Учебное пособие 773

Решение. Введем обозначения событий: A безотказ-

тельностью t . Тогда событие AB безотказная работа эле-

мента в интервале (0, t0 t) длительностью t0 t . По форму-

ле (10.15) найдем вероятности этих событий:

P A e t0 , P B e t , P AB e (t0 t) .

Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно в интервале (t0, t0 t) при условия, что он уже

проработал в предшествующем интервале 0, t0 :

Так как в полученной формуле не содержится t0, а содержится только t, то это и означает, что время работы в предшествующем интервале 0, t0 не влияет на величину вероятности без-

отказной работы на последующем интервале, а зависит только от длины t последующего интервала (t0, t0 t), что и требова-

стью t, вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безотказной вероятности P B .

Пример 7. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого

элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет, д) оба элемента проработают за время от 3 до 10

Решение. а) Вероятность отказа первого элемента за вре-

p2 F2 6 1 e 0,056 1 0,741 0,259. Искомая вероятность того, что оба элемента откажут, по теореме умножения вероят-

ностей равна p1p2 0,113 0,259 0,03.

б) Вероятность безотказной работы первого элемента

q1 R1 6 1 p1 1 F1 6 e 0,026 0,887.

Вероятность безотказной работы второго элемента

q2 R2 6 1 p2 1 F2 6 e 0,056 0,741.

Искомая вероятность безотказной работы обоих элементов

q1 q2 0,887 0,741 0,66.

в) Вероятность того, что откажет только один элемент, равна вероятности того, что откажет первый элемент или вто-

рой элемент: p1q2 p2q1 0,113 0,741 0,259 0,887 0,31.

г) Вероятность того, что хотя бы один элемент откажет p 1 q1q2 1 0,66 0,34.

д) Вероятность того, что первый элемент проработает от 3 до 10 равна

P1 3 T 10 F1 10 F1 3 e 0,023 e 0,0210 0,123.

Вероятность того, что второй элемент проработает от 3 до 10 равна

P2 3 T 10 F2 10 F2 3 e 0,053 e 0,0510 0,854.

Искомая вероятность равна

P1 3 T 10 P2 3 T 10 0,123 0,854 0,105.

Пример 8. Длительность времени безотказной работы T элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого

Решение. Плотность распределения вероятностей показательного распределения равна

Математическое ожидание СВ, распределенной по показательному закону

Дисперсия случайной величины, распределенной по показательному закону

Среднеквадратическое отклонение СВ, распределенной по показательному закону равно T D T 1 .

Вычисляем начальный момент третьего порядка

Вычисляем начальный момент четвертого порядка

Вычисляем центральный момент третьего порядка

Вычисляем центральный момент третьего порядка

4 4 4 1 3 6 12 2 3 14 .

Вычисляем коэффициент асимметрии показательного

Вычисляем коэффициент эксцесса показательного рас-

Мода случайной величины, распределенной по показательному закону, равна Mo T 0 (см. рис. 14 из занятия 9).

Найти коэффициенты a, b и c таким образом, чтобы данное распределение соответствовало случайной величине непрерывного типа.; вычислить плотность вероятности распределе-

дальнейшего решения выберем первый случай, то есть a 0,

Плотность вероятности распределения Коши равна

Записанный выше интеграл является несобственным, поэтому рассмотрим сначала интеграл

Полученный результат означает, что рассмотренный нами интеграл расходится, следовательно, расходится и интеграл

для распределения Коши не существует.

Так как математическое ожидание не существует, то также не существует D X и X .

Находим моду распределения Коши Mo X , т.е. такое

значение x, при котором плотность p x максимальна. Опре-

деляем критические точки первого порядка

Находим медиану распределения Коши Me X , т.е. такое значение x, при котором

Из этого уравнения следует

1arctg x 0 x 0.

a

Таким образом, медиана Me X 0.

Находим вероятность попадания в интервал

Таким образом, квантиль t0,75 a.

10.3.Контрольные вопросы и задания

1.Что называется математическим ожиданием случайной величины? Запишите формулы для расчета математического ожидания ДСВ и НСВ.

2.Приведите значения математических ожиданий для ДСВ и НСВ, рассмотренных в занятии № 9.

3. Запишите основные свойства математического ожида-

ния.

4.Что такое медиана и мода случайной величины, квантиль и критическая точка порядка p ?

