Учебное пособие 707
.pdfФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования
208-2016
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы
по курсу «Высшая математика» для студентов направления 20.01.03 «Техносферная безопасность»
(направленности «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды»)
очной формы обучения
Воронеж 2016
Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев |
|
|
||||
УДК 51 (075) |
|
|
|
|
|
|
Кратные |
интегралы: |
методические |
|
указания |
для |
|
организации самостоятельной работы по курсу«Высшая |
|
|||||
математика» |
для |
студентов |
направления20.01.03 |
|
||
«Техносферная |
безопасность» |
(направленности |
«Защита |
в |
чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды») очной формы
обучения |
/ |
ФГБОУ |
ВО |
«Воронежский |
государственный |
|||
технический |
университет»; |
сост. |
И.Н. Пантелеев. Воронеж, |
|||||
2016. 48 с. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Методические |
указания |
предназначены |
в |
качестве |
||||
руководства |
для организации |
самостоятельной |
работы по |
|||||
курсу "Высшая математика" по разделу «Кратные интегралы» |
||||||||
для |
студентов |
направления20.01.03 |
«Техносферная |
безопасность» в 3 семестре. В работе приведен теоретический материал, необходимый для выполнения заданий и решение типовых примеров.
Методические указания подготовлены в электронном виде и содержатся в файле Vmfmm_KratInT_16.pdf.
Ил. 31. Библиогр.: 8 назв.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, проф. Г.Е. Шунин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета
ÓФГБОУ ВО «Воронежский государственный
технический университет», 2016
1. Двойной интеграл и его вычисление
1°. Двойной интеграл является обобщением понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных f(x, у) и представляет конечный предел двумерной интегральной суммы в области (S).
òò |
f (x, y) |
max Dx ®0 |
åå |
f |
( i |
j ) |
i |
Dy |
j |
. |
(1) |
|
|
lim |
|
|
x , y |
|
Dx |
|
|||||
(S ) |
|
i |
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max Dyi ®0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Dxi Dy j = (xi+1 - xi )(y j+1 - y j |
) |
- площади элементарных об- |
ластей, на которые разбивается плоская область S.
На двойной интеграл распространяются свойства простого определенного интеграла: постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, область интегрирования можно разбивать на части.
2°. Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных определенных интегралов
b |
y2 (x) |
f (x, y |
dy) |
|
òdx |
ò |
(2) |
||
a y1(x ) |
|
|
|
|
или |
x2 ( y) |
|
|
|
c |
f (x, y |
dx) |
|
|
òdy ò |
(3) |
|||
d x1( y ) |
|
|
|
|
Если внутренний интеграл берется по переменной у, то пе- |
||||
ременная х рассматривается как постоянная, а если |
по х, то |
|||
постоянной будет у. Пределы интегрирования во внутреннем |
интеграле как правило являются переменными и зависят от переменной, которая рассматривается как постоянная, пределы же внешнего интеграла всегда постоянны. Пределы интегрирования внутреннего и внешнего интеграла постоянны
только |
тогда, когда |
область |
интегрирования |
является |
|
|
3 |
|
|
прямоугольником |
со |
сторонами, параллельными |
осям |
||
координат. |
|
|
|
|
|
Область интегрирования интеграла(2) |
(рис. 1) a £ x £ b , |
||||
y1 (x) £ y £ y2 (x ) |
такова, |
что любая прямая, параллельная оси |
|||
у, пересекает |
ее |
границу только |
два . разаВычисление |
||
двойного интеграла |
по |
областиd £ y £ c , x1 ( y ) £ x £ x2 (y ) |
(рис. 2) целесообразно выполнять по формуле(3), поскольку любая прямая, параллельная оси ,х пересекает границу области только два раза.
