Учебное пособие 871

висимости ( ) при< >= 0,3 (график 1) и < >= 0,5 (график 2).

Рис. 4. Экспоненциальный закон изменения плотности распределения вероятности длительности занятости канала при различных < >

3. Математические модели в системах сотовой мобильной связи

В математических моделях трафика[1] выполняются следующие условия:

поток вызовов подчиняется распределению Пуассона;

продолжительность обслуживания вызовов подчиняется экспоненциальному распределению, при этом различные модели отличаются одна от другой тем, какая участь постигает вызовы, поступающие в моменты времени, когда все каналы системы заняты. Эти вызовы могут аннулироваться (модель системы с отказами), либо становиться в очередь и ждать освобождения канала неопределенно долгое время, после чего обслуживаться в течение необходимого интервала времени (модель системы с ожиданием);

возможны промежуточные случаи, например, модели с ожиданием, но в течение ограниченных интервалов времени.

Модель системы с отказами (lost-calls- clearedconditions — условия сбросов вызовов, получивших

19

отказ), называется также моделью Эрланга В. В данной модели вероятность отказа (то есть вероятность поступления вызовов в момент, когда все каналы заняты) определяется выражением:

где N — число каналов, =< >∙< > — трафик. Вероятность того, что все каналы свободны, для данной

модели определяется выражением:

Модель системы с ожиданием называется моделью

Эрланга С.

В этой модели вероятность задержки (то есть вероятность того, что поступивший вызов не обслуживается немедленно, а становится в очередь) определяется формулой [8]:

20

вероятность того, что все каналы свободны.

Модель системы с ограничением времени ожида-

ния, так называемая модель Эрланга Aили модель Пуассона. В данной модели вызов, поступивший в момент занятости всех каналов, становится в очередь, но время ожидания не превышает среднего времени обслуживания (средней продолжительности разговора). Если за это время хотя бы один канал освобождается, вызов занимает его на освободившуюся часть среднего времени обслуживания, после чего сбрасывается. В такой системе вероятность отказа:

При расчетах емкости систем сотовой мобильной связи обычно используют модель Эрланга В. Это связано с тем, что при малых вероятностях отказа модели Эрланга В и С дают достаточно близкие результаты, при этом при вероятности отказа > 0,1сравнительно небольшое возрастание трафика> 40 приводит к резкому росту вероятности отказа, то есть к резкому ухудшению качества обслуживания. Поэтому расчет емкости системы сотовой мобильной связи проводится для значений в пределах от 0,01 до 0,05.

В виду громоздкости выражения (6), определяющего вероятность блокирования вызова в системе с отказами, на практике обычно пользуются ее представлением в виде табл.

1[1].

21

Таблица 1

Модель Эрланга В (система с отказами)

4. Методика использования модели Эрланга В для расчета емкости сотовой системы

Постановка задачи.

Рассчитать емкость сотовой мобильной системы (емкость одной соты и всей сотовой сети) при заданных: вероятности отказа , числе каналов N и числе сот т.

Решение задачи.

1.Так как функция = ( , ) зависит от трафика A

ичисла каналов N, то при известных двух параметрах всегда

найдется третий: если, например, известны (или выбрана) и N, то найдется величина A.

2.После определения величины трафика A по формуле

(6)или из табл. 1 (после проведения оценки числа вызовов або-

нентов сотовой сети в среднем в час < >, а также средней продолжительности разговора < >), рассчитывается число абонентов в одной соте:

22

Рассмотрим численный пример.

Постановка задачи.

Пусть сотовая система мобильной связи состоит из 51 соты, в каждой из которых используется N физических каналов. Пусть вероятность отказа (для модели Эрланга В) = 0,05. Пусть в процессе работы сети GSM в час пик каждый абонент делает в среднем один вызов в час, то есть < > = 1 вы-

зов/час. Пусть средняя продолжительность разговора абонентов < > составляет 2 минуты, то есть < >/1 ч = 1/30 часа. В этом случае, трафик одного разговора составит: =< >

< > = 1 ∙ 301 = 0,033 Эрл.

Решение задачи.

1.При вероятности отказа = 0,05 в соответствии с табл. 1 при числе каналов на соту = 20 значение трафика на соту составит = 15,2 Эрл/соту.

2.Число абонентов, которое может быть обслужено в пределах одной соты, равное отношению трафика на соту к трафику на одного абонента, составит:

= = 15,2/0,033 = 460 абонентов.

3. Число абонентов М, обслуживаемых всей сово-

купностью 51 сот, при числе каналов = 20;

= 51 ∙ 460 = 23490.

Такова емкость рассматриваемой сотовой системы мобильной связи, рассчитанная в соответствии с общепринятым подходом для часа наибольшей нагрузки по модели Эрланга В.