5.Что называется дисперсией случайной величины? Запишите формулы для расчета дисперсии ДСВ и НСВ.

6.Приведите значения дисперсий для ДСВ и НСВ, рассмотренных в занятии № 9.

7.Запишите основные свойства дисперсии.

8.Что называется среднеквадратическим отклонением случайной величины? В чем заключается преимущество использования СКО по сравнению с дисперсией?

расчета начальных моментов ДСВ и НСВ.

10. Что называется центральным моментом k -го порядка (k 1, 2, ) случайной величины? Запишите формулы для расчета центральных моментов ДСВ и НСВ.

11.Как определяется коэффициент асимметрии случайной величины, что он характеризует?

12.Как определяется коэффициент эксцесса случайной величины, что он характеризует?

10.4.Задания для самостоятельной работы

1.Разберитесь в решении задач [2], №№ 188, 192, 196, 197, 199, 207, 210, 213, 215, 218, 222, 227, 228, 230, 275, 277, 280, 285, 286, 292, 294, 295, 297, 301, 305, 344, 353, 356.

2.Решите задачи [2], №№ 191, 193, 194, 198, 200, 211, 214, 216, 217, 219, 220, 223, 229, 231, 276, 278, 279, 281, 287, 288, 289, 293, 296, 298, 302, 306, 316, 324, 354, 357, 358, 359, 361, 362, 363.

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа, типовой расчет, коллоквиум, экзамен.

ЗАНЯТИЕ № 11 ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ

11.1.Основные понятия

Ввероятностных моделях реальных явлений часто приходится учитывать сразу несколько случайных факторов. Например, при массовом изготовлении какой-либо детали различные ее размеры нужно рассматривать в совокупности. Это естественным образом приводит к необходимости совместного рассмотрения нескольких случайных величин. При этом удобно использовать геометрическую терминологию, представляя

совокупность n случайных величин X1, X2, , Xn как слу-

чайную точку в n-мерном пространстве или как n-мерный вектор X с координатами X1, X2, , Xn .

Пусть на вероятностном пространстве , , P за-

даны случайные величины X1 X1( ) , X2 X2( ), …,

Xn Xn( ), . Вектор X( ) X1( ), X2( ), , Xn( )

называется случайным вектором или n-мерной случайной

величиной.

Функция FX (x) FX1X2 Xn (x1, x2, , xn)

P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn) (xk , k 1, 2, , n)

называется функцией распределения n-мерного случайного

вектора или функцией совместного распределения случайных величин X1, X2, , Xn .

Функция распределения FX (x) определяет закон распре-

деления n-мерной случайной величины.

Для наглядности и краткости записи дальше будем рассматривать двумерные случайные величины. Функция распределения двумерного случайного вектора определяется равенством

y

4. P x1 X x2, y1 Y y2

FXY (x2, y2) FXY (x1, y2) FXY (x2, y1) FXY (x1, y1).

Это свойство позволяет вычислить вероятность попадания двумерной случайной величины (случайной точки) в прямо-

Это свойство дает условия согласованности, которые означают, что функции распределения компонент X и Y двумерного случайного вектора могут быть найдены предельным переходом из функции совместного распределения.

Также, как и для одномерных случайных величин, рассматриваются дискретные и непрерывные случайные векторы.

Двумерный случайный вектор называется дискретным, если каждая его координата является дискретной случайной величиной.

Множество всех возможных значений дискретного случайного вектора не более чем счетно.

Закон распределения дискретного случайного вектора удобно задавать в виде перечня всех возможных значений пар его координат (xi, yi) и соответствующих каждой паре веро-

ятностей pij P X xi, Y yj , удовлетворяющих условию

нормировки pij 1, где суммирование распространяется

i j

на все возможные значения индексов i и j . Таким образом, закон распределения дискретного двумерного случайного вектора может быть задан таблицей распределения (табл. 6).

Зная закон распределения дискретного двумерного случайного вектора, можно получить законы распределения его компонент, находя вероятности соответствующих значений по формулам

Закон распределения случайной величины X размещен в нижней строке табл. 6. Закон распределения случайной величины Y размещен в правом столбце табл. 6.

Таблица 6

(X xi,Y yj)

В этой формуле суммирование распространяется на все значения индексов i и j , для которых выполняются события

X xi, Y yj . Для простоты предположим, что случайная

величина X принимает два значения x1 x2 , а случайная ве-

личина Y принимает три значения y1 y2 y3 . Тогда для

функции совместного распределения FXY (x, y) в соответствии с формулой (11.3) получим следующую таблицу.

