пособие 1226.pdf
#
30.04.2022889.41 Кб3Учебное пособие 1227.pdf
#
30.04.2022890.14 Кб5Учебное пособие 1228.pdf
#
30.04.2022890.78 Кб15Учебное пособие 1229.pdf
#
30.04.2022288.6 Кб4Учебное пособие 123.pdf