Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1199

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

865.38 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Рис. 3

Метод Симпсона. Метод Симпсона применим при разбиении интервала a,b на четное число частей n 2k . Каждая пара полосок ограничивается сверху параболой, проходящей через три точки. Затем вычисляется площадь каждой пары полосок, ограниченной сверху параболой. Сумма площадей всех пар полосок является приближенным значением определенного интеграла (рис. 4).

f (x)dx

(y0 y1 y2)

(y2 y3 y4)

(y2k 2 y2k 1 y2k )

4(y

y ... y

k 1

) 2(y

2k 2

)

Рис. 4

1) Для достижения заданной степени точности

необходимо определить значение n так, чтобы

(b a)

0.0005.

(*)

12n2

max

Здесь

a 0.7;

b 1.3;

где

f (x)

0.7;1.3

2x2 0.3

8x2

0.6

Находим

f (x)

(x)

(2x2 0.3)5

;

(2x2 0.3)3

(x)

8 1.32

0.6

max

6.98.

0.7;1.3

(2 0.7

0.3)

Положим

M2 7,

тогда неравенство

(*)

примет

вид

0.63 7 0.0005, откуда n2 252, т.е. n 16; возьмем n 20. 12n2

Вычисление интеграла проводим по формуле

			y		0	y	20
	I	h			0		20	y	y		.... y		, где
	I	h				2		y	y		.... y		, где
						2	1			2	19
h	b a			0.6		0.003;			y	i	y(x )				1		;
h						0.003;			y		y(x )						;
	n	20										i		2x	2	0.3
	n	20												2x	2	0.3
															i
			xi		0.7 ih				(i 0,1,2,...,19) .
Все вычисления приведены в табл. 3:
												Таблица 3
			i					xi				yi
		0					0.7					0.88386
		1					0.73					0.85572
		2					0.76					0.82898
		3					0.79					0.80366
		4					0.82					0.77973
		5					0.85					0.75700
		6					0.88					0.73546
		7					0.91					0.71501
		8					0.94					0.69551
		9					0.97					0.67700
		10					1.00					0.65937
		11					1.03					0.64259
		12					1.06					0.62657
		13					1.09					0.61140
		14					1.12					0.59669
		15					1.15					0.58272
		16					1.18					0.56935
		17					1.21					0.55658
		18					1.24					0.54431
		19					1.27					0.53253
		20					1.30					0.52129

Таким образом,

I		0.88386 0.52129				0.404.
	0.03			12.77022	0.40418
		2

	2)	Согласно	условию		n 8,	поэтому

h b a 1.6 1.2 0.05. n 8

Расчетная формула имеет вид

I	h	(y	0	4y 2y			2	4y	3	2y	4	4y	5	2y		6	4y	7	y	8	),
I		(y		4y 2y				4y		2y		4y		2y			4y		y		),
3				1
где yi y(xi)					sin(2xi			2.1)		, xi	1.2 ih				(i 0,1,2,...,8).
где yi y(xi)						xi2		1		, xi	1.2 ih				(i 0,1,2,...,8).
						xi2		1
Вычисления значения функции запишем в табл. 4:
													Таблица 4
						i				xi				yi
						0				1.2			0.1211
						1				1.25			0.1520
						2				1.30			0.1782
						3				1.35			0.2000
						4				1.40			0.2176
						5				1.45			0.2312
						6				1.50			0.2410
						7				1.55			0.2473
						8				1.60			0.2503

Следовательно,

I 0.05(0.3714 4 0.8305 2 0.6368) 0.05 4.9670 0.88278.

Задача № 6

Задание. Получить численное решение дифференци-

ального уравнения y f (x, y),		удовлетворяющее заданному
начальному условию y(x0) y0		на отрезке a,b с шагом
h 0.1, методом Эйлера			0;0.4 .
y x y,	y(0) 1,

Решение. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной

y f (x, y)	(1)
состоит в том, чтобы найти решение	этого уравнения,
удовлетворяющее начальному условию
y(x0) y0 .	(2)

Простейшим численным методом решения задачи Коши является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных

Эйлера.				x0
Пользуясь тем, что в			точке		известно и значение
решения	y(x0) y0	и	значение		его	производной
y (x0) f (y0, y0), можно записать уравнение						касательной к
графику искомой функции y y(x)				в точке (x0, y0):
	y y0	f (x0, y0)(x x0).				(3)

При достаточно малом значении h ордината

y1 y0 hf (x0, y0)

этой касательной, полученная подстановкой в правую часть (3) значения x1 x0 h, по непрерывности должна мало отличаться от ординаты y(x1) решения y(x) задачи (1)-(2).

Следовательно, точка (x1, y1) пересечения касательной с

прямой x x1 может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую

y y1 f (x1, y1)(x x1),

которая уже приближенно отражает поведение касательной к y(x) в точке (x1;y(x1)). Подставляя сюда x x2( x1 h), получим приближение значения y(x2) значением

y2 y1 hf (x1, y1)

ит.д. Продолжая вычисления в соответствии с намеченной

схемой, получим формулу Эйлера для решения задачи Коши

(1) - (2)

	yi 1 yi hf (xi, yi)		i 1,2,...,n.	(4)
Геометрический смысл метода Эйлера заключается в
том, что	интегральная	кривая y y(x)на каждом отрезке
x0,x1 ,	x1,x2 ,	…, xn 1,xn	заменяется	отрезком

касательной к интегральной кривой, проходящей через точки Pk (xk , yk ), а интегральная кривая заменяется ломаной,

проходящей через точки P0(x0, y0), P1(x1, y1), …, Pn(xn, yn). Эта ломаная называется ломаной Эйлера.

