Учебное пособие 801
.pdf
Используя интегральную теорему Лапласа построить доверительные границы для этой вероятности при 0.9 . Как
изменится этот интервал, если при той же частости, число абитуриентов возрастет в 5 раз?
2. В ходе социологических исследований, касающихся отношения к реформе медицинского образования, проведенных в Пермском крае и Нижегородской области были получены следующие результаты:
Субъект федерации |
Доволен |
Недоволен |
Пермский край |
21 |
115 |
Нижегородская область |
11 |
165 |
По имеющимся данным построить таблицу сопряженности и по ней 1) оценить тесноту связи между признаками; 2) при уровне значимости 0.05 проверить нулевую гипотезу о независимости исследуемых признаков.
3. На заводе изготовлен новый игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в 5 случаях из 500 бросаний монеты. Для проверки годности автомата произведено 1000 испытаний, где выигрыш появился 7 раз. Оценить вероятность появления выигрыша. Построить приближенные доверительные границы для этой вероятности при 0.95 используя: преобразование арксинуса. Как
изменится доверительный интервал, если при той же частости появления выигрыша число наблюдений возрастет в 30 раз? 4. Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
|
X |
0 |
1 |
|
5 |
6 |
|
|
Y |
5 |
3 |
|
4 |
7 |
|
Предполагая, что между |
X и |
Y имеется зависимость вида |
|||||
Y aX 2 bX c найти неизвестные коэффициенты a, b и c по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при
X5 1.5; X6 7 .
40
Вариант 30.
1. Из 234 кубиков, выструганных Самоделкиным, оказалось 12 нестандартных. Оценить вероятность того, что произвольным образом взятый кубик окажется стандартным. Используя теорему Муавра-Лапласа, построить приближенные доверительные границы для этой вероятности при 0.8 . Как
изменится доверительный интервал, если при той же частости изготовления стандартных кубиков число наблюдений возрастет в 4 раза?
2. Из 300 абитуриентов, сдававших вступительный экзамен по физике, в одном потоке 45 человек получило неудовлетворительные оценки. Оценить вероятность получения неудовлетворительной оценки на экзамене. Используя интегральную теорему Лапласа построить доверительные границы для этой вероятности при 0.9 . Как
изменится этот интервал, если при той же частости, число абитуриентов возрастет в 5 раз?
3.Из проконтролированных 147 чайников, выпущенных на Новосибирском заводе, целиком удовлетворяют заданным техническим требованиям 132. При контроле 780 чайников, выпущенных на Кемеровском заводе, заданным техническим требованиям удовлетворяет 692 чайника. Проверить гипотезу о равенстве вероятностей выпуска годного пылесоса на этих заводах при уровне значимости 0.01. Останется ли принятое решение в силе, если при тех же значениях частостей число проконтролированных телевизоров возрастет в 5 раз?
4.Результаты наблюдений над величинами X и Y приведены в следующей таблице:
|
X |
1 |
2 |
-1 |
3 |
|
|
Y |
2 |
3 |
1 |
4 |
|
Предполагая, что между |
X и |
Y имеется зависимость вида |
||||
Y aX b найти неизвестные коэффициенты a и b по методу наименьших квадратов. Вычислить Y при X5 1.5; X6 4 .
