Учебное пособие 635
.pdf
Подставив числовые значения, найдем: |
t 6,25c. |
|||||
Пример 4. В системе, показанной на рисунке, массы |
||||||
тел равны |
m0; m1 и m2 , |
трения |
нет, массы |
блоков |
||
пренебрежимо |
малы. |
Найти ускорение |
тела |
массой |
||
m0 относительно стола |
и |
ускорения |
грузов |
m1 |
и m2 |
|
относительно подвижного блока. |
|
|
|
|||
Решение
N |
a1 |
|
|
|
T1 |
|
x |
|
m0g |
|
T2 |
|
|
a1 |
|
|
|
T3 |
T4 |
|
|
a2 |
|
y |
|
m1g |
a2 |
|
m2g |
||
|
|
|
Укажем все силы, действующие на грузы. Если считать нити, связывающие грузы, невесомыми и нерастяжимыми, а также пренебречь массой блоков, то силы натяжения нити с обеих сторон от каждого блока равны (Т1=Т2=Т, Т3=Т4=Т’). Выберем положительные направления координатных осей х и y,
запишем в скалярном виде уравнения движения груза m0 и
системы грузов m1 и m2 в соответствии со вторым законом
Ньютона: |
|
|
T m0a1 ; |
|
(1) |
T m1g m2g (m1 |
m2)a1 . |
(2) |
Выразим из уравнения (2) силу Т , получим |
|
|
T (m1 m2)g (m1 |
m2)a1 . |
(3) |
Приравняв правые части выражений (1) и (3), найдём m0a1 (m1 m2 )g (m0 m2 )a1 .
9
Откуда
a |
(m1 m2 )g |
|
. |
(4) |
||
|
|
|||||
1 |
m m |
2 |
m |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Запишем уравнения движения грузов m1 |
и m2 |
в проекциях на |
||||
ось oy: |
|
|
|
|
|
|
m1g T' m1(a1 a2), m2g T' m2(a1 a2).
Решая систему уравнений с учётом (4), получим
a2 |
|
(m2 m1)m0g |
|
. |
||
(m m )(m m m ) |
||||||
|
1 |
2 |
1 |
2 |
0 |
|
Пример 5. Моторная лодка массой m = 400 кг начинает двигаться по озеру. Сила тяги мотора F= 0,2 кН. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости, определить скорость лодки через t = 20с после начала её движения. Коэффициент сопротивления = 20 кг/с.
Решение
На лодку в горизонтальном направлении действуют две силы: сила тяги мотора и сила сопротивления, величина
которой пропорциональна скорости, т.е. Fc k . Уравнение движения лодки имеет вид:
m d F . dt
Для решения данного дифференциального уравнения разделим переменные
d |
|
1 |
dt |
F |
|
||
|
m |
||
и выполним интегрирование:
|
d |
|
1 |
t |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dt |
ln(F ) |
|
|
|||
F |
m |
|
|
|
||||
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|||
|
|
|||||||
10
t . m
Подставив пределы интегрирования, проведём преобразование
|
ln |
F |
|
|
t , |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
F |
m |
|||||
|
|
|
F |
|
|
|
t |
||
или |
|
|
e m . |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
F |
|||
Окончательно получим |
|||||
|
F |
|
|
t) |
|
|
|
||||
|
(1 e m ). |
||||
|
|||||
|
|
|
|
||
Произведя вычисления, найдем υ = 6,3 м/с.
Пример 6. Через блок в виде диска массой m0 перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массами m1 и m2 (m2 > m1). Найти ускорение грузов. Трением пренебречь.
Решение
Применим к решению задачи основные законы динамики поступательного и вращательного движения. С этой целью, покажем силы, действующие на тела данной системы, напишем уравнения движения для каждого из тел в отдельности.
На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести mg
и сила натяжения нити T (см. рис.). Уравнения движения этих тел в
проекции на ось y имеют вид
-m1a = m1g-T1 ,
m2a = m2g-T2 .
m0 |
R |
|
T1 |
T2 |
|
T1 |
||
|
||
a |
T2 |
|
m1g |
a y |
m2g
(1)
(2)
11
Вращение блока вызывается действием сил натяжения нити, поскольку моменты сил тяжести блока и реакции оси равны нулю. Тогда основное уравнение динамики вращательного движения для блока имеет вид
I R(T2 |
T1 ), |
(3) |
где R - радиус блока, I mR0 2
2- его момент инерции,
ε - угловое ускорение.