Рис. 1
Рис. 2
3°. Если верхняя или нижняя граница области описывается
4
несколькими функциями (рис. 3), то область интегрирования следует разбить прямой х = с на две области S1 и S2. Двойной интеграл по области S в этом случае разбивается на сумму интегралов
òò f (x, y)dxdy = òò f (x, y )dxdy + òò f (x, y )dxdy =
(S ) |
|
(S1 ) |
(S2 ) |
(4) |
c |
y(x ) |
b |
y(x ) |
= òdx ò f (x, y dy) + òdx ò f (x, y dy) .
a y1 (x )
c y2 (x )
Рис. 3 Если левая или правая граница области описывается -не
сколькими функциями (рис. 4), то область интегрирования S разбивается на две областиS1 и S2, а двойной интеграл вычисляется по формуле
òò f (x, y)dxdy = òò f (x, y )dxdy + òò f (x, y )dxdy =
(S ) |
|
(S1 ) |
(S2 ) |
(5) |
b |
x(y ) |
c |
x(y ) |
= òdy ò f (x, y dx) + òdy ò f (x, y dx) .
d x1 ( y )
b x2 (y )
5
Рис. 4
В случае более сложного контура область S разбивается на конечное число частей рассмотренных типов.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
dxdy |
|
|
1.1. |
Вычислить |
двойные |
интегралы: |
а) ò0 |
ò1 |
; |
||||||||
(x + y )2 |
||||||||||||||
|
|
e y |
|
p |
2cosj |
|
|
|
||||||
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ydxdy |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
б) òdxò(x2 - 2 y +1)dy ; в) òò |
; г) ò dj |
ò |
r3d r . |
|
||||||||||
x |
|
|||||||||||||
1 |
0 |
1 1 |
- |
p |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. а) Поскольку пределы интегрирования постоянные величины, то первое интегрирование может быть по любой переменной. Запишем интеграл в виде
1 |
2 |
dy |
|
|
òdxò |
|
. |
||
(x + y ) |
2 |
|||
0 |
1 |
|
|
Вычислим внутренний интеграл по у, считая, что х постоянная величина
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
æ |
1 |
|
1 |
|
ö |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
- |
|
|
|
|
|
dx = - |
|
ç |
|
- |
|
|
÷dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ò0 |
x + y |
|
1 |
|
ò0 è x + 2 x +1 |
ø |
||||||
|
|
|
Далее вычисляем внешний интеграл по х
6
1 |
æ |
1 |
|
|
1 |
ö |
|
|
|
ò0 |
|
|
|
|
|
||||
ç |
|
|
- |
|
÷dx = ln |
x +1 |
-ln |
x +2 |
|
|
|
|
|||||||
è x +1 |
|
x +2 |
ø |
|
|
|
1 |
x +1 |
|
|
1 = ln |
2 |
|
1 |
|
4 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
= ln |
|
|
-ln |
= ln |
|||||||
x +2 |
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
3 |
2 |
3 |
|
|||||
0 |
|||||||||||
|
б) Поскольку пределы внутреннего интеграла зависят от х, то вычисляем сначала внутренний интеграл поу, считая х постоянной величиной
2 |
2 |
|
ò((x2 y - y2 + y ) |
|
0x )dx = ò(x3 - x2 + x )dx . |
|
||
1 |
1 |
Далее находим внешний интеграл
2 |
æ |
x |
4 |
|
x |
3 |
|
x |
2 |
ö |
|
2 |
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ò(x3 - x2 |
+ x)dx = ç |
|
- |
|
+ |
|
÷ |
|
|
= |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
è |
4 |
3 |
2 |
ø |
|
1 |
12 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) Поскольку пределы внутреннего интеграла зависят от у,
то интегрируем сначала по х, считая у постоянной величиной, а затем интегрируем по у
e y
òò
1 1
e
= ò
1
|
e |
|
|
y |
y |
|
|
|
e |
|
y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y dxdy = òdyò |
dx = ò y ln x |
dy = |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
x |
1 |
|
|
1 |
x |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
e |
|
1 |
e |
|
e |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y ln ydy = |
|
|
ln y |
|
- |
ò ydy = |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) Вычислим сначала внутренний интеграл
|
p |
|
2cosj |
|
|
|
p |
|
|
|
2cosj |
p |
|
p |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
1 |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
4 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||
|
ò dj ò |
r |
dr = |
|
ò |
r |
|
|
|
dj = 4 ò cos |
jdj = ò (1+cos 2j) |
|
dj = |
||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
- |
p |
0 |
|
|
- |
p |
|
|
|
|
- |
p |
|
- |
p |
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p
2 æ
= ò ç1+
-p è
2
p
2
|
1 |
ö |
æ 3 |
|
1 |
ö |
||
2cos 2j + |
|
(1+cos 4j)÷dj = ç |
|
j +sin 2j + |
|
sin 4j÷ |
||
2 |
2 |
8 |
||||||
|
ø |
è |
|
ø |
-p
2
=3p.