41
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ Приложение 1. Таблица значений функции
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(x) |
|
|
exp |
2 |
|
dz |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
|
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
x |
Ф(x) |
|||
0 |
0 |
0,47 |
0,1808 |
0,94 |
|
0,3264 |
1,41 |
0,4207 |
1,88 |
0,4699 |
3 |
0,4987 |
|||
0,01 |
0,004 |
0,48 |
0,1844 |
0,95 |
|
0,3289 |
1,42 |
0,4222 |
1,9 |
0,4713 |
3,2 |
0,4993 |
|||
0,02 |
0,008 |
0,49 |
0,1879 |
0,96 |
|
0,3315 |
1,43 |
0,4236 |
1,92 |
0,4726 |
3,4 |
0,4997 |
|||
0,03 |
0,012 |
0,5 |
0,1915 |
0,97 |
|
0,334 |
1,44 |
0,4251 |
1,94 |
0,4738 |
3,6 |
0,4998 |
|||
0,04 |
0,016 |
0,51 |
0,195 |
0,98 |
|
0,3365 |
1,45 |
0,4265 |
1,96 |
0,475 |
3,8 |
0,4999 |
|||
0,05 |
0,0199 |
0,52 |
0,1985 |
0,99 |
|
0,3389 |
1,46 |
0,4279 |
1,98 |
0,4761 |
4 |
0,5 |
|||
0,06 |
0,0239 |
0,53 |
0,2019 |
1 |
|
0,3413 |
1,47 |
0,4292 |
2 |
0,4772 |
∞ |
0,5 |
|||
0,07 |
0,0279 |
0,54 |
0,2054 |
1,01 |
|
0,3438 |
1,48 |
0,4306 |
2,02 |
0,4783 |
|
|
|||
0,08 |
0,0319 |
0,55 |
0,2088 |
1,02 |
|
0,3461 |
1,49 |
0,4319 |
2,04 |
0,4793 |
|
|
|||
0,09 |
0,0359 |
0,56 |
0,2123 |
1,03 |
|
0,3485 |
1,5 |
0,4332 |
2,06 |
0,4803 |
|
|
|||
0,1 |
0,0398 |
0,57 |
0,2157 |
1,04 |
|
0,3508 |
1,51 |
0,4345 |
2,08 |
0,4812 |
|
|
|||
0,11 |
0,0438 |
0,58 |
0,219 |
1,05 |
|
0,3531 |
1,52 |
0,4357 |
2,1 |
0,4821 |
|
|
|||
0,12 |
0,0478 |
0,59 |
0,2224 |
1,06 |
|
0,3554 |
1,53 |
0,437 |
2,12 |
0,483 |
|
|
|||
0,13 |
0,0517 |
0,6 |
0,2257 |
1,07 |
|
0,3577 |
1,54 |
0,4382 |
2,14 |
0,4838 |
|
|
|||
0,14 |
0,0557 |
0,61 |
0,2291 |
1,08 |
|
0,3599 |
1,55 |
0,4394 |
2,16 |
0,4846 |
|
|
|||
0,15 |
0,0596 |
0,62 |
0,2324 |
1,09 |
|
0,3621 |
1,56 |
0,4406 |
2,18 |
0,4854 |
|
|
|||
0,16 |
0,0636 |
0,63 |
0,2357 |
1,1 |
|
0,3643 |
1,57 |
0,4418 |
2,2 |
0,4861 |
|
|
|||
0,17 |
0,0675 |
0,64 |
0,2389 |
1,11 |
|
0,3665 |
1,58 |
0,4429 |
2,22 |
0,4868 |
|
|
|||
0,18 |
0,0714 |
0,65 |
0,2422 |
1,12 |
|
0,3686 |
1,59 |
0,4441 |
2,24 |
0,4875 |
|
|
|||
0,19 |
0,0753 |
0,66 |
0,2454 |
1,13 |
|
0,3708 |
1,6 |
0,4452 |
2,26 |
0,4881 |
|
|
|||
0,2 |
0,0793 |
0,67 |
0,2486 |
1,14 |
|
0,3729 |
1,61 |
0,4463 |
2,28 |
0,4887 |
|
|
|||
0,21 |
0,0832 |
0,68 |
0,2517 |
1,15 |
|
0,3749 |
1,62 |
0,4474 |
2,3 |
0,4893 |
|
|
|||
0,22 |
0,0871 |
0,69 |
0,2549 |
1,16 |
|
0,377 |
1,63 |
0,4484 |
2,32 |
0,4898 |
|
|
|||
0,23 |
0,091 |
0,7 |
0,258 |
1,17 |
|
0,379 |
1,64 |
0,4495 |
2,34 |
0,4904 |
|
|
|||
0,24 |
0,0948 |
0,71 |
0,2611 |
1,18 |
|