В нашем случае		f (x, y) x y;		n 4;	a 0;		b 0.4;
h (b a)/n 0.4/4 0.1.
Находим последовательные				значения		аргумента:
x0 0,	x1 0.1, x2	0.2,	x3 0.3, x4		0.4.		Вычислим

соответствующие значения искомой функции:

y1 y0 h f (x0, y0) 1 0.1(0 1) 1.1;

y2 y1 h f (x1, y1) 1.1 0.1(0.1 1.1) 1.22;

y3 y2 h f (x2, y2) 1.22 0.1(0.2 1.22) 1.362; y4 y3 h f (x3, y3) 1.362 0.1(0.3 1.362) 1.5282.

Результаты вычислений представим в табл. 5.

					Таблица 5
x	0	0.1	0.2	0.3	0.4
y	1	1.1	1.22	1.362	1.5282

Задача № 7

Задание. Найти численное решение линейной краевой задачи для дифференциального уравнения 2-го порядка конечно-разностным методом, используя аппроксимацию производныхвторого порядка и шаг h 0.1.


y xy 0.5	y	1,	y(2) 2y (2) 1,
	y

	x		y(2.3) 2.15,

Решение. Метод конечных разностей.

Разбив отрезок [2;2.3] на части с шагом h 0.1, получим

четыре	узловые точки	с абсциссами	x0 2;	x1 2.1;
x2 2.2;	x3 2.3. Две	точки x0 2 и	x3 2.3	являются

граничными, а две другие – внутренними. Данное уравнение во внутренних точках заменим конечно-разностным уравнением

yi 1 2hy2i yi 1 xi yi 12hyi 1 0.5 xyii 1 (i 2,3).

Для краевых условий составим конечно-разностное уравнение в граничных точках

		y	y	0
y0	2	1		0	1	(i 0),
y0	2		h		1	(i 0),
			h
	2.15		(i 3).
y3	2.15		(i 3).

Данная задача сводится к решению системы уравнений

			y		y	0
y0		2	1			0		1
y0		2			0.1			1
					0.1
		2y1		y0					y2		y0				y1
y	2	2y1		y0			2.1		y2		y0		0.5		y1			1,

		0.01								0.2				2.1
		0.01								0.2				2.1
y	3	2y	2	y					y	3	y				y	2
	3		2		1	2.2				3	1	0.5				2	1,
		0.01				2.2				0.2		0.5		2.2			1,
		0.01								0.2				2.2
		2.15.
y3		2.15.

Выполнив преобразования, имеем

1.9y0 2y1 0.1,

375.9y0 841y1 464.1y2 4.2,

391.6y1 881y2 488.4y3 4.4,y3 2.15.

Подставив значение y3 в третье уравнение, получим для определения остальных неизвестных систему

1.9y0 2y1 0.1,

375.9y0 841y1 464.1y2 4.2,

391.6y1 881y2 1045.66.

Решая эту систему уравнений, получим

x0 2	y0 2.253;
x1 2.1	y1 2.186;
x2 2.2	y2 2.154;
x3 2.3	y3 2.150.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.:

Высш. шк., 1999. – Ч. 2. – 415 c.

2.Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. – М: Наука, 1970. – 664 с.

3.Воробьева Г.Н. Практикум по вычислительной математике / Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова. – М: Высш. шк., 1990. – 207 с.

4.Вержбицкий В.М. Численные методы / В.М. Верж-

бицкий. – М.: Высш. шк., 2001. – 382 с.

5.Копченова И.В. Вычислительная математика в примерах и задачах / И.В. Копченова, И.А. Марон. – М: Наука, 1972.

6.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1977. – Т. 1,2.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Общие рекомендации студенту-заочнику к изучению

курса математики .......................................................................		.3
2. Правила выполнения и оформления контрольных работ......		. 5
3. Программа курса «Численные методы» для студентов-
заочников специальности «Самолето- и вертолетостроение»
(пятый семестр)............................................................................		5
4.	Вопросы для самопроверки к контрольной работе .................	7
5.	Контрольная работа ..................................................................	8
6. Примеры решения задач к контрольной работе ....................		21
Библиографический список .....................................................		49

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022859.39 Кб2Учебное пособие 1194.pdf
#
30.04.2022861.19 Кб2Учебное пособие 1195.pdf
#
30.04.2022862.8 Кб4Учебное пособие 1196.pdf
#
30.04.2022863.31 Кб3Учебное пособие 1197.pdf
#
30.04.2022863.68 Кб2Учебное пособие 1198.pdf
#
30.04.2022865.38 Кб2Учебное пособие 1199.pdf
#
30.04.2022202.81 Кб3Учебное пособие 12.pdf
#
30.04.2022288.03 Кб2Учебное пособие 120.pdf
#
30.04.2022867.08 Кб5Учебное пособие 1200.pdf
#
30.04.2022867.17 Кб14Учебное пособие 1201.pdf
#
30.04.2022867.61 Кб9Учебное пособие 1202.pdf