2
7
1.2. Вычислить двойные интегралы: |
|
p ü |
|
||||
|
ì |
|
|
|
|||
а) òò x cos (x + y)dxdy, где D = í0 |
£ x £ p, 0 |
£ y £ |
|
ý |
; |
||
2 |
|||||||
D |
î |
|
|
þ |
|
б) òò(x + y )dxdy, где D = {y = 0, y = x2 , x = 2};
D
в) òò xydxdy, где D = {y = -x, y = x2 , y =1};
D
г) òò xdxdy, где область D ограничена осью Ox и одной
D
аркой циклоиды x = a (t - sin t ), y = a (1- cos t ).
Решение. а) Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем сначала по у, а затем по х
|
|
|
|
|
p |
|
p |
p |
|
p |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||
òò x cos (x + y )dxdy = ò xdxòcos (x + y )dy = òx sin (x + y ) |
= |
||||||||||
D |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p |
æ |
æ p |
ö |
|
ö |
|
p |
|
|
|
|
= ò x çsin ç |
|
+ x ÷ |
-sin x ÷dx |
= òx (cos x - sin x )dx = |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||||
0 |
è |
è 2 |
ø |
|
ø |
|
0 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
p |
p |
|
|
= ò x cos xdx - ò x sin xdx = x sin x - òsin xdx + x cos x - òcos xdx =
0 0 0 0
= (x sin x + cos x + x cos x -sin x )p0 = -1- p -1 = -(2 + p ).
б) Представим область интегрирования на рис5. Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем
8
|
2 |
x2 |
2 |
æ |
y |
2 |
ö |
|
x2 |
|
|
||||||||
òò(x + y )dxdy = òdx ò(x + y )dy = òç xy + |
|
÷ |
|
dx = |
|||||
2 |
|
||||||||
D |
0 |
0 |
0 |
è |
ø |
|
0 |
||
|
|
|
|
2 |
æ |
3 |
|
x4 ö |
æ x4 |
|
x5 |
ö |
|
2 |
16 |
|
36 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
ç x |
|
+ |
|
÷dx = ç |
|
+ |
|
÷ |
|
= 4 + |
|
|
= |
|
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ò0 è |
|
|
ø |
è |
4 10 |
ø |
|
0 |
5 5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5
в) Сделаем чертеж (рис. 6).
Рис. 6
Из совместного решения уравнений y = -x и y = x2 нахо- 9
дим точки пересечения прямой и параболыА (-1, 1), О (0, 0). Координаты точки В(1,1). Расставим пределы интегрирования и проинтегрируем
|
|
|
1 |
|
y |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
y |
|
|
1 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
òò xydxdxy = ò ydy ò xdx = |
ò yx2 |
|
|
dy = |
ò(y2 - y3 )dy = |
||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||
D |
|
|
0 |
|
-y |
|
|
|
0 |
|
|
- y |
|
|
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 æ y3 |
y4 ö |
|
1 æ 1 |
|
1 |
ö |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
ç |
|
|
- |
|
÷ |
|
= |
|
|
|
ç |
|
- |
|
|
÷ |
= |
|
|
. |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
24 |
|
|
|||||||||||||
|
è |
3 4 |
ø |
|
0 |
|
è 3 4 |
ø |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) Для одной арки циклоиды параметр t изменяется от 0 до 2p , а переменная х от 0 до 2p a . Представляя функцию у в виде функции от х у =f(x), запишем искомый интеграл, разделяя переменные
|
2p a |
y= f (x) |
I = òòxdxdy = ò xdx |
ò dy . |
|
D |
0 |
0 |
Находя дифференциалы dx = a (1- cos t )dt, dy = a sin tdt и переходя во внешнем интеграле к переменной t, получим
10