0,381 |
1,65 |
0,4505 |
2,36 |
0,4909 |
|
|
|||
0,25 |
0,0987 |
0,72 |
0,2642 |
1,19 |
|
0,383 |
1,66 |
0,4515 |
2,38 |
0,4913 |
|
|
|||
0,26 |
0,1026 |
0,73 |
0,2673 |
1,2 |
|
0,3849 |
1,67 |
0,4525 |
2,4 |
0,4918 |
|
|
|||
0,27 |
0,1064 |
0,74 |
0,2704 |
1,21 |
|
0,3869 |
1,68 |
0,4535 |
2,42 |
0,4922 |
|
|
|||
0,28 |
0,1103 |
0,75 |
0,2734 |
1,22 |
|
0,3888 |
1,69 |
0,4545 |
2,44 |
0,4927 |
|
|
|||
0,29 |
0,1141 |
0,76 |
0,2764 |
1,23 |
|
0,3907 |
1,7 |
0,4554 |
2,46 |
0,4931 |
|
|
|||
0,3 |
0,1179 |
0,77 |
0,2794 |
1,24 |
|
0,3925 |
1,71 |
0,4564 |
2,48 |
0,4934 |
|
|
|||
42
0,31 |
0,1217 |
0,78 |
0,2823 |
1,25 |
0,3944 |
1,72 |
0,4573 |
2,5 |
0,4938 |
|
|
0,32 |
0,1255 |
0,79 |
0,2852 |
1,26 |
0,3962 |
1,73 |
0,4582 |
2,52 |
0,4941 |
|
|
0,33 |
0,1293 |
0,8 |
0,2881 |
1,27 |
0,398 |
1,74 |
0,4591 |
2,54 |
0,4945 |
|
|
0,34 |
0,1331 |
0,81 |
0,291 |
1,28 |
0,3997 |
1,75 |
0,4599 |
2,56 |
0,4948 |
|
|
0,35 |
0,1368 |
0,82 |
0,2939 |
1,29 |
0,4015 |
1,76 |
0,4608 |
2,58 |
0,4951 |
|
|
0,36 |
0,1406 |
0,83 |
0,2967 |
1,3 |
0,4032 |
1,77 |
0,4616 |
2,6 |
0,4953 |
|
|
0,37 |
0,1443 |
0,84 |
0,2995 |
1,31 |
0,4049 |
1,78 |
0,4625 |
2,62 |
0,4956 |
|
|
0,38 |
0,148 |
0,85 |
0,3023 |
1,32 |
0,4066 |
1,79 |
0,4633 |
2,64 |
0,4959 |
|
|
0,39 |
0,1517 |
0,86 |
0,3051 |
1,33 |
0,4082 |
1,8 |
0,4641 |
2,66 |
0,4961 |
|
|
0,4 |
0,1554 |
0,87 |
0,3078 |
1,34 |
0,4099 |
1,81 |
0,4649 |
2,68 |
0,4963 |
|
|
0,41 |
0,1591 |
0,88 |
0,3106 |
1,35 |
0,4115 |
1,82 |
0,4656 |
2,7 |
0,4965 |
|
|
0,42 |
0,1628 |
0,89 |
0,3133 |
1,36 |
0,4131 |
1,83 |
0,4664 |
2,72 |
0,4967 |
|
|
0,43 |
0,1664 |
0,9 |
0,3159 |
1,37 |
0,4147 |
1,84 |
0,4671 |
2,74 |
0,4969 |
|
|
0,44 |
0,17 |
0,91 |
0,3186 |
1,38 |
0,4162 |
1,85 |
0,4678 |
2,76 |
0,4971 |
|
|
0,45 |
0,1736 |
0,92 |
0,3212 |
1,39 |
0,4177 |
1,86 |
0,4686 |
2,78 |
0,4973 |
|
|
0,46 |
0,1772 |
0,93 |
0,3238 |
1,4 |
0,4192 |
1,87 |
0,4693 |
2,8 |
0,4974 |
|
|
Приложение 2. Таблица наиболее распространенных значений U - критических точек стандартного нормального
распределения при 1 2 , 1 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,9999 |
0,999 |
0,9973 |
0,99 |
0,98 |
0,95 |
0,9 |
0,8 |
|
0,0001 |
0,001 |
0,0027 |
0,01 |
0,02 |
0,05 |
0,1 |
0,2 |
|
0,00005 |
0,0005 |
0,0014 |
0,005 |
0,01 |
0,025 |
0,05 |
0,1 |
U |
3,89069 |
3,29056 |
3 |
2,5758 |
2,3263 |
1,96 |
1,6449 |
1,2816 |
43
Приложение 3. Таблица критических точек2 ( ) распределения хи-квадрат. В крайнем левом столбце
указано значение равное числу степеней свободы, а сверху - уровень значимости .
