Учебное пособие 598

Вариант 8

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода ò y 3 dl

L x

по кривой L: y = x , 1 £ x £ 3 .

ìx = cos t

2. Найти массу первого витка винтовой линии ïíy = sin t

ïîz = t

плотность которой в каждой точке равна квадрату полярного радиуса этой точки 3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò y2dx + z 2dy + x2dz , где L – часть кривой Вивиани

L

положительном направлении обхода.

4. Найти функцию u = u(x, y, z) по ее полному

дифференциалу du = dx + dy + dz . x + y + z

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(x2 + y2 )ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6. Вычислить поверхностный интеграл II рода òò ydzdx , где S

S

- верхняя сторона параболоида z = x2 + y2 , заключенного между плоскостями z = 0 и z = 2 .

21

Вариант 9

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

ò(x 2 + y 2 ) dl по дуге циклоиды L:

L

x = 2(1 - cos t), y = 2(t - sin t), 0 £ t £ 2p .

2. Найти массу дуги линии x = et cos t, y = et sin t, z = et от

точки, соответствующей t = 0 до произвольной точки, если плотность дуги обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке (1,0,1) равна единице.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò( y2 - z 2 )dx + (z2 - x2 )dy + (x2 - y2 )dz , где L – контур,

L

образованный линиями пересечения сферы x2 + y2 + z 2 =1 с

координатными плоскостями, (x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0) при положительном направлении обхода.

4. Убедившись, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл ò xdx + ydy по кривой L с началом в точке А(1,1) и

L

концом в точке В(2,2).

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(xy + yz + zx)ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6. Вычислить поверхностный интеграл II рода òòx2 y2 zdxdy по

S

верхней стороне верхней половины сферы x2 + y2 + z2 = R2 .

22

Вариант 10

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

ò(x 4 + y 2 ) dl по кривой L: y = lnx, 1 £ x £ e .

L

2. Найти координаты центра масс первого полувитка винтовой линии x = 10 cos t, y = 10 sin t, z = t , считая плотность постоянной 3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò ydx - xdy , где L – дуга окружности радиуса 2 с центром в

L

начале координат при положительном направлении обхода. 4. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом

x = 4 cos t, y = 3 sin t, 0 £ t £ 2p .

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò x2 + y2 ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òò z dxdy + y dxdz + x dydz, где S – верхняя сторона плоскости

S

x + y + z = 1, ограниченной координатными плоскостями.

23

2. Вычислить статический момент первого витка винтовой линии x = t cost, y = t sin t, z = t , относительно плоскости Оxy,

считая плотность пропорциональной квадрату расстояния от этой плоскости (r = 3z 2 ) .

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

òxy dx + yz dy + x2dz , где L – дуга винтовой линии

L

x = cos t, y = sin t, z = t от точки А (1,0,0) до точки В (1,0,2p ).

4. Найти работу, совершаемую при перемещении материальной точки вдоль дуги L от точки А(0,0) до точки В(1,1) силой F = { xy, x + y} в случае, если L – отрезок прямой и в случае, если L – дуга параболы y = x 2 .

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(x2 + y2 )ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6.Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òòyz dydz + xz dxdz + xy dxdy, где S – внешняя сторона

S

поверхности, ограниченной плоскостями x + y + z = a, x = 0, y = 0, z = 0 .

24

линии x = cost, y = sin t, z = 1 t относительно координатной

2p

оси Оy.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

òx2 ydx + xy2dy , где L – дуга эллипса

L

x = 2 cos t, y = 3sin t, 0 £ t £ 2p при положительном

направлении обхода.

4. Показать, что криволинейный интеграл

( 2,3)

ò(3x 2 y + y)dx + (x3 + x)dy не зависит от пути интегрирования

(0,1)

и вычислить этот интеграл.

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода òòxds по

S

пространственной области S = {(x, y, z)}, определяемой

условиями ìíx 2 + y 2 = 1,üý .

îz = 0, z = 2 þ

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òò z dxdy, где S – внешняя сторона эллипсоида

25

Вариант 13

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

ò(x 2 y + xy 2 ) dl по дуге L окружности

L

òò(x + y)ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

S

ìx 2 + y 2 = 4,ü

определяемой условиями í ý .

îz = 0, z = 4 þ

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òò x 2 dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy, где S – внешняя сторона

S

поверхности верхней полусферы x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .

26

x = cos3 t, y = sin 3 t , лежащей во второй четверти p £ t £ p , 2

плотность считать равной 2.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò- x cos ydx + y sin xdy , где L - отрезок прямой от точки А(0,0)

L

до точки В (p,2p ) .

4. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом x = 3 cos t, y = sin t, 0 £ t £ 2p .

5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(x + y + z)ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

S

определяемой условиями ìíx 2 + y 2 = 1,üý .

îz = 0, z = 1 þ

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òò x3 dydz + y 3dxdz + z 3dxdy, где S – внешняя сторона

S

поверхности x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .

27

Вариант 15

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

ò(3x 2 + 4 y) dl , если L –дуга окружности

L

x = 6 cos t, y = 6sin t p £ t £ 3p .

44

2.Вычислить статический момент относительно координатных осей прямоугольного отрезка СД соединяющего точки (1,2) и (2,3). Плотность в каждой точке отрезка равно произведению координат этой точки.

3.Вычислить криволинейный интеграл второго рода

òx2dx + (x + z)dy + xy dz , где L – дуга кривой

L

x = sin t, y = sin 2 t, z = sin 3 t при 0 £ t £ p . 2

4. Вычислить работу, производимую силой

F = (x 2 + y) i + (x + y 2 ) j при перемещении материальной точки из А(1,2) в В(2,1) по прямой, соединяющей эти точки. 5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò( y2 -1)ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

S

определяемой условиями ìíx 2 + y 2 = 2,üý .

îz = 0, z = 1 þ

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òò(x - y)dxdy + (z - x)dxdz + ( y - z)dydz, где S – внешняя

S

сторона конической поверхности x 2 + y 2 = z 2 , (0 £ z £ h) .

28

x = 3 , если в каждой точке кривой плотность равна квадрату

ее абсциссы.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

4. Найти работу, производимую силой F = x6 i + xy j вдоль

кубической параболы y = x3 от точки А(0,0) до точки В(2,8). 5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(2 - x2 - y2 )ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6.Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òòx dydz + y dxdz + z dxdy, где S – положительная сторона

S

куба, составленного плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1, z = 1.

29

Вариант 17

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

ò(2x 2 + 3y) dl , если L –дуга кривой

L

x = 6 cos2 t, y = 6sin 2 t p £ t £ p .

62

2.Найти массу участка кривой y = 3lnx от точки с абсциссой

x1 = 2 до точки с абсциссой x2 = 5 , если плотность в каждой точке равна квадрату ее абсциссы.

3. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

ò y dx - x dy , где L – дуга астроиды x = a cos3 t, y = a sin 3 t от

L

точки А(а,0) до точки В(0,а).

4. Применяя формулу Грина, вычислить криволинейный

пробегаемой так, что ее внутренность остается слева. 5. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

òò(x2 + z)ds по пространственной области S = {(x, y, z)},

6.Вычислить поверхностный интеграл второго рода

òòx 2 y 2 z dxdy, где S – положительная сторона нижней

S

половины сферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .

30