23

Задания и контрольные вопросы

Рассчитать емкость сотовой мобильной системы (емкость одной соты и всей сотовой сети) при заданных: вероятности отказа , числе каналов N и числе сот т.

Постановка задачи.

Вариант 1

Пусть сотовая система мобильной связи состоит из 37 сот, в каждой из которых используется N физических каналов. Пусть вероятность отказа (для модели Эрланга В) = 0,01. Пусть в процессе работы сети GSM в час пик каждый абонент делает в среднем два вызова в час, то есть < > = 2 вызовов/час. Пусть средняя продолжительность разговора абонентов < > составляет 6 минут, то есть < >/1 ч = 1/10 часа.

Вариант 2

Пусть сотовая система мобильной связи состоит из 86 сот, в каждой из которых используется N физических каналов. Пусть вероятность отказа (для модели Эрланга В) = 0,1. Пусть в процессе работы сети GSM в час пик каждый абонент делает в среднем три вызова в час, то есть < > = 3 вызовов/час. Пусть средняя продолжительность разговора абонентов < > составляет 4 минуты, то есть < >/1 ч = 2/30 часа.

Вариант 3

Пусть сотовая система мобильной связи состоит из 63 сот, в каждой из которых используется N физических каналов. Пусть вероятность отказа (для модели Эрланга В) = 0,02. Пусть в процессе работы сети GSM в час пик каждый абонент делает в среднем один вызов в час, то есть < > = 1 вызовов/час. Пусть средняя продолжительность разговора абонентов < > составляет 10 минут, то есть < >/1 ч = 1/6 часа.

24

Контрольные вопросы:

1.Назовите основные величины, необходимые для построения математических моделей трафика.

2.С помощью какого закона распределения можно описать вероятность поступления вызовов?

3.С помощью какого закона распределения можно описать продолжительность обслуживания одного вызова?

4.Какие условия принимаются для построения математических моделей трафика?

5.Каковы особенности модели Эрланга А?

6.Каковы особенности модели Эрланга В?

7.Каковы особенности модели Эрланга С?

25

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Попов, В. И. Основы сотовой связи стандарта GSM [Текст] / В. И. Попов. – М.: Эко-Трендз, 2005. – 296 с.

2.Тихвинский, В. О. Сети мобильной связи LTE. Технологии и архитектура [Текст] / В. О. Тихвинский, С. В. Терентьев, А. Б. Юрчук. – М.: Эко-Трендз, 2010. – 284 с.

3.Зима, В. М. Безопасность глобальных сетевых технологий [Текст] / В. М. Зима; под ред. А. А. Молдовян, Н. А. Молдовян. – СПб: БХВ-Петербург, 2001. – 320 с.

4.Домарев, В. В. Защита информации и безопасность компьютерных систем [Текст] / В. В. Домарев. – Киев: DiaSoft,

1999. – 477 с.

5.Тихвинский, В. О. Управление и качество услуг в сетях GPRS/UMTS [Текст] / В. О. Тихвинский, С. В. Терентьев.

–М: Эко-Трендз, 2007. – 400 с.

6.Телекоммуникационные технологии: введение в технологии GSM [Текст]: учеб. пособие для высш. учеб. заведений / С. Б. Макаров, Н. В. Певцов, Е. А. Попов, М. А. Сиверс.

–М.: Издательский центр «Академия», 2006. – 256 с.

7.Герасименко, В. А. Основы защиты информации [Текст] / В. А. Герасименко, А. А. Малюк. – М.: МИФИ, 1997.

–537 с.

8.Остапенко, А. Г. Логлогистическое распределение ущерба: расчёт риска ИТКС на основе параметров риска её компонентов [Текст] / А. Г. Остапенко, Д. Г. Плотников, О. А. Остапенко, П. А. Маслихов // Информация и безопасность, 2012. – Т. 15. – Вып. 3. – С. 425–428.

9.Щербаков, В. Б. Риск-анализ атакуемых беспроводных сетей [Текст]: монография / В. Б. Щербаков, С. А. Ермаков, Н. С. Коленбет; под ред. чл.-корр. РАН Д. А. Новикова. – Воронеж: Издательство «Научная книга», 2013. – 160 с.

10.Риски распределенных систем: методики и алгоритмы оценки и управления [Текст] / Г. А. Остапенко, Д. О. Карпеев, Д. Г. Плотников, Р. В. Батищев, И. В. Гончаров, П. А. Маслихов, Е. А. Мешкова, Н. М. Морозова, С. А. Рязанов, Е. В. Субботина, В. А. Транин // Информация и безопасность, 2010. – Т. 13. – Вып.4. – С. 485–530.

26

27