\ |
0,01 |
0,05 |
0,1 |
0,9 |
0,95 |
0,99 |
1 |
6,63489 |
3,8415 |
2,7055 |
0,0158 |
0,0039 |
0,0002 |
2 |
9,21035 |
5,9915 |
4,6052 |
0,2107 |
0,1026 |
0,0201 |
3 |
11,3449 |
7,8147 |
6,2514 |
0,5844 |
0,3518 |
0,1148 |
4 |
13,2767 |
9,4877 |
7,7794 |
1,0636 |
0,7107 |
0,2971 |
5 |
15,0863 |
11,07 |
9,2363 |
1,6103 |
1,1455 |
0,5543 |
6 |
16,8119 |
12,592 |
10,645 |
2,2041 |
1,6354 |
0,8721 |
7 |
18,4753 |
14,067 |
12,017 |
2,8331 |
2,1673 |
1,239 |
8 |
20,0902 |
15,507 |
13,362 |
3,4895 |
2,7326 |
1,6465 |
9 |
21,666 |
16,919 |
14,684 |
4,1682 |
3,3251 |
2,0879 |
10 |
23,2093 |
18,307 |
15,987 |
4,8652 |
3,9403 |
2,5582 |
11 |
24,725 |
19,675 |
17,275 |
5,5778 |
4,5748 |
3,0535 |
12 |
26,217 |
21,026 |
18,549 |
6,3038 |
5,226 |
3,5706 |
13 |
27,6882 |
22,362 |
19,812 |
7,0415 |
5,8919 |
4,1069 |
14 |
29,1412 |
23,685 |
21,064 |
7,7895 |
6,5706 |
4,6604 |
15 |
30,578 |
24,996 |
22,307 |
8,5468 |
7,2609 |
5,2294 |
16 |
31,9999 |
26,296 |
23,542 |
9,3122 |
7,9616 |
5,8122 |
17 |
33,4087 |
27,587 |
24,769 |
10,085 |
8,6718 |
6,4077 |
18 |
34,8052 |
28,869 |
25,989 |
10,865 |
9,3904 |
7,0149 |
19 |
36,1908 |
30,144 |
27,204 |
11,651 |
10,117 |
7,6327 |
20 |
37,5663 |
31,41 |
28,412 |
12,443 |
10,851 |
8,2604 |
21 |
38,9322 |
32,671 |
29,615 |
13,24 |
11,591 |
8,8972 |
22 |
40,2894 |
33,924 |
30,813 |
14,041 |
12,338 |
9,5425 |
23 |
41,6383 |
35,172 |
32,007 |
14,848 |
13,091 |
10,196 |
24 |
42,9798 |
36,415 |
33,196 |
15,659 |
13,848 |
10,856 |
25 |
44,314 |
37,652 |
34,382 |
16,473 |
14,611 |
11,524 |
26 |
45,6416 |
38,885 |
35,563 |
17,292 |
15,379 |
12,198 |
27 |
46,9628 |
40,113 |
36,741 |
18,114 |
16,151 |
12,878 |
28 |
48,2782 |
41,337 |
37,916 |
18,939 |
16,928 |
13,565 |
29 |
49,5878 |
42,557 |
39,087 |
19,768 |
17,708 |
14,256 |
30 |
50,8922 |
43,773 |
40,256 |
20,599 |
18,493 |
14,953 |
44
Приложение 4. Таблица критических точек
t ( ) распределения Стьюдента. В крайнем левом столбце
указано значение равное числу степеней свободы, а сверху доверительная вероятность 1 2 .