Учтено также, что по третьему закону Ньютона силы натяжения нити с каждой из сторон блока одинаковы по
модулю, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
и |
|
|
|
' |
|
. |
|
T |
T |
|
T |
T |
|
||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||
Если нить не проскальзывает относительно блока, то касательное ускорение его точек, соприкасающихся с нитью, равно ускорению нити в любой её точке, а следовательно
а =εR.
Решение системы полученных уравнений дает искомый результат
a |
|
m2 m1 |
|
|
g. |
||
|
|
|
|
||||
|
m |
m |
|
m |
|||
|
|
0 |
|
|
|||
|
2 |
|
|
||||
1 |
2 |
|
|
|
|
||
Пример 7. Однородный шар скатывается без скольжения с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол . Найдите ускорение центра инерции шара.
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
На шар |
действует сила |
|
N |
||
тяжести mg , |
сила реакции Nи сила |
x |
|
Fтр |
||
|
||||||
трения |
Fтр . |
Последняя является |
|
|||
|
|
mg |
||||
|
|
|||||
силой |
трения |
покоя, которая и |
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
12 |
|
|
|
создает вращающий момент относительно мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Под действием этих сил шар участвует в двух движениях (поступательном и вращательном), уравнения которых имеют следующий вид
ma mgsin Fтр , |
(1) |
I RFтр , |
(2) |
где а – ускорение центра масс шара, I - момент инерции шара относительно его центра масс, - угловое ускорение.
Учитывая, что I |
2 |
mR2 , |
|
R и |
a R , |
|
|||||
5 |
|
|
|
|
|
преобразуем уравнение (2) к виду |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
mR2 |
|
a |
RF |
|
2 |
ma F . |
(3) |
||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
тр |
5 |
|
тр |
|
||||
Решая уравнения (1) и (3) совместно, получим |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
5 |
gsin . |
|
(4) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 8. |
|
Потенциальная энергия частицы имеет вид |
||||||||||||||||
x |
y |
, |
где а |
|
– |
константа. |
Найти: а) силу |
F , |
||||||||||
U a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
действующую на частицу; б) работу А, совершаемую над частицей силами поля при её перемещении из точки М(1,1,1,) в
точку N(2,2,3).
Решение
Используя выражение, связывающее потенциальную энергию частицы с силой, действующей на неё, получим
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
U |
|
|
||||
F gradU |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
|
|
|
k |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
x |
|
|
|
1 |
|
y |
|
|
|
|
|||||||
a |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
k . |
|
|||
y |
|
y |
2 |
|
|
z |
|
z |
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
13
Работа сил потенциального поля равна убыли потенциальной энергии
A12 U U1 U2.
По известным координатам точек M и N находим
U 0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
a |
|
|
a |
|
|
, |
U |
|
a 1 |
|
|
|
|
, |
A |
|
|
Дж. |
|
|
3 |
3 |
|
||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
12 |
3 |
|
|||
Пример 9. Частица совершает перемещение в плоскости ХУ из точки с координатами (1,2) м в точку с
координатами (2,3) м под действием силы F (3i 4j) Н. Определить работу данной силы.
Решение
Элементарная работа, совершаемая силой F при перемещении dr , равна скалярному произведению этих векторов
dA (F,dr) (3i 4j)(dxi dyj) 3dx 4dy .
Работа при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 определится интегрированием
x2 y2
A12 dA 3dx 4dy 3(x2 x1) 4(y2 y1).
x1 |
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя числовые значения, получим |
|
|
|
|
|||||
|
A12 7Дж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 10. Пуля массой m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=15г, летящая с горизонтальной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
скоростью =500 м/с, |
попадает в |
|
|
|
|
|
|
|
|
баллистический маятник M = 6 кг и |
|
|
|
|
M |
|
|
||
застревает в нем. Определить высоту |
m |
|
|
h |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
h , на которую поднимется маятник |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
после удара. |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
При неупругом ударе выполняется только закон сохранения импульса, в соответствии с которым
m (m M )u .
После удара, пренебрегая силами сопротивления воздуха, можно воспользоваться законом сохранения механической энергии
(m M)u2 (m M)gh.
2
Решая совместно полученные уравнения, найдем
h |
u2 |
|
(m )2 |
; h = 7,9 см. |
|
2g |
2g(m M)2 |
||||
|
|
|
Пример 11. Шар массой m1= 8кг движется со скоростью υ1= =2м/с и сталкивается с шаром массой m2=4кг, который движется ему навстречу со скоростью υ2= 5м/с. Найти скорость шаров после прямого центрального удара. Удар считать абсолютно упругим.