Условным законом распределения случайной компоненты X дискретного случайного вектора при условии, что компонента Y приняла определенное значение yj , на-

зывается совокупность возможных значений компоненты X и соответствующих этим значениям условных вероят-

ностей

j

Перейдем к рассмотрению непрерывных случайных векторов.

Двумерный вектор называется непрерывным, если существует неотрицательная интегрируемая в бесконечных

пределах по каждому из аргументов функция pXY (x, y) та-

кая, что

x y

Функция pXY (x, y) называется плотностью распреде-

ления вероятностей случайного вектора X, Y .

Так же, как и функция совместного распределения, плотность распределения pXY (x, y) определяет закон распределения непрерывного двумерного случайного вектора.

Плотность распределения вероятностей непрерывного двумерного случайного вектора обладает следующими свой-

ствами.

4. Плотности распределения вероятностей отдельных компонент случайного вектора выражаются в виде интегралов от совместной плотности:

5. Вероятность принять непрерывной двумерной случайной величине значения из произвольной квадрируемой области

D 2 определяется по формуле

В качестве примера рассмотрим наиболее важное для практических приложений нормальное распределение двумерного случайного вектора.

Случайный вектор X, Y называется распределенным

по нормальному закону, если его плотность распределения вероятностей имеет вид

Из приведенного определения видно, что плотность распределения для двумерного нормального закона зависит от пяти параметров: mX , mY , X , Y , . Применяя формулы (11.7), можно показать, что каждая из компонент случайного вектора (X, Y), распределенного по нормальному закону (11.9), также имеет нормальное распределение, причем X N(mX , X ),

Y N(mY , Y ). – коэффициент корреляции компонент X и Y , его смысл будет выяснен в занятии № 12.

Условной плотностью распределения случайной компоненты X непрерывного случайного вектора при условии, что компонента Y приняла определенное значение y та-

висимыми (в совокупности), если для любого набора собы-

Следствие 1. Для независимости компонент случайного вектора непрерывного типа необходимо и достаточно, чтобы

в любой точке (x1, x2, , xn) n выполнялось равенство pX1X2 Xn (x1, x2, , xn) pX1 (x1)pX2 (x2) pXn (xn). (11.14)

Следствие 2. Для независимости компонент случайного вектора дискретного типа необходимо и достаточно, чтобы

в любой точке (x1, x2, , xn) n выполнялось равенство

Ранее было показано, что двумерная функция распределения определяет одномерные функции распределения составляющих случайных величин. В то же время в общем случае по одномерным распределениям случайных величин X и Y нельзя восстановить их совместное распределение, так как одномерные распределения случайных величин X и Y не несут информации об их связи. Если же случайные величины X и Y независимы, то по их одномерным распределениям можно найти совместное распределение этих случайных величин, пользуясь одной из формул (11.13) – (11.14)

На практике при построении вероятностных моделей случайные величины считают независимыми если известно, что явления, в которых рассматриваются эти случайные величины, причинно не связаны между собой.

11.2. Примеры решения задач

Пример 1. Имеется 25 изделий. Среди них 6 имеют дефекты типа , 5 изделий имеют дефекты типа , 4 изделия имею дефекты типа и и , 10 изделий не имеют дефектов. Наудачу выбирают три изделия. Рассматриваются следующие случайные величины: X – число изделий, имеющих дефект , среди трех выбранных; Y – число изделий, имеющих дефект, среди трех выбранных.

Требуется:

а) составить закон распределения вероятностей двумерной случайной величины X, Y ;

б) составить законы распределения случайных величин

X и Y ;

в) найти функцию распределения случайного вектора

X, Y ;

г) найти вероятность того, что среди выбранных изделий больше одной с дефектом и меньше двух с дефектом ;

д) установить, зависимы или независимы случайные величины X и Y ;

е) найти условный закон распределения случайной величины X при условии Y 1 и условный закон распределения случайной величины Y при условии X 2.

Решение. а) для описания закона распределения вероятностей двумерной случайной величины X, Y необходимо

определить все возможные пары значений (xi, yj) и соответ-

ствующие вероятности. Из условия видно, что возможными

формуле классической вероятности p mn. Число всех способов выбора 3 изделий одинаково для любых пар (i, j) и рав-