\ |
0,99 |
0,98 |
0,95 |
0,9 |
0,8 |
1 |
63,656 |
31,821 |
12,706 |
6,3137 |
3,0777 |
2 |
9,925 |
6,9645 |
4,3027 |
2,92 |
1,8856 |
3 |
5,8408 |
4,5407 |
3,1824 |
2,3534 |
1,6377 |
4 |
4,6041 |
3,7469 |
2,7765 |
2,1318 |
1,5332 |
5 |
4,0321 |
3,3649 |
2,5706 |
2,015 |
1,4759 |
6 |
3,7074 |
3,1427 |
2,4469 |
1,9432 |
1,4398 |
7 |
3,4995 |
2,9979 |
2,3646 |
1,8946 |
1,4149 |
8 |
3,3554 |
2,8965 |
2,306 |
1,8595 |
1,3968 |
9 |
3,2498 |
2,8214 |
2,2622 |
1,8331 |
1,383 |
10 |
3,1693 |
2,7638 |
2,2281 |
1,8125 |
1,3722 |
11 |
3,1058 |
2,7181 |
2,201 |
1,7959 |
1,3634 |
12 |
3,0545 |
2,681 |
2,1788 |
1,7823 |
1,3562 |
13 |
3,0123 |
2,6503 |
2,1604 |
1,7709 |
1,3502 |
14 |
2,9768 |
2,6245 |
2,1448 |
1,7613 |
1,345 |
15 |
2,9467 |
2,6025 |
2,1315 |
1,7531 |
1,3406 |
16 |
2,9208 |
2,5835 |
2,1199 |
1,7459 |
1,3368 |
17 |
2,8982 |
2,5669 |
2,1098 |
1,7396 |
1,3334 |
18 |
2,8784 |
2,5524 |
2,1009 |
1,7341 |
1,3304 |
19 |
2,8609 |
2,5395 |
2,093 |
1,7291 |
1,3277 |
20 |
2,8453 |
2,528 |
2,086 |
1,7247 |
1,3253 |
21 |
2,8314 |
2,5176 |
2,0796 |
1,7207 |
1,3232 |
22 |
2,8188 |
2,5083 |
2,0739 |
1,7171 |
1,3212 |
23 |
2,8073 |
2,4999 |
2,0687 |
1,7139 |
1,3195 |
24 |
2,797 |
2,4922 |
2,0639 |
1,7109 |
1,3178 |
26 |
2,7787 |
2,4786 |
2,0555 |
1,7056 |
1,315 |
28 |
2,7633 |
2,4671 |
2,0484 |
1,7011 |
1,3125 |
30 |
2,75 |
2,4573 |
2,0423 |
1,6973 |
1,3104 |
32 |
2,7385 |
2,4487 |
2,0369 |
1,6939 |
1,3086 |
34 |
2,7284 |
2,4411 |
2,0322 |
1,6909 |
1,307 |
36 |
2,7195 |
2,4345 |
2,0281 |
1,6883 |
1,3055 |
45
38 |
2,7116 |
2,4286 |
2,0244 |
1,686 |
1,3042 |
40 |
2,7045 |
2,4233 |
2,0211 |
1,6839 |
1,3031 |
42 |
2,6981 |
2,4185 |
2,0181 |
1,682 |
1,302 |
44 |
2,6923 |
2,4141 |
2,0154 |
1,6802 |
1,3011 |
46 |
2,687 |
2,4102 |
2,0129 |
1,6787 |
1,3002 |
48 |
2,6822 |
2,4066 |
2,0106 |
1,6772 |
1,2994 |
50 |
2,6778 |
2,4033 |
2,0086 |
1,6759 |
1,2987 |
60 |
2,6603 |
2,3901 |
2,0003 |
1,6706 |
1,2958 |
70 |
2,6479 |
2,3808 |
1,9944 |
1,6669 |
1,2938 |
80 |
2,6387 |
2,3739 |
1,9901 |
1,6641 |
1,2922 |
90 |
2,6316 |
2,3685 |
1,9867 |
1,662 |
1,291 |
100 |
2,6259 |
2,3642 |
1,984 |
1,6602 |
1,2901 |
150 |
2,609 |
2,3515 |
1,9759 |
1,6551 |
1,2872 |
46
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. - М.: Высш. шк, 1997.
2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. -
М.: Высш. шк, 2006.
3.Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. -
М.: Наука, 1999.
4.Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчеты) / В.Ф. Чудесенко. - М.: Высш. шк, 2007.
5.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
6.Кибзун А.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами / А.И. Кибзун, Е.Р. Горяинова, А.В. Наумов. – М.: Физматлит, 2002.
7.Андронов А.М. Теория вероятностей и математическая статистика / А.М. Андронов, Е.А. Копытов, Л.Я. Гринглаз. – СПб.: Питер, 2004.
8.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике / Д.Т. Письменный.
–М.: Айрис-пресс, 2004.
47
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы
по курсу "Высшая математика" для студентов направления 280700.62 "Техносфернаябезопасность" («Защитавчрезвычайныхситуациях»,
«Безопасностьжизнедеятельностивтехносфере», «Защитаокружающейсреды»)
очной формы обучения.
Составитель: Пантелеев Игорь Николаевич
В авторской редакции
Компьютерный набор И.Н. Пантелеева
Подписано к изданию 4.12.2014.
Уч.-изд. л. 2,9
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
48