Решение
При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения импульса и механической энергии:
m1 1 m2 2 mu1 1 m2u2,
m 2 |
|
m 2 |
|
mu2 |
|
m u2 |
|
1 1 |
|
2 2 |
|
1 1 |
|
2 2 |
, |
2 |
|
|
|
||||
2 |
2 |
2 |
|
||||
где u1 и u2 скорости шаров после упругого удара.
m1 |
|
|
2 |
m |
u m1 |
m2 |
u2 |
|
1 |
|
2 |
1 |
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
x |
Направления векторов скоростей шаров послу удара выберем произвольно и проведем ось x параллельно векторам
15
скорости. В проекциях на ось x закон сохранения импульса примет вид:
m1 1 m2 2 mu1 1 m2u2,
или
m1( 1 u1) m2(u2 2). |
(1) |
||||
Закон сохранения механической энергии можно |
|||||
представить в виде |
|
|
|
|
|
m ( 2 |
u2) m (u2 2), |
||||
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
или
m1( 1 u1)( 1 u1) m2(u2 2)(u2 2).
Из этого уравнения с учётом (1) получим:
m2( 2 u2)( 1 u1) m2(u2 2)(u2 2),
откуда
u1 u2 2 1. |
(2) |
Подставляя полученное выражение (2) в (1), получим:
m1( 1 u2 2 1) m2(u2 2).
Далее найдём
u |
2m1 1 2(m1 m2) |
. |
(3) |
|
|
||||
2 |
m1 |
m2 |
|
|
|
|
|||
Подставим полученное выражение (3) в (2):
u1 2m1 1 2(m1 m2) 2 1,
m1 m2
после преобразования найдём
u1 2m2 2 1(m2 m1) .
m1 m2
Выполним вычисления:
u1 3,6(м/с); u2 3,4(м/c).
16
Пример 12. Тонкий стержень массой m и длинной L подвешен за один конец и может вращаться без трения. К той же оси подвешен на нити длиной шарик такой же массы. Шарик отклоняется на некоторый угол и отпускается. При какой длине нити шарик после удара о стержень остановится? Удар абсолютно упругий.
Решение
В соответствии с законом сохранения момента импульса для системы шарик-стержень будем иметь
|
m I , |
(1) |
||||||
где I-момент инерции стержня относительно оси вращения. По |
||||||||
теореме Штейнера |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
I Ic |
md2 |
mL2 |
mL2 |
mL2 . |
||||
|
|
|
||||||
|
12 |
4 |
3 |
|
||||
С учетом этого уравнение (1) приводится к виду
1L2 . 3
При абсолютно упругом ударе выполняется закон сохранения механической энергии, в соответствии с которым
|
m 2 |
|
|
|
I 2 |
, |
(2) |
|||||
2 |
|
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
или после преобразования |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
L2 2 . |
(3) |
||||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
Решая систему уравнений (1) и (3), найдем |
|
|||||||||||
|
|
|
L |
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
Пример 13. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Стержень служит осью колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой ν’= 10с-1. Радиус колеса равен 20 см, его масса m = 3кг. Определить частоту
17
вращения ν1 скамьи, если человек повернёт стержень на угол
1800. Суммарный момент инерции человека и скамьи
I = 6 кг·м2.
Решение
Система “скамья – человек - колесо” является замкнутой и к ней можно применить закон сохранения момента импульса:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L L |
L ' |
L ' , |
|
(1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
|
|
где |
L и L '- моменты импульса системы “скамья - человек” до |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и после поворота колеса; |
L0 и |
L0 |
' |
- момент импульса колеса |
|||||||||||
до и после поворота. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Учитывая |
что |
L I и L ' I ' , |
L |
' L , |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
L ' |
|
|
|
L |
|
I , уравнение (1) принимает вид |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
I I0 1 I ' I0 1.
Так как в исходном состоянии скамья Жуковского была в покое (ω = 0), то отсюда I ' 2I0 1, и
' |
2I0 1 |
. |
(2) |
|
|||
|
I |
|
|
Выражая угловую скорость через частоту ν, получим
2 ' |
2I0 2 1 |
, |
или ' |
2I0 1 |
. |
|
I |
|
I |
||
Учитывая, что момент инерции колеса I0 = mR2 (тонкое кольцо), окончательно получим
' 2mR2 1 .
I
После подстановки исходных данных
' 0,4c 1.
Пример 14. Если на верхний конец вертикально расположенной спиральной пружины положить